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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Toulouse}
\lfoot{\small septembre 1980}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Toulouse septembre 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\bigskip

\textbf{\large Partie I}

\bigskip

Soit $a = 4,9\sqrt 3$ et $b = 7\sqrt{12}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $\dfrac ab$ et en donner une écriture sous forme
d'une fraction irréductible.
\item Calculer $ab$, puis $a + b$. Pour chacun, donner l'écriture la plus simple possible.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Partie II}

\bigskip 

Soit $f$ la fonction rationnelle définie par
\[\begin{array}{l l c l}
f:	&\R	&\to 		&\R\\
	&x	&\longmapsto&\dfrac{x^2}{2x - 1}.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'image par $f$ si elle existe, de $0$, de $0,5$, de $(-2)$.
\item Résoudre, dans $\R$, les équations suivantes:
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = 0$ ;
		\item $f(x) = 1$ ;
		\item $f(x) = 2x - 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\bigskip

Soit un triangle (A, B, C) isocèle et rectangle en A.

On appelle M le milieu de [BC] et E le symétrique de A par rapport à M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que (A, B, E, C) est un carré.
\item Soit P le symétrique de A par rapport à B. Montrer que
	\begin{enumerate}
		\item $\vect{\text{BP}} = \vect{\text{CE}}$ ;
		\item la droite (EP) est parallèle à la droite (MB) ;
		\item la droite (EP) est perpendiculaire à la droite (AE).
	\end{enumerate}	
\item On désigne par $a$ la distance de A à B et on appelle I le milieu de [EB].

Calculer la distance de C à I en fonction de $a$.
\item Justifier que (C, B, P, E) n'est pas un losange.
\item Dans le repère $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right)$,  donner les coordonnées de C, B, M, E, P.

Calculer les coordonnées de $\vect{\text{BP}},\: \vect{\text{CE}}, \vect{\text{EP}}, \vect{\text{MB}}, \:\vect{\text{AE}}$ et vérifier les résultats du 2.
\end{enumerate}



\end{document}