\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Tunisie septembre 1951},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Tunisie}}
\rfoot{\small{septembre 1951}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Tunisie septembre 1951~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre le polynôme
\[(x + 1)(x - 2) - (x + 1)(3x - 7) + x^2 - 1\]

sous la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré en $x$.

Pour quelles valeurs de $x$ ce produit s'annule-t-il ?

Calculer la valeur de ce produit pour $x = \sqrt 5 - 1$.
\item On égale chacun des facteurs à $y$.

	\begin{enumerate}
		\item Représenter dans un même système d'axes les deux fonctions ainsi obtenues (divisions de $2$~cm sur les deux axes).

Les deux droites construites se coupent en A.
		\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point A.

Soient B et C les points où les droites considérées coupent l'axe des $x$.
		\item Montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Soit un triangle ABC inscrit dans un cercle $\mathcal{C}$ de rayon $R$.

On mène la hauteur [AH] et le diamètre [AD].


\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les triangles ABH et ADC et en déduire la relation 
\begin{center}AB $\cdot$ AC = AD $\cdot$ AH.\end{center}
\end{enumerate}

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\begin{enumerate}[start=2]
\item Si [AB] représente le côté du carré inscrit dans le cercle $\mathcal{C}$ et [AC] le côté du triangle équilatéral inscrit, calculer BC en fonction de $R$.
\item Soient M l'orthocentre du triangle ABC et I son centre de gravité.

Établir la nature du quadrilatère BMCD et montrer que MI coupe [BC] en son milieu E. 

En déduire que OE $= \dfrac{\text{AM}}{2}$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.36\linewidth}
\psset{unit=1.45cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
%\psgrid
\psdots(0,0)
\pscircle(0,0){1.4}
\pspolygon(1.4;-145)(1.4;-35)(1.4;120)%BCA
\psline[linestyle=dashed](-0.7,-0.8)(1.4;120)(1.4;300)
\uput[ul](1.4;120){A} \uput[dl](1.4;-145){B} \uput[dr](1.4;-35){C} \uput[dr](1.4;300){D} \uput[ur](0,0){O}\uput[d](-0.7,-0.8){H}\uput[ur](1.2,0.7){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

Étudier les triangles AMI et EOI et prouver que le trois points O, I, M sont alignés.
\end{document}