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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Toulouse}
\lfoot{\small septembre 1977}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Toulouse septembre 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par : 
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=&4(2x - 3)^2 - (x + 2)^2\\
g(x)&=&(5x - 4)(x + 3)- (4 - 5x)(x + 2)+ 25x^2 - 16.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Calculer $f(-1);\: f\left(1 + \sqrt 2\right)$.
\item Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = g(x)$.
\item On considère la fonction rationnelle $h$ de $\R$ dans $\R$ définie par:
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est son ensemble de définition ?
		\item Montrer que, sur cet ensemble, $h(x) = \dfrac{3x- 8}{7x + 9}$.
		\item Calculer le réel $h\left(\dfrac13\right)$.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $h(x) = - \dfrac23$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans un plan $P$ muni d'un repère orthonormé \Oij, placer les points A, B, C
définis par :
\[\vect{\text{OA}} = 2\vect{\imath} - \vect{\jmath}, \qquad \vect{\text{OB}} = -\vect{\imath} - 2\vect{\jmath}, \qquad\vect{\text{OC}} = 5\vect{\jmath}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les distances AB, AC, BC.
		\item Démontrer que le triangle (A, B, C) est rectangle.
	\end{enumerate}
\item Soit D, l'image de A dans la symétrie orthogonale par rapport à la droite
(BC).
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la construction du point D.
		\item On désigne par J le point d'intersection des droites (AD) et (BC).
		
Démontrer que les points A, B, C, D appartiennent à un même cercle.
		\item Soit I le centre de ce cercle. Calculer les coordonnées de I.
	\end{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point E sachant que (A, B, E, C) est un rectangle.
\item Démontrer que les droites (IJ) et (DE) sont parallèles.
\item Trouver une équation de la droite (DE).
\item L'unité étant le degré, on désigne par $u$ l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ABC}}$.

Calculer $\tan u$.
\end{enumerate}
\end{document}