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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Versailles}
\lfoot{\small juin 1980}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Versailles juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$, définies par : 

\begin{center}$f(x) = 2x - 1$\quad  et \quad $g(x) = - 3x + 4$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Dans le plan $P$ rapporté à un repère \Oij, construire les représentations graphiques $D_1$ et $D_2$ des fonctions $f$ et $g$.
\item Résoudre algébriquement dans $\R$ :
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = g(x)$
		\item $f(x) > g(x)$
		\item $f(x)]^2 = [g(x)]^2$
		\item $|f(x)| = |g(x)|$.
		
Dans les deux premiers cas, on donnera une interprétation graphique du résultat obtenu.
	\end{enumerate}
\item Soit A le point du plan P, de coordonnées (0~;~3), et $\Delta$ la droite passant par A et parallèle à $D_1$.

 Déterminer une équation de la droite $\Delta$.
\item On considère la fonction $h$ de $\R$ dans $\R$, donnée par : 

\[h(x) = \dfrac{2x - 1}{- 3x + 4}\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble de définition de cette fonction.
		\item Résoudre, dans $\R$, l'équation:

\[|h(x)| = 1.\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le plan euclidien $(P)$ rapporté au repère orthonormé \Oij, placer les points A et B de coordonnées $(-4~;~2)$ et (3~;~6), puis les points C et D tels que
\[\vect{\text{OC}} = - \dfrac12 \vect{\text{OA}}\quad \text{et} \quad \vect{\text{OD}} = - \dfrac12\vect{\text{OB}}.\]

\item Démontrer que le triangle (O, A, B) est rectangle en O.

Calculer les coordonnées du centre du cercle circonscrit à ce triangle, ainsi que le rayon de ce cercle.
\item Soit $\alpha$ l'écart angulaire, en degrés, de l'angle $\widehat{\text{OAB}}$. Déterminer $tan  \alpha$ et la valeur de $\alpha$ à un degré
près par défaut.
\item Soit A$'$ et B$'$ les milieux respectifs des segments [OA] et [OB]. 

Écrire $\vect{\text{DC}}$ et $\vect{\text{A}'\text{B}'}$ en fonction de $\vect{\text{OA}}$ et $\vect{\text{OB}}$.

Quelle est la nature du quadruplet (A$'$, B$'$, C, D) ?
\item Soit E l'image de B dans la translation de vecteur $\vect{\text{OC}}$. 

Sans calculer les coordonnées de A$'$ et de E, démontrer que le quadruplet (O, A$'$, B, E) est un
parallélogramme.

En déduire que les points A$'$, B$'$ et E sont alignés.
\end{enumerate}
\end{document}