\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet},
%pdftitle = {Versailles septembre 1979},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Versailles}
\lfoot{\small septembre 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Versailles septembre 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

Soit les applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$, définies par
\[\begin{array}{l c l}
f(x)&=&2(x + 3)(5x + 1) + x^2 - 9,\\
g(x)&=&(11x - 1)(3x + 5) - 22x + 2.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner les polynômes $f(x)$ et $g(x)$.
\item Écrire $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits de binômes du premier degré.
\item Résoudre, dans $\R$, chacune des équations $f(x) = 0$ et $g(x) = 0$.
\item On considère la fonction rationnelle $h$ donnée par
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition de $h$.
		\item Le réel $x$ appartenant à l'ensemble de définition, simplifier $h(x)$.
		\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $h(x) = - \dfrac13$.
		\item Étudier, suivant les valeurs du réel $x$, les signes
respectifs des expressions,
\begin{center}$a(x)= x + 3$ \quad et \quad $b(x) = - x - 1$.\end{center}

h(x) <o.
En déduire l'ensemble solution de l'inéquation
\[h(x)  < 0.\]
	\end{enumerate}
\item Dans le plan rapporté à un repère \Oij, construire les représentations graphiques $D$ et $D'$ des fonctions affines $a$ et $b$ définies dans la question \textbf{4.  d.}

Déterminer les coordonnées du point M, intersection de $D$ et $D'$. 

En utilisant la question \textbf{4. e.}, justifier le résultat obtenu.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le plan euclidien $P$ rapporté au repère orthonormé \Oij, placer les points A, B et C donnés par leurs coordonnées
\begin{center}A(2~;~0),\qquad B$(4~;~-2)$\quad  et \quad C$(-1~;~3)$.\end{center}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.

En déduire que les points A, B et C sont alignés.
\item Calculer les coordonnées du point D tel que le quadruplet (O, B, D, C) soit un parallélogramme.

Démontrer que le triangle (O, D, C) est rectangle isocèle, de sommet O.
\item Soit M le centre du parallélogramme (O, B, D, C).

On désigne par $x$ l'écart angulaire, en degrés, de l'angle géométrique $\widehat{\text{OMC}}$.

Calculer $\tan x$. En déduire la valeur approchée entière de $x$, à un degré près par défaut.
\item Déterminer l'abscisse du point E d'ordonnée 6 et tel que les quatre points A, B, C et E soient alignés.

Construire le symétrique E$'$ de E par rapport à M.

Que peut-on dire du quadruplet. (O, E, D, E$'$) \:?
\end{enumerate}
\end{document}