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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Toulouse}}
\rfoot{\small{septembre 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Toulouse\:septembre 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit le système d'équations
\[\left\{\begin{array}{l l c l}
(1)\qquad& y - x - 4&=&0,\\
(2)\qquad& y + x - 1 &=&0.
\end{array}\right.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre ce système algébriquement.
\item Résolution graphique (unité : 2 cm sur les axes).
\item La droite $D_1$ représentant les variations de l'équation (1) coupe $X'X$ en A et $Y'Y$ en B.

La droite $D_2$ représentant les variations de l'équation (2) coupe $X'X$ en C et $Y'Y$ en D.

Soit P l'intersection de $D_1$ et $D_2$.

Donner la valeur des angles du triangle ACP.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un triangle ABC inscrit dans un cercle de centre O.

La bissectrice de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ coupe le côté [BC] en D et le cercle en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le point M est le milieu de l'are $\widearc{\text{BMC}}$.
\item On trace le segment de droite [MC].

Montrer qu'il existe sur la figure deux triangles semblables au
triangle DMC.

En déduire la relation 
\begin{center}$\overline{\text{MC}}^2  =$ MD $\times $ MA.\end{center}
\item On suppose que le rayon du cercle est égal à $6$~cm, que la corde [BC] est à une distance du centre égale à $3$~cm et que la longueur de la bissectrice [AD]
est $5$~cm.

Calculer MD.

Dire comment on construirait alors le triangle ABC.
\end{enumerate}
\end{document}