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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\lhead{\small L'année 1996}
\rfoot{\small Vanuatu (réserve)}
\lfoot{\small septembre 1996}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Vanuatu (réserve) septembre 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne l'expression 

\[E = (3x + 1)^2 - (3x + 1)(x - 4).\]

\begin{enumerate}
\item Développer puis réduire les expressions suivantes :

\[A = (3x + 1)^2 \quad \text{et}\quad  B = (3x + 1)(x - 4).\]

\item Montrer alors que $E = 6x^2$. 
\item Calculer $E$ pour $x = 0$ et pour $x = - \dfrac{1}{3}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère les nombres suivants :

\[a = \sqrt{80},\quad b = \dfrac{4\sqrt{35}}{\sqrt{7}}, \quad c = 4\sqrt{45} - 3\sqrt{125} + 7\sqrt{5}.\]

Démontrer que $a = b = c$.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre l'inéquation $5x + 39 < 4 (3 - x)$ et représenter graphiquement l'ensemble des solutions sur une droite graduée en hachurant la partie de la droite qui ne correspond pas aux solutions.

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Le prix d'une place de cinéma est de $45$ F pour un adulte et de $25$ F pour un enfant. $137$ personnes ont vu le film et ont payé en tout \np{4605}~F. 

Quel sont le nombre d'adultes et le nombre d'enfants qui ont vu le film ?

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip



\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère un triangle ABC, I le milieu du côté [BC], E le milieu de [AI] et F le symétrique de E par rapport à I.

\medskip
\begin{enumerate}
\item Montrer que le quadrilatère BECF est un parallélogramme.
\item La droite (CE) coupe la droite (AB) en M.

Prouver que les droites (EM) et (BF)sont parallèles.

En déduire que $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{1}{3}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Construire un triangle OAB, rectangle en A et tel que OA $= 5$ cm et OB $= 7$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que : AB $= 2\sqrt 6$ cm.
\item Calculer $\sin \widehat{\text{AOB}}$,puis en déduire la mesure au degré près de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Un artisan désire fabriquer des boîtes sans couvercle en forme de parallélépipède rectangle. Pour obtenir une telle boîte, il part d'une plaque métallique carrée de $1$~mètre de côté et il découpe quatre coins carrés de même taille, puis il replie les faces latérales et en soude les bords (voir figures).

On appelle $x$ la longueur en cm du côté de chaque carré découpé.

%%%%%%  figures
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(5.5,6.3)
%\psgrid
\psframe(0.6,0.5)(4.6,4.5)
\psline[linestyle=dashed](0.6,1)(4.6,1)
\psline[linestyle=dashed](0.6,4)(4.6,4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.6,4)(1.1,4.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.6,0.5)(1.1,1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.1,4)(4.6,4.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.1,0.5)(4.6,1)
\psline[linestyle=dashed](1.1,0.5)(1.1,4.5)
\psline[linestyle=dashed](4.1,0.5)(4.1,4.5)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.6,4.9)(4.6,4.9) \uput[u](2.5,4.9){1 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.1,0.5)(0.1,4.5) \uput[l](0.1,2.5){1 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.6,0.1)(1.1,0.1)\uput[u](0.85,0.1){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(4.1,0.1)(4.6,0.1)\uput[u](4.35,0.1){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(4.8,0.5)(4.8,1.)\uput[r](4.8,0.75){$x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(4.8,4.)(4.8,4.5)\uput[r](4.8,4.25){$x$}
\uput[ul](1.1,4.5){A} \uput[u](4.1,4.5){B} \uput[dl](4.1,4){C} \uput[ul](4.1,0.5){D} \uput[ur](4.1,1){E}
\rput(2.5,6){Dessin de la plaque}
\end{pspicture}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(5.5,6.3)
\psframe(0,1)(3,1.5)
\psline(3,1)(4,2.7)(4,3.2)(3,1.5)
\psline(4,3.2)(1,3.2)(0,1.5)
\psline(4,2.7)(1,2.7)(0,1)
\psline(1,2.7)(1,3.2)
\uput[ul](1,3.2){A} \uput[ur](4,3.2){B} \uput[r](4,2.7){C} \uput[d](3,1){D} \uput[ul](3,1.5){E}
\rput(2.5,6){Dessin de la boîte obtenue}
\rput(2.5,5.5){après pliage}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour les 3 dimensions AB, CD, BC et le volume $V$ de la boîte, reproduire et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ (cm) &AB (cm) &CD (cm) &BC (cm) &$V \left(\text{cm}^3\right)$\\ \hline
10&&&&\\ \hline
20 &&&&\\ \hline
30&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Exprimer en fonction de $x$ les trois dimensions de la boîte et montrer que le volume $V$ en cm$^3$ de cette boîte est donné par la formule suivante : $V = x(100 - 2x)^2$.
	\end{enumerate}	
\item L'artisan a l'intention de fabriquer la boîte ayant le volume le plus grand possible.

Dans ce but, il réalise avec son ordinateur le graphique ci-joint donnant le volume $V$ de la boîte en fonction de la longueur $x$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement :
		
-- une valeur approchée de $V$ pour $x = 10$ cm.

-- deux valeurs approchées de $x$  pour $V = \np{48000}~\text{cm}^3$.
		\item  Lire sur le graphique au cm près la valeur de $x$ correspondant au volume le plus grand possible et une valeur approchée de ce volume maximum.
		\item L'artisan décide de prendre la longueur $x$ égale à $16,5$~cm.
		
Pour cette valeur de $x$ calculer le volume de la boîte obtenue et l'aire de la partie de la plaque utilisée pour fabriquer cette boîte.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.0001cm}
\begin{pspicture}(-2,-2000)(65,80000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10000,labels=none]{->}(0,0)(0,0)(65,80000)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{50}{100 x 2 mul sub dup mul x mul}
\uput[u](60,0){longueur $x$ (cm)}
\uput[r](0,75000){Volume $\left(\text{cm}^3\right)$}
\uput[d](10,0){10} \uput[l](0,10000){\np{10000}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}