\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Tunisie juin 1956},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Tunisie}}
\rfoot{\small{juin 1956}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle juin 1956~\decofourright\\[7pt]
Tunisie}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme d'un produit de deux facteurs l'expression
\[S = (5x - 4)^2 - (3x + 2)^2.\]
\item Pour quelles valeurs de $x$ cette expression est-elle nulle ?
\item Construire dans le même système d'axes, les droites $D_1,\: D_2,\: D_3$ qui représentent respectivement les fonctions
\begin{center}$y_1 = 5x - 4,\qquad  y_2 = 3x + 2,\quad  y_3 =- 3x - 2$\end{center}
et calculer les coordonnées des points d'intersection de ces droites.
\item Calculer la valeur numérique de $S$ quand $x$ prend les valeurs trouvées pour les abscisses des points d'intersection.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un cercle de centre O, de rayon $R$.

Sur la tangente en A à ce cercle on prend un point P tel que AP ait pour longueur le côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle.

De P{}, on mène la deuxième tangente, (PT), qui coupe la droite (AO) en C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer en fonction de $R$ les longueurs AP, OP, PC et AC.
\item Comparer les valeurs de AT$^2$ et du produit AO $\times$ AC.

En déduire que la droite (AT) est tangente au cercle de diamètre [OC].
\item Évaluer les aires des triangles PAT et OAT.

Quel est le rapport de ces aires ?

Peut-on établir géométriquement ce résultat sans calculer les aires ?
\item (OT) coupe (AP) en D.

Montrer que (OP) et (CD) sont perpendiculaires.

Que peut-on dire du triangle PCD ?

Montrer que (CD) est tangente au cercle O.
\end{enumerate}
\end{document}