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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Versailles}
\lfoot{\small juin 1987}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Versailles juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie : dominante numérique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pendant la finale du jeu des Chiffres et des Lettres de
1987, les deux situations numériques suivantes sont sorties :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
				&\multicolumn{6}{c|}{Données}	& Total \\ \hline
1\up{er} tirage	& 2 							&50 &10 &8 &75 	&3 &501\\ \hline
2\up{e} tirage 	&3 								&1 	&4 	&5 &7 	&8 &194\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le jeu consiste à obtenir le total demandé en effectuant des calculs sur les nombres donnés.

On ne peut pas utiliser plusieurs fois le même nombre, mais on n'est pas obligé d'utiliser tous les nombres donnés.

Pour chacun des deux tirages, en respectant les règles de priorité des opérations, indiquer une suite de calculs qui aboutit au total demandé.
\item Dans chacun des cas suivants, déterminer le nombre réel $x$ tel que :

\[5x = 0\:; \qquad 5x = 1\:; \qquad x + 5 = 0\:;\qquad \dfrac{x - 5}{5} = 0.\]

\item On considère l'expression algébrique A : 

\[A=(2x + 5)(x - 3) + (x - 5)^2- 2(2x- 1)(x + 1).\]

	\begin{enumerate}
		\item Développer, réduire et ordonner $A$.
		\item Calculer la valeur numérique exacte de $A$ pour chaque
valeur de la variable $x$ du tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&0	&3\\ \hline
$A$	&	&\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Donner une valeur décimale approchée à un dixième près (par excès ou par défaut) de la valeur numérique de $A$ pour chaque valeur de $x$ du tableau ci-dessous.
		
\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{2.1}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&0,1	&$\dfrac13$\\ \hline
$A$&	&\\ \hline 
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}
	\end{enumerate}

Il convient d'indiquer la raison de votre choix.
\item Factoriser $(2x - 3)^2 - (4x - 1)^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie : dominante géométrique }

\medskip

L'unité de longueur est le cm.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Tous les traits de construction doivent rester visibles sur les
figures et les constructions seront expliquées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle MNP rectangle en N tel que : 

\begin{center} MN $= 6$ \quad et\quad  MP $= 12$.\end{center}

Prouver que NP $= 6\sqrt 3$.

(On utilisera cette longueur de [NP] pour la reporter sur le dessin de la question suivante.]
\item Construire un losange ABCD de centre O et dont les diagonales [BD] et [AC] ont pour longueurs respectives 6 et $6\sqrt 3$.

Tracer la parallèle à la droite (BD) passant par A ; elle coupe
la droite (OC) en un point E.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le quadrilatère EABD est un parallélogramme.
\item Calculer la longueur d'un côté du losange ABCD.

Calculer les longueurs des côtés du triangle EAC.
\item Soit F le symétrique de E par rapport à A.

Montrer que la droite (AC) est la médiatrice du segment [EF].

Montrer que le triangle EFC est équilatéral.

Calculer l'aire du triangle EFC, en laissant la réponse exacte,
en cm$^2$.
\item Construire un rectangle de côté AC, de même aire, que
le triangle FEC.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie: problème  }

\medskip

Un théâtre propose deux prix de places :

\begin{itemize}
\item plein tarif : 60~F{},
\item tarif adhérent : réduction de 60\,\% du plein tarif.
\end{itemize}

\smallskip

Un adhérent doit payer en début de saison une carte
d'abonnement qui lui donne droit à la réduction de 60\,\% pour chaque entrée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le prix d'une entrée au tarif adhérent ?
		\item Sachant qu'un adhérent a dépensé au total (y compris le prix de la carte) $248$~F pour $7$ entrées, calculer le prix de la carte d'abonnement.
	\end{enumerate}	
\item Pour un même nombre d'entrées $x$, on note :

\begin{description}
\item[ ] $f(x)$ la dépense totale d'un spectateur qui n'est pas adhérent,
\item[ ] $g(x)$ la dépense totale d'un adhérent.
\end{description}

Exprimer $f(x)$ et $g(x)$ en fonction de $x$.
\item On considère $f$ et $g$ comme des applications définies pour tout nombre réel positif~$x$.

Représenter ces applications dans le même repère orthogonal, en choisissant les unités de la façon suivante :

\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses, 1 cm correspond à 1,
\item sur l'axe des ordonnées, 1 cm correspond à $20$.
\end{itemize}

\emph{Consigne d'exécution} : n'indiquer sur les deux axes du repère que les chiffres nécessaires à la compréhension du problème.
\item À partir de la lecture du graphique, indiquer :
	\begin{enumerate}
		\item Le nombre minimum d'entrées pour que l'abonnement soit avantageux.
		\item Combien d'entrées totalise un adhérent lorsqu'il constate que, sans abonnement, il aurait dépensé 50\,\% de plus ?
	\end{enumerate}
\item Retrouver le résultat de la question 4. b. en écrivant une équation que l'on résoudra.
\end{enumerate}
\end{document}