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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1996}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Vanuatu septembre 1996 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ et $B$ et donner chaque résultat sous forme d'une fraction irréductible.

\[A = \dfrac{20}{28}  + \dfrac{3}{14} \times \dfrac{4}{9}, \qquad   B = \dfrac{5^2 \times 10^4}{2^3 \times 10^4}\]

\item Calculer $C$ et $D$ et donner les résultats sous la forme $a + b\sqrt{c}$ où $a$, $b$  et $c$ sont des entiers, $c$ étant le plus petit possible.

\[C = \left(\sqrt{3}  - 1\right)^2, \qquad  D = \sqrt{50} - \sqrt{32}n + \sqrt 2\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression

\[P = (2x - 3)^2 - (x + 4)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Développer $P$.
\item Factoriser $P$.
\item Résoudre l'équation $(x - 7)(3x + 1) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Dans un grenier on a découvert un document datant de 1890 et faisant état de l'achat de $15$~kg de sucre et de $7$~kg de café, le tout pour $42$~F.

Un autre document de la même époque fait état de l'achat de $8$~kg de sucre et de $3$~kg de café pour $20,20$~F.

Quels étaient les prix d'un kg de sucre et d'un kg de café à cette époque ?

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm, placer les point A(2~;~1), B$(-2~;~3)$, C(4~;~5).

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $y = - \dfrac{1}{2}x + 2$ est une équation de la droite (AB).
		\item Déterminer une équation de la droite (AC).
		\item Démontrer que les droites (AC) et (AB)sont perpendiculaires.
		\item Calculer les longueurs AB et AC.
		\item Déduire des questions c. et d. la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Tracer le cercle de diamètre [AB]. Ce cercle coupe la droite [BC] en I.
		\item Démontrer que les droites (BC)et (AI) sont perpendiculaires. 
		\item En déduire que I est le milieu de [BC].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un triangle ABC rectangle en C, sachant que AC $= 3$ cm et BC $= 5$ cm.
\item Placer le point M du segment [AC] tel que AM $= 1$ cm.

La droite parallèle à la droite (BC) passant par le point M coupe la droite (AB) en N.

Calculer MN.
\item Calculer l'aire du trapèze MNBC.

$\left(\text{formule de l'aire d'un trapèze} : \dfrac{(\text{grande base + petite base)} \times \text{hauteur}}{2}\right)$
\item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$. En déduire sa mesure à 1 degré près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
On recueille un liquide dans le récipient ci- contre, constitué d'un cylindre de rayon $10$~m et de hauteur $18$~cm, accolé à un cône de même base et de même hauteur que le cylindre.

\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.4,-2.7)(1.4,2.6)
\psellipticarc(0,0)(1.2,0.6){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.2,0.6){0}{180}
\psellipticarc(0,-1.1)(0.6,0.3){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,-1.1)(0.6,0.3){0}{180}
\psellipse(0,2)(1.2,0.6)
\psline[linestyle=dashed](-1.2,0)(1.2,0)
\psline[linestyle=dashed](-0.6,-1.1)(0.6,-1.1)
\psline[linestyle=dashed](0,2)(0,-2.2)
\psline(-1.2,2)(1.2,2)
\psline(-1.17,-0.1)(0,-2.2)(1.17,-0.1)
\uput[d](0,-2.2){S} \uput[ul](0,-1.1){I} \uput[r](0.6,-1.1){J} \uput[ul](0,0){O} \uput[r](1.2,0){K}
\psline(-1.2,2)(-1.2,0)\psline(1.2,2)(1.2,0)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer à $10^{-2}$ près le volume du cône (on rappelle que si l'aire de la base est $B$ et la hauteur $h$, le volume $V$ de ce cône est : $V = \dfrac{B \times h}{3}$)
\item On coupe le cône par un plan parallèle au plan
des bases. Ce plan coupe l'axe du récipient en
I et le segment [SK] en J. 

On veut calculer le volume de liquide contenu dans le petit
cône de rayon de base [IJ].
	\begin{enumerate}
		\item On admettra que les droites (OK) et (IJ) sont parallèles. 
		
En posant IS $= x$ exprimer IJ en fonction de $x$.
		\item $x$ représente donc la hauteur du petit cône. 
		
Montrer que le volume . 
de ce petit cône est $V'' = \dfrac{25 \times \pi \times x^3}{243}$.

Calculer alors la valeur numérique du volume de liquide contenu
dans ce petit cône, lorsque $x = 5$~cm, en donnant le résultat à $1$~cm \ près par défaut et en prenant pour valeur approchée de $\pi$ : 3,14.
		\item Inversement, si le volume du liquide contenu dans ce cône est
$323,2$~cm$^3$ montrer que $x^3$ est approximativement égal à \np{1000}.

Quelle est la valeur correspondante de $x$ ?
	\end{enumerate}
\item  On appelle $V'$ le volume du cylindre associé au cône de volume $V$ (c'est-à-dire le cylindre qui a même rayon et même hauteur que le cône). 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $V'$ en fonction de $V$.
		\item II pleut et l'eau remplit totalement le grand cône.

On bouche le récipient et on le retourne. L'eau est alors entièrement contenue dans le cylindre.

À quelle hauteur monte-t-elle dans ce cylindre ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}