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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Toulouse}
\lfoot{\small septembre 1978}
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%%%%%%%%%%%%%% Toulouse
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Toulouse septembre 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

On donne les fonctions $A$ et $B$ de $\R$ vers $\R$ définies par :
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& x^2 - 25 - (10x - 1)(x - 5)\\
B(x)& =&75- 30x + 3x^2
\end{array}\]
\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $A(x)$ et $B (x)$.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $A(x) = 0$.
\item Soit $E$ la fonction rationnelle de $\R$ dans $\R$ définie par:
\[E(x) = \dfrac{3(x - 5)(-3x + 2) }{3(x - 5)^2}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition de $E$.
		\item Simplifier $E(x)$.
		\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $E(x) = 1$.
	\end{enumerate}
\item Dans le plan rapporté au repère \Oij, tracer les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$
d'équations respectives :
\[y = - 3x + 2,\qquad y = x - 5.\]
\item Calculer les coordonnées de leur point d'intersection C.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans un plan P rapporté à un repère orthonormé \Oij, les points A, B, C et D sont définis par leurs coordonnées: 
\begin{center}A(1~;~4), \quad  B$(-1~;~2)$,\quad C$(2~;~- 1)$,\quad D$(0~;~3)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{CD}}$.
\item En déduire que le quadruplet (A, B, D, C) est un parallélogramme.
\item Démontrer que le triangle (A, B, C) est rectangle en B.

Démontrer que le triangle (B, C, D) est rectangle.
\item Soit E le symétrique de D par rapport à C.

Déterminer les coordonnées de E.
\item Montrer que le quadruplet (A, B, C, E) est un rectangle.
\item Montrer que les quatre points A, B, C et E appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et dont on calculera le rayon.
\item Soit H$(5~;~-4)$. Montrer que le point H appartient à la médiatrice de [DE].

En déduire que les points B, C et H sont alignés.
\end{enumerate}
\end{document}