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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Toulouse septembre 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Algèbre}\end{center}

\smallskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par

\[f(x) = 3x  - \dfrac32, \qquad g(x) = \dfrac52  - x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f\left(- \dfrac12\right), \quad g\left(- \dfrac12\right)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = g(x)$.
\item Soit un plan muni d'un repère orthonormé \Oij.

Dans ce repère, $F$ et $G$ sont les représentations graphiques respectives de $f$ et $g$.

Déterminer les coordonnées du point M tel que $F \cap G = \{M\}$.

Construire $F$ et $G$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $a$ et $b$ les fonctions polynômes de $\R$ dans $\R$ définies par 
\[\begin{array}{l c l}
a(x)&=&(3x - 2)^2 - (x + 3)^2\\
b(x)&=&3(8x + 2)(x - 1) - 4x - 1 + 2x(4x + 1)
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $a(x)$ et $b(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Soit $h$ la fonction rationnelle de $\R$ vers $\R$ définie par
\[h(x) = \dfrac{a(x)}{b(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $h$.
		\item Démontrer que pour tout $x$ élément de $\mathcal{D}$
\[h(x) = \dfrac{2x - 5}{ 8x - 7}.\]

		\item Calculer $h\left(\dfrac{1}{\sqrt 2}\right)$.

Donner le résultat sous forme d'un quotient ayant un dénominateur entier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\emph{Remarque} : les parties A et B sont indépendantes.

\begin{center}\textbf{Géométrie}\end{center}

\smallskip

Soit un plan $P$ muni d'un repère orthonormé \Oij.

Placer les points 
\begin{center}A$(- 3~;~- 1)$, \qquad B(1~;~4).\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées de C défini par 
\[\vect{\text{BC}} = 5\vect{\imath} - 4\vect{\jmath}.\]

[On trouve C(6~;~0).  Placer C.
\item Déterminer les coordonnées de $\vect{\text{AC}}$.
\item On considère le vecteur $\vect{\text{BM}}$ défini par 
\[\vect{\text{BM}} = \vect{\text{BC}} - \vect{\text{BA}}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées de $\vect{\text{BM}}$.
		\item Calculer les coordonnées du point M.
		
(On trouve (10~;~5). Placer M.
		\item Quelle est la nature du quadruplet (A, B, M, C) ?
	\end{enumerate}
\item Soit I le milieu de (A,C).

Calculer les coordonnées de I . Placer I.
\item Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{BC}}$ sont orthogonaux.
\item Soit H la projection orthogonale de I sur la droite (AB).

Démontrer que H est est milieu de [AB].
\end{enumerate}
\end{document}