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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Viet-Nam juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit l'expression 
\[A(x) = \left(2x^2 - 18\right)(x - 2) - \left(x^2 - 9\right)(2x - 1) + 3 - x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Trouver sa valeur pour $x = 3$.
		\item La décomposer en un produit de deux facteurs du premier degré.
	\end{enumerate}
\item Simplifier la fraction

\[\dfrac{A(x)}{B(x)} = \dfrac{\left(2x^2 - 18\right)(x - 2) - \left(x^2 - 9\right)(2x - 1) + 3 - x}{6x- 2x^2},\]
avec $B(x) = 6x - 2x^2$.

Calculer sa valeur pour $x = 0$.
\item Étudier les variations des fonctions.
\begin{center}$y_1 = 3x + 10$ \qquad et\qquad $y_2 = 2x$.\end{center}

Les représenter sur le même graphique.
\item Trouver les coordonnées du point d'intersection des deux droites.

En déduire à quelle condition la fraction $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ est égale à l'unité.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soient un triangle ABC, rectangle en A, et sa hauteur [AD].

On trace un cercle de centre O, passant par B et C, coupant (AB) en E entre A et B et (AC) en F entre A et C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle M l'intersection de (AD) et de (EF).

Montrer que le triangle AEM est isocèle.

En déduire que M est le milieu de [EF].
\item On trace la hauteur [AH] du triangle AEF, qui coupe (BC) en N.

Montrer que les triangles ANC et AEN sont semblables.

En déduire la position de N sur [BC].
\item Montrer que le quadrilatère ANOM est un parallélogramme.
\item On suppose que l'angle $\widehat{\text{C}}$ du triangle ABC vaut $30\degres$ et que BC $= a$.

Dans le cas où le quadrilatère AEDF est un rectangle, trouver, en fonction de $a$, la longueur du segment [AM] et celle du rayon du cercle (O) circonscrit au quadrilatère BEFC.

(Faire une figure répondant à ces nouvelles données.)
\end{enumerate}
\end{document}