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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Versailles}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Versailles septembre 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On sait que $4^8 = \np{65536}$.

À partir de cette donnée, calculer successivement $4^7\sqrt{\np{65536}}$ et $(0,4)^8$.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit :

$\left(2\sqrt 7- \sqrt 5 \right)2+ \left(2\sqrt 7+ \sqrt 5\right) \left(2\sqrt 7- \sqrt 5\right)- 2\sqrt 7 \left(3\sqrt 5 - 2\right) -2\sqrt{28}$.

Mettre cette expression sous la forme $a + b\sqrt{35}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres entiers relatifs.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soient les expressions algébriques :

\[A = (2x-1)(x + 3) + (4x-2)(x - 1),\qquad B = 4x^2 - (x + 1)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner les deux expressions.
\item Vérifier que $A = B$ pour $x = 0$ et pour $x = - \dfrac13$.

Comment pouvez-vous justifier ces résultats ?
\item Calculer les valeurs numériques de $A$ et $B$ pour $x = 0,5$
et pour $x = 1$.
\item Factoriser chacune des deux expressions $A$ et $B$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre. 

Pour tous les calculs sur le longueurs on gardera les valeurs exactes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les lignes de construction doivent rester visibles sur la figure. 

Construire :
	\begin{enumerate}
		\item un cercle $(\mathcal{C})$ de centre O et de diamètre [AC] tel que AC $= 12$ ;
		\item un rayon [OB] de $(\mathcal{C})$ perpendiculaire à (AC) ;
		\item la demi-droite [O$x$), située dans le demi-plan de frontière (AC) contenant B et telle que $\widehat{\text{AO}x}$ mesure $30\degres$.
	\end{enumerate}	
\item La tangente à $(\mathcal{C})$ en A coupe [O$x$) en un point D.

La tangente à $(\mathcal{C})$ en B coupe [O$x$) en un point E.

Calculer les longueurs OD, OE et BE.
\item Le segment [CE] coupe le rayon [OB] en F et la droite (AD) en G.

Soit H le projeté orthogonal de E sur (AC).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le rapport $\dfrac{\text{OF}}{\text{HE}}$ ; en déduire la longueur de OF.
		\item Calculer le rapport $\dfrac{\text{OF}}{\text{AG}}$ ; en déduire la longueur de AG.
	\end{enumerate}
\item Calculer l'aire $\left.(\text{en cm}^2\right)$ du trapèze AGFO.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

La direction d'un cinéma propose à ses clients deux tarifs:

\begin{itemize}
\item le tarif (A): chaque place coûte $30$~F tous les jours de la semaine y compris le lundi ;
\item le tarif (B): le client achète une carte d'adhérent de $90$~F valable un an et paie chaque place $24$~F tous les jours de la semaine y compris le lundi.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $x$ le nombre de places achetées par un client pendant un an. On suppose que ce client ne va pas plus d'une fois par semaine au cinéma. 

Que peut-on préciser pour $x$ ?
\item Pour chaque tarif, exprimer en fonction de $x$ le coût de $x$ places.
\item Dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij{} on choisit les unités de la façon suivante :
\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses 2 mm correspondent à 1;
\item sur l'axe des ordonnées 1 mm correspond à $10$.
\end{itemize}

 On considère les droites suivantes :
 
\begin{itemize}
\item la droite $(D)$ d'équation : $y = 30x$;
\item la droite $\left(D'\right)$ d'équation: $y = 24x + 90$.
\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		\item Les points A (5~;~100) et B (10~;~300) appartiennent-ils à la droite $(D)$ ?
		
Calculer l'ordonnée du point C de la droite $\left(D'\right)$ d'abscisse $52$.
		\item Les points A$'$ (10~;~330) et 0 (0~;~0) appartiennent-ils à la droite $\left(D'\right)$ ?
		
Calculer l'ordonnée du point B$'$ de la droite $\left(D'\right)$ d'abscisse $50$.
		\item Construire les droites $(D)$ et $\left(D'\right)$ et calculer les coordonnées de leur point d'intersection M.
	\end{enumerate}	
\item Trouver graphiquement à partir de combien de places le tarif (B) est plus avantageux que le tarif (A).
\item Retrouver le résultat de la 4\up{e} question par le calcul.
\end{enumerate}



\end{document}