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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Vienne}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Vienne juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire, dans un même système d'axes rectangulaires, les droites:
\[\begin{array}{l l l}
D_1,& \text{d'équation}& y = \phantom{-}x + 1 ;\\
D_2,& \text{d'équation}& y = - x +1 ;\\
D_3,& \text{d'équation}& y = -x + \dfrac52.
\end{array}\]

\item $D_1$ coupe O$y$ en A, $D_2$ coupe O$x$ en D, $D_3$ coupe O$x$ en C. $D_1$ et $D_3$ se coupent en B.

Déterminer les coordonnées des points A, B, C, D.
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

Calculer son périmètre.
\item Écrire l'équation de la droite (AC).
\end{enumerate}



\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient [AA$'$], [BB$'$], [CC$'$] les hauteurs d'un triangle ABC dont on suppose les trois angles aigus. 

I est l'orthocentre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les quadrilatères AC$'$HB$'$, C$'$BA$'$H, HA$'$CB$'$ sont inscriptibles.
\item Démontrer la similitude des triangles ABC, AB$'$C$'$, A$'$BC$'$, A$'$B$'$C.
\item Établir la relation

\begin{center}B$'$A $\times$ B$'$C = B$'$C$'$ $\times$ B$'$A$'$.\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}