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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Vietnam septembre 1975~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{Algèbre}\end{center}

\smallskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies dans $\R$ par 
\[\begin{array}{l}
f(x)= 4x + 5\\
g(x) = x^2 - 1.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f\left(\dfrac12\right), \:g\left(\dfrac12\right), \: g\left(-\dfrac12\right)$.
		\item $g$ est-elle ou non une bijection ?
		\item Comparer $f\left(\sqrt{10} - 2\right)$ et $g\left(\sqrt{10} - 2\right)$.
		
Encadrer $f\left(\sqrt{10} - 2\right)$ à $10^{-1}$ près sachant que  $3,16 < \sqrt{10} < 3,17$.
		\item Résoudre les équations : 
		\begin{center}$f(x) = 8$\qquad  et \qquad $g(x) = 8$.\end{center}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer et développer le polynôme $g \circ f(x)$.
		\item En remarquant que $g \circ f(x)$ est une différence de deux carrés, mettre le polynôme $P(x) = 16x^2 + 24 - 40x$ sous forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.
		\item Développer puis factoriser le polynôme $f \circ g(x)$.
		\item Donner le domaine de définition et simplifier la fraction rationnelle
\[F(x) = \dfrac{16x^2 + 24 - 40x}{9 - 4x^2}.\]
		\item Soit la fraction rationnelle 
\[F'(x) = \dfrac{8(1 -  x)}{3 + 2x}.\]

Résoudre $F'(x) = 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Géométrie}\end{center}

\smallskip

\textbf{Partie A.}

\medskip

 On considère dans le plan euclidien un cercle $(\mathcal{C})$ de centre O et de
rayon $r = 4$, et deux points A et B de ce cercle.

On pose $d$(A, B) $= 2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle OAB ?
\item Montrer que la médiatrice de [AB] passe par O.
\item Soit H le milieu de [AB]. Évaluer $d$(O, H) en fonction de $a$.
\item Soit (A, B, C, D) le carré situé dans le demi-plan de frontière (AB) qui ne contient pas O.

Soit E le milieu de [CD].

Calculer $d$(A, E) en fonction de $a$.

Quelle valeur faut-il donner à $a$ pour que le quadrilatère (O, B, E, A) soit un losange ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B.}

\medskip

Dans le plan $P$ ramené à un repère orthonormé \Oij{} on considère le
points A et B définis par leurs coordonnées 
\begin{center}A$(- 1~;~2)$ \qquad et \qquad B$\left(\dfrac25~;~\dfrac35\right)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Trouver une équation de la droite (AB).
\item Trouver les coordonnées du point C défini par $\vect{\text{OC}} = - 3\vect{\text{OB}}$.
\item La parallèle à (AB) passant par C coupe la droite (OA) en D.

Trouver les coordonnées du point D.
\end{enumerate}
\end{document}