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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small L'année 1995}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Vanuatun}
\lfoot{\small juin 1995}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Vanuatu juin 1995 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{TRAVAUX NUMÉRIQUES\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill }

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer et donner chaque résultat sous forme d'une fraction
irréductible :

\[A = \dfrac13 - \dfrac34 \times \dfrac{20}{9}\qquad B = \dfrac{3 - \dfrac14}{-\dfrac23 + \dfrac16}\]

\item Soit $C = \sqrt{500} +  3\sqrt{5} -3 \sqrt{45}$.

Écrire $C$ sous la forme $a \sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers, $b$ étant le plus petit possible.
\item Soit $D = \left(5 -2 \sqrt{6}\right)\left(5 + 2 \sqrt{6}\right)$. 

Exprimer $D$ sous forme d'un nombre entier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 \hfill }

\medskip

On considère l'expression : $P = (2x - 3)^2 - (2x - 3)(5 x - 1)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'écriture de $P$.
\item Factoriser $P$.
\item Calculer la valeur de $P$ pour $x = - 10$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3 \hfill }

\medskip

Valérie et Sophie sont allées passer quelques jours en Belgique puis en Allemagne. 

De retour, Valérie constate qu'il lui reste 3 francs belges et 5 Deutschmarks pour lesquels on lui rembourse 18 francs français.

Quant à Sophie, il lui reste 12 francs belges et 3 Deutschmarks pour lesquels on lui rembourse 12,50 francs français.

Trouver la valeur en francs français d'un franc belge et d'un Deutschmark, en traduisant les données par un système d'équations que l'on résoudra.

\bigskip

\textbf{TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice \hfill }

\medskip

Les questions 2, 3, 4 sont indépendantes.
\smallskip

L'unité de longueur est le centimètre.

\medskip

Soit ABCD un rectangle dont les dimensions sont AB $= 12$ et BC $= 7$. 

Soit P le point du segment [AD] tel que AP $= 5$.

Les droites (BP) et (CD) se coupent en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure à l'échelle $\dfrac12$. Elle sera à compléter au fur et à 
mesure des questions.
\item Montrer que BP $= 13$.
\item En précisant la propriété utilisée, calculer les distances MP et MD.
\item La perpendiculaire à la droite (BP) passant par A coupe (BP) en H et (DC) en L.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les angles $\widehat{\text{ARP}}$ et $\widehat{\text{DAL}}$ sont égaux.
		\item En considérant le triangle ABP donner la valeur exacte du cosinus de
$\widehat{\text{ARP}}$.
		\item En déduire la valeur exacte, puis approchée à 0,1 près de AL.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME\hfill 12 points}

\medskip

Monsieur Rixe est représentant de commerce. Comme l'indique le graphique ci-après, son salaire dépend du montant des ventes qu'il réalise.

\begin{center}
\psset{xunit=0.000075cm,yunit=0.000333cm}
\begin{pspicture}(-1000,-2000)(180000,26000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100000,Dy=2000]{->}(0,0)(0,0)(180000,26000)
\multido{\n=0+10000}{17}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-400)(\n,400)}
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100000,Dy=10000,labels=none]{->}(0,0)(0,0)(180000,26000)
\psline[linewidth=1.25pt](0,6000)(40000,6000)(130000,24000)
\psline[linestyle=dashed](0,24000)(130000,24000)(130000,0)
\psline[linestyle=dashed](40000,6000)(40000,0)
\uput[dr](130000,24000){B(\np{130000}, \np{24000})}\uput[r](40000,6000){A(\np{40000}, \np{6000})}
\uput[d](10000,-400){\np{10000}}
\uput[u](150000,0){montant des ventes en F}
\uput[r](0,25000){salaire en F}\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Lire sur le graphique :
	\begin{enumerate}
		\item le salaire de Monsieur Rixe lorsque le montant de ses ventes est:
\np{20 000}~F, \np{40 000}~F, \np{75 000}~F
		\item le montant de ses ventes lorsque Monsieur Rixe reçoit un salaire de \Np{20000}~F.
	\end{enumerate}	
\item Reproduire le graphique sur du papier millimétré et tracer dans le
même repère la droite $\Delta$ d'équation : $y = \dfrac{1}{10}x + \np{8000}$.
\item La droite A représente le salaire perçu par Monsieur Igréque, un autre représentant de commerce.

Par une lecture graphique, déterminer lequel des deux représentants est le mieux payé pour un chiffre de ventes de \np{90000}~F.

Lire sur le graphique quelle est alors la différence entre les deux salaires. 
\item Vérifier par le calcul que la droite (AB) a pour équation:

\[y=-\dfrac15 x - \np{2000}.\]

\item Calculer le montant des ventes pour lequel les deux représentants reçoivent le même salaire.

Vérifier le résultat précédent par une lecture graphique.
\item Donner, sous forme réduite, l'expression $D(x)$ de la différence des salaires de Monsieur Rixe et de Monsieur Igréque, pour un même montant $x$ de ventes.
\end{enumerate}
\end{document}