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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Viet-Nam}}
\rfoot{\small{septembre 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle septembre 1959~\decofourright\\[7pt]
Viet-Nam}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On rapporte le plan à un système d'axes de coordonnées rectangulaires $x'x$ et $y'y$ d'origine O, l'unité graphique étant le cm.

Un point M$(x~;~y)$ situé dans l'angle $\widehat{x\text{O}y}$ se projette en P sur $x'x$, en Q sur $y'y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On suppose que le rectangle OPMQ a un périmètre constant égal à $10$~cm.

Exprimer $y$ en fonction de $x$ et tracer la ligne sur laquelle doit se trouver M.
\item Si l'on augmente $x$ de 1~cm et $y$ de 2~cm, l'aire d'un rectangle OPMQ augmente de $8$~cm$^2$.

Trouver la relation qui existe entre $x$ et $y$ et représenter graphiquement sur la figure précédente la fonction $y$ de $x$ obtenue.
\item Construire le rectangle OPMQ qui satisfait aux conditions déterminées par les deux questions précédentes et trouver ses dimensions par le graphique et par le calcul.
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un trapèze rectangle ABCD dont [BC] est la grande base, [CD] la petite base et [AB] la hauteur ; on suppose que l'angle $\widehat{\text{BDC}}$ est droit.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles ABD et DCB sont semblables et en déduire la relation
\begin{center}BD$^2$ = BC $\times$ AD.\end{center}
\item En supposant BC $= 9$ cm, AD $= 4$ cm, calculer BD et construire le trapèze avec la règle et le compas (expliquer et justifier la construction).

Calculer les longueurs des côtés [AB] et [DC].
\item On suppose que les deux triangles rectangles BAD et BDC ne sont plus situés dans le même plan mais dans deux plans perpendiculaires, dont la droite d'intersection est (BD).

Que peut-on dire de l'angle $\widehat{\text{ADC}}$ ?

Calculer AC$^2$.

Vérifier la relation
\begin{center}BC$^2$ = AB$^2$ + AC$^2$\end{center}
et démontrer que les segments [AB] et [AC] sont perpendiculaires.

\end{enumerate}
\end{document}