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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Tunisie}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Tunisie juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre le polynôme $9x^2 - 4$ sous la forme d'un produit de deux facteurs.
\item Mettre le polynôme $9x^2 - 12x + 4$  sous la forme du carré d'un binôme.
\item Calculer la somme
\[A = \dfrac{18x}{9x^2 - 4} - \dfrac{9x - 6}{9x2 - 12x+ 4} - \dfrac{2x}{6x^2 + 4x}
\]
et montrer qu'elle se réduit à la forme 
\[\dfrac{B}{ax+ b}\]
$B, a, b$ étant des nombres indépendants de $x$, que l'on calculera.
\item Construire la droite $D$ d'équation $y = \dfrac 2A$ et
trouver la fonction qui admet comme ligne représentative la droite $D'$ parallèle à $D$, passant par le point M de coordonnées $(1~;~- 2)$.

Quelles sont les coordonnées des points d'intersection de $D'$ avec les axes de coordonnées ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Un trapèze isocèle ABCD est inscrit dans un cercle $\mathcal{C}$ donné.

Le côté oblique [AB] est fixe. L'autre côté est mobile.

Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en un point M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les angles BMA et BDA, puis les angles BDA et BOA.

En déduire le lieu du point M.
\item Soit MX la parallèle aux bases [BC] et [AD].

Comparer les angles $\widehat{\text{CBM}}$ et $\widehat{\text{BMX}}$ puis les angles $\widehat{\text{XMA}}$ et $\widehat{\text{MAD}}$.

Que représente [MX) pour l'angle BMA ?

Montrer que (MX) passe par un point fixe I et que (IO) est la médiatrice de AB.
\item Que valent les angles $\widehat{\text{IAO}}$ et $\widehat{\text{IBO}}$ ?

En déduire que les droites (IA) et (IB) sont tangentes au cercle donné $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{document}