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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1978}
\rfoot{\small Versailles}
\lfoot{\small septembre 1978}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Versailles septembre 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit la fonction $P$ de $\R$ dans $\R$ définie par :
\[P(x) = (1 - 3x)(x + 1) + 3(x - 2)(3x - 1) + 9x^2 - 1.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $P(x)$ sous la forme d'un polynôme réduit et ordonné,
\item Écrire $P(x)$ sous la forme d'un produit de deux polynômes du premier degré.
\item Résoudre. dans R, l'équation $P(x) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit la fonction rationnelle $F$ donnée par

\[F(x) = \dfrac{(3x - 1)(5x- 6)}{36- 25x^2}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition de $F$.

Le réel $x$ appartenant à l'ensemble de définition, simplifier $F(x)$.
\item Calculer $F\left(\sqrt 2\right)$.

On donnera le résultat sous la forme d'un quotient dont le dénominateur est un entier.
\item Résoudre dans $\R$, l'équation
\[F(x) = 1.\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le plan rapporté à un repère \Oij, tracer les représentation graphiques des fonctions $f_1$ et $f_2$ de $\R$ dans $\R$, définies par:
\[f_1(x) = 1 - 3x, \qquad f_2(x) = 5x + 6.\]
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation:
\[f_1(x) = f_2(x).\]

Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

Dans le plan euclidien $P$, rapporté au repère orthonormé \Oij, les points
A, B, C sont définis par:

\[\vect{\text{OA}} = - 4\vect{\imath} - 2\vect{\jmath},\qquad \vect{\text{OB}} = 2\vect{\imath} + 6\vect{\jmath},\qquad\vect{\text{OC}} = 6\vect{\imath} + 3\vect{\jmath}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B, C.

Démontrer que $\vect{\text{OA}} = - \dfrac23\vect{\text{OC}}$.

Que peut-on en conclure pour les points 0, A, C ?
\item Démontrer que le triangle (A, B, C) est rectangle.
\item Soit K le point défini par $\vect{\text{AK}} = \dfrac12\vect{\text{AC}}$ et D le point défini par $\vect{\text{BD}} = 2 \vect{\text{BK}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Trouver les coordonnées des points K et D.
		\item Démontrer que le quadruplet (A, B, C, D) est un rectangle.
	\end{enumerate}	
\item Soit E le point de coordonnées $(2~;~- 5)$.

Démontrer que les cinq points A, B, C ,D, E sont sur un même cercle de centre K, et dont on calculera le rayon.
\item On appelle $u$ l'écart angulaire, en degrés, de l'angle géométrique $\widehat{\text{BAC}}$. 

Calculer $\tan u$.

À l'aide d'une table trigonométrique, déterminer un encadrement, à un degré près, de $u$.
\end{enumerate}
\end{document}