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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Versailles}
\lfoot{\small juin 1979}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Versailles juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les applications, $g$ et $h$, de $\R$ dans $\R$, définies par
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&4x^2 - 1,\\
g(x)&=&4x^2 - 8x + 4,\\
h(x)&=&(2 - 4x)(x - 1).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner le polynôme $h(x)$.
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme de produits de polynômes du premier degré.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation 
\[|2x + 1|= |2(x - 1)|.\]

En déduire l'ensemble solution de l'équation 
\[|f(x)| = |h(x)|.\]
\item On considère la fonction rationnelle $q$ donnée par
\[q(x)= \dfrac{g(x)}{h(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $q$.
		\item Le réel $x$ appartenant à l'ensemble de
définition, simplifier $q(x)$.
		\item Résoudre, dans $\R$, l'équation
\[q(x) = -1.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité de longueur étant le mètre, la mesure du périmètre d'un rectangle est $62$. 

Si on augmente la mesure de sa longueur de $2$ et si on diminue la mesure de sa largeur de $l$, la mesure de sa surface reste inchangée.

On désigne par $x$ la mesure de la largeur et par $y$ la mesure de la longueur.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire les deux relations liant $x$ et $y$.
\item En déduire les dimensions du rectangle.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans le plan euclidien $P$ rapporté au repère orthonormé \Oij, placer les points A, B et C définis par leurs coordonnées :

\begin{center}A(3~;~4),\qquad  B(8~;~4)\quad  et \quad C(0~;~8).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$. 

Que peut-on dire de la droite (AB) ?
		\item Calculer les distances $d$(A, B) et $d$(A, C).
		\item En déduire une propriété du triangle (A, B, C).
\item Soit I le milieu du bipoint (B, C).
	\end{enumerate}
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, sans calculs, que la droite (AI) est la médiatrice du segment [BC].
		\item Calculer les coordonnées du point I.
		\item Soit J, l'image du point I dans la symétrie de centre A. 

Calculer les coordonnées du point I.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que le triangle (B, C, J) est un triangle rectangle isocèle.

Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit à ce triangle.
\item On désigne par $x$ l'écart angulaire, en degré, de l'angle géométrique $\widehat{\text{ABC}}$.

Calculer $\tan x$.

À l'aide d'une table trigonométrique, déterminer la valeur approchée entière de $x$, à un degré près par excès.
\end{enumerate}
\end{document}