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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Toulouse (sujet de secours)~\decofourright\\[7pt] juin 1974}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit la fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par
\[x \longmapsto \dfrac{8x^2 - 18}{x^2 - 10x+ 25} \times \dfrac{(4 + 2x)(x - 5)}{(2x + 4)(2x - 3)} - \dfrac{3x^2 + 15x}{x^2 - 25}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition de cette fonction. 
\item Simplifier l'écriture de $f(x)$ sur cet ensemble de
définition.
\item Calculer les réels $f(0), \:f\left(- \dfrac12\right)$ et $f\left(2\sqrt 3\right)$. \item Résoudre dans $\R$ les équations
\begin{center}$f(x) = 0$,\quad $f(x) = 1$ \quad et\quad  $f(x) = - \dfrac23$.\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit la fonction $g$ de $\R$ dans $\R$ définie par 
\[x \longmapsto  g(x) = ax^2 + bx - 7.\]

Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ pour que 
\[g\left(- \dfrac12\right) = g(1) = 0.\]

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère les points
\begin{center}A$(- 10~;~8)$,\qquad B(10~;~- 7)\quad  et \quad C$(x~;~13)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $x$ pour que le triangle (A, B, C) soit rectangle en C.
\item Calculer les coordonnées du milieu, I, du bipoint
(A, B).
\item Soit le point M de coordonnées $\left(\dfrac{15}{2}~;~\dfrac{21}{2}\right)$.

Démontrer que les droites (MI) et (AB) sont orthogonales.

Former une équation de la droite (MI).

Quelle est la nature du triangle (M, A, B) ?
\item Soit D le symétrique de C par rapport à la droite (MI).

Former une équation de la droite (CD).

Calculer les coordonnées du point E d'intersection des droites (CD) et (MI).

En déduire les coordonnées du point D.
\item Démontrer que le triangle (A, B, D) est rectangle en D.
\end{enumerate}
\end{document}