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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Versailles}
\lfoot{\small juin 1978}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Versailles juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par
\[f(x) = (x - 2)^2 - (3x + 1)(x - 2) + (4 - 2x)(x + 1).\]

\smallskip

	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner le polynôme
$f(x)$.
		\item Écrire $f(x)$ sous la forme d'un produit de deux
polynômes du premier degré.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction rationnelle $q$, donnée par

\[q(x) = \dfrac{(x -2)(- 4x - 5)}{(8x +10)(x - 3)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition de la
fonction $q$: Le réel $x$ appartenant à l'ensemble de
définition, simplifier $q(x)$.
		\item Résoudre, dans $\R$ l'équation $q(x) = 0$.
		\item Résoudre, dans R l'équation $q(x) = - \dfrac{13}{34}$.

\item Dans le plan rapporté à un repère \Oij, construire les représentations graphiques $(D)$ et $(D')$ des fonctions affines $g$ et $h$ définies par
\begin{center}$g(x)= -x + 2$ \quad et \quad $h(x) = 2x -6$.\end{center}

Déterminer les coordonnées du point d'intersection M de $(D)$ avec $(D')$ .
En déduire l'ensemble $S$ des solutions de l'équation $q(x)= 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans le plan euclidien $(P)$ rapporté au repère orthonormé \Oij, on considère les points A, B et C définis par leurs coordonnées
\begin{center}A(1~;~2)\:;\qquad B(4~;~3)\:; \qquad C(5~;~0).\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C. Démontrer que le triangle (A, B, C) est rectangle et isocèle.
\item Soit le point D défini par $\vect{\text{CD}} = \vect{\text{BA}}$ 

Calculer le coordonnées de D.
\item Montrer que les points A, B, C et D sont situés sur un même cercle de centre I. 

Calculer le
coordonnées du point I et le rayon de ce cercle.
\item Soit E le milieu du bipoint (B, C).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points O, I et E sont alignés.
		\item Montrer que les droites (OE) et (AB) sont
parallèles, puis que les droites (OE) et (BC) sont
orthogonales.
	\end{enumerate}
\item Soit $x$ l'écart angulaire, en degrés, de l'angle
géométrique $\widehat{\text{BOE}}$.

Calculer $\tan x$.

À l'aide d'une table trigonométrique, déterminer la valeur approchée à un près par excès de $x$.
\end{enumerate}
\end{document}