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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Vietnam }}
\rfoot{\small{juin 1958}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Vietnam juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel terme faut-il ajouter au polynôme $x^2 - 10x$ pour obtenir le carré d'un binôme?
\item Utiliser le résultat précédent pour décomposer le polynôme $x^2 - 10x + 9$ en un produit de facteurs.
\item Simplifier l'expression
\[y = \dfrac{x^2 - 10x + 9}{(x - 1)^2 - (1 - x)(3 - 2x)}.\]

\item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle $y = 3$.

Peut-on trouver $x$ tel que $y = - 1$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne trois points A, B, M situés dans cet ordre sur une droite $(D)$ et tels que AB $= 4a$, BM $= 2a$, \:$a$ étant une longueur donnée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver sur $(D)$ un point P tel que $\dfrac{\text{PA}}{\text{PB}} = \dfrac{\text{MA}}{\text{MB}}$.

Préciser sa position.
\item Par A, P{}, B respectivement, on trace les droites $y'y$, $x'x$, $z'z$ perpendiculaires à (AB).

On prend sur P$x$ un point I tel que PI $= x$.

(AI) coupe $z'z$ en B$'$ et (BI) coupe $y'y$ en A$'$.

Évaluer AA$'$ et BB$'$ en fonction de $x$.

Montrer que (A$'$B$'$) coupe AB en un point fixe.

Quel est ce point ?
\item Calculer $x$ en fonction de $a$ pour que l'angle $\widehat{\text{AIB}}$ soit droit.

Calculer $x$ en fonction de $a$ pour que A$'$B$' = 5a$.
\end{enumerate}
\end{document}