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%Merci à Mickaël Goyot et Johann Dolivet pour le sujet
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{2 décembre 2024}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Sud 2 décembre 2024~\decofourright}}

\bigskip

\textbf{Durée : 2 heures}

\end{center}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 20 points}

\bigskip

Cet exercice est un Q.C.M. (questionnaire à choix multiple).

Pour chacune des cinq questions, trois réponses sont proposées et une seule convient.

Pour chacune des cinq questions, écrire sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

\textbf{Aucune justification n'est attendue.} 

Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne retire pas de point.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\cline{3-5}
\multicolumn{2}{c|}{~}&A&B&C\\ \hline
1	&Une urne contient trois jetons verts et deux jetons blancs. On tire un jeton au hasard.

Quelle est la probabilité d'obtenir un jeton blanc?&
$\dfrac23$&$\dfrac35$&$\dfrac25$\\ \hline
2	&
\psset{unit=0.6cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-1)(5.5,1.3)
\psframe(3,1)\psline(1,1)(1,0)\psline(2,1)(2,0)
\psline(3,0)(3.4,0.35)(3.4,1.35)(3,1)
\psline(3.4,1.35)(3.8,1.7)
\psline{->}(5.5,1)(4,1)
\psline(1,1)(1.4,1.35)(3.4,1.35)
\psline(2,1)(2.8,1.7)(3.8,1.7)(3.8,0.7)(3.4,0.35)
\psline(3.8,0.7)(3.8,-0.3)(3.4,-0.65)(3.4,0.35)
\psline(3.4,-0.65)(2.4,-0.65)(2.4,0)
\psline(1.4,1.35)(1.4,3.35)(0.4,3.35)(0,3)(1,3)(1,1)
\psline(1,3)(1.4,3.35)\psline(0,2)(1,2)(1.4,2.35)
\psline(0,3)(0,1)
\end{pspicture}

Quelle est la vue de droite de ce solide ? 
&
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(3,5.5)
\psframe(0,1)(1,5)
\psline(0,2)(1,2)\psline(0,3)(1,3)
\psline(1,1)(3,1)(3,2)(1,2)\psline(2,1)(2,0)(3,0)(3,1)\psline(0,4)(1,4)\psline(2,1)(2,2)\end{pspicture}
&
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(3,5)\psframe(0,1)(1,4) \psframe(0,1)(2,2)\psline(0,3)(1,3)\psline(1,1)(1,0)(2,0)(2,1) \end{pspicture}
&
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(3,5)\psframe(0,1)(2,2)\psframe(1,0)(2,4)\psline(1,3)(2,3) \end{pspicture}\\ \hline
3&
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.3)(3.5,2.6)
\pspolygon(0.2,2.3)(0.5,0.2)(3.6,0.2)%ABC
\uput[l](0.2,2.3){\footnotesize A} \uput[dl](0.5,0.2){\footnotesize B} \uput[dr](3.6,0.2){\footnotesize C} \uput[ur](1,0.2){\footnotesize D} \uput[l](0.44,0.53){\footnotesize H}
\psline(1,0.2)(0.44,0.53)
\end{pspicture}

 B, H et A sont alignés.

B, D et C sont alignés.

BD = 2 cm ; BC = 10 cm  ; 

AC = 16 cm; (DH) // (AC).

Quelle est la longueur du segment [DH] ?
&3,2 cm&4 cm&4,8 cm\\ \hline

\end{tabularx}
\end{center}


\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\cline{3-5}
\multicolumn{2}{c|}{~}&A&B&C\\ \hline
4& \parbox{4cm}{\centering Voici un engrenage:\rule{0pt}{15pt}\\ \hspace*{3mm}12~dents \hspace*{6mm} 9~dents}
\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-3.5)(10,4.5)
%\psgrid
\def\denta{\psline(2;78)(2;82)(2.3;82)(3;88)(3;92)(2.3;98)(2;98)(2;102)}
\multido{\n=90+30,\na=0+30}{12}{\rput{\na}(0.7;\n){\denta}}
\multido{\i=97+30,\I=113+30}{12}{\psarc(0,0){2.67}{\i}{\I}}
\def\dentb{\psline(1.5;-12)(1.5;-8)(1.725;-8)(2.25;-2)(2.25;2)(1.725;8)(1.5;8)(1.5;12)}
\def\roued{\multido{\n=-5+40,\na=0+40}{9}{\rput{\na}(0.2;\n){\dentb}}}%
\multido{\i=8+40,\I=32+40}{9}{\psarc(5.75,0){1.67}{\i}{\I}}
%\pscircle(0,0){2.57}
%\pscircle(5.75,0){1.6}
\rput(5.75,0){\roued}
\end{pspicture}

 Si la petite roue effectue exactement 4 tours complets, combien de tours complets effectue la grande roue ?&3 tours complets&4 tours complets&6 tours complets\\ \hline
5&\psset{unit=0.7cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(3.3,3.3)
\psframe(2,2)\psframe(2,2)(3,3)
\psline(0,2)(2,0)\psline(2,3)(3,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize F} \uput[d](2,0){\footnotesize E} \uput[l](0,2){\footnotesize G} \uput[ul](2,2){\footnotesize A}
\uput[r](3,2){\footnotesize D} \uput[ur](3,3){\footnotesize C} \uput[ul](2,3){\footnotesize B}
\multido{\n=0+1}{4}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,3)}
\multido{\n=0+1}{4}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(3.2,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Le carré AGFE est l'image du carré ADCB par une homothétie de centre A.

Le triangle EGF est l'image d'un triangle par cette même homothétie.

Quel est ce triangle ?
&GEA&ABD&BDC\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 24 points}

\bigskip

On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies par :

\[f(x) = x^2 - x - 6 \qquad \qquad g(x) = -2x.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'image de 5 par la fonction $f$ est 14.
		\item Déterminer l'antécédent de 4 par la fonction $g$.
		\end{enumerate}		
Pour calculer des images de nombres par les fonctions $f$et $g$, on utilise un tableur et on obtient la copie d'écran suivante:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|>{\cellcolor{lightgray}}c|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rowcolor{lightgray}	&\text{A}&B&C&D&E&F&G&H\\ \hline
1	&$x$&$-4$&$-3$&$-2$&$-1$&0&1&2\\ \hline
2	&$f(x) = x^2 - x - 6$&14&6&0&$-4$&$-6$&$-6$&$-4$\\ \hline
3	&$g(x) = -2x$&8&6&4&2&0&$-2$&$-4$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}[resume]
		\item À l'aide des informations précédentes, citer deux antécédents de 14 par la fonction $f$.
		
		\item  Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B2 avant de l'étirer vers la droite jusqu'à la cellule H2 ?
		\item Existe-t-il un nombre qui a la même image par la fonction $f$ et par la fonction $g$ ?
		\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre $x,\, f(x)$ est égal à $(x + 2)(x - 3)$. 
		\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 22 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 

Le tableau ci-dessous présente, pour quatre félins étudiés, les probabilités d'attraper leur proie quand ils la poursuivent.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Félin étudié &
Probabilité d'attraper la proie qu'il poursuit\\ \hline
Le lion&25\,\%\\ \hline
Le guépard&$\dfrac12$\rule[-10pt]{0pt}{28pt}\\ \hline
Le tigre&$0,1$\\ \hline
Le chat à pieds noirs&$\dfrac{6}{10}$\rule[-10pt]{0pt}{28pt}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Vérifier que, parmi les quatre félins étudiés, le chat à pieds noirs a la probabilité la plus élevée d'attraper sa proie quand il la poursuit.
\item  Le plus souvent, le guépard est le félin le plus rapide avec une vitesse pouvant atteindre 115 km/h.
À cette vitesse, en combien de secondes le guépard parcourt-il 100 mètres?
On donnera une valeur approchée au centième de seconde près.

 Dans un pays d'Afrique, on estimait à :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item \np{1200} guépards en 1999.
\item 170 guépards en 2016.
\end{itemize}

Dans ce pays, est-il vrai que le nombre de guépards a baissé d'environ 86\,\% entre 1999 et 2016 ?

\item Dans le parc national d'Etosha en Namibie, on peut observer des lions et des guépards.
À l'aide de la carte ci-dessous, donner approximativement la latitude et la longitude du parc national d'Etosha.

\includegraphics[width=14cm]{mappemonde.eps}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 20 points}

\medskip

On dispose d'un terrain en pente sur lequel on souhaite construire une maison. Il faut pour cela enlever de la terre afin d'obtenir un terrain horizontal.
On dispose des informations suivantes :

\medskip

\begin{minipage}{0.28\linewidth}
La maison sera construite sur le terrain horizontal représenté par le segment [BC].
Le triangle ABC est rectangle en C et : 

AC $= 2,6$ m

AB $=17$ m
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.67\linewidth}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(12,5.5)
\pspolygon[fillstyle=dots,hatchcolor=lightgray,linecolor=white](0,0)(12,0)(12,1)(3.2,1)(3.2,2.4)(0,2.4)
\pspolygon[fillstyle=hlines,hatchcolor=gray,linecolor=white](8.3,1)(3.2,2.4)(3.2,1)%BAC
\psframe(3.2,1)(3.4,1.2)
\rput(6,2.8){Terre à enlever}\psline{->}(6,2.4)(5,1.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,2.4)(0.5,3.2)(1.4,4.6)(2.3,3.2)(2.3,2.4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](9.7,1)(9.7,1.8)(10.6,3.2)(11.7,1.8)(11.7,1)
\uput[d](8.3,1){B} \uput[u](3.2,2.4){A} \uput[dl](3.2,1){C} 
\rput(6,5.3){\textbf{Vue en coupe du terrain}}
\psline(12,1)(3.2,1)(3.2,2.4)(0,2.4)
\psline[linestyle=dashed](8.3,1)(3.2,2.4)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la longueur CB est égale à 16,8 m.
\item Le coût des travaux pour enlever la terre dépend de la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.
Si la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ est supérieure à $8,5\degres$, cela entraînera un surcoût des travaux (c'est-à-dire que les travaux pour enlever la terre coûteront plus cher).

Est-ce le cas pour ce terrain?
\item On admet que le volume de terre enlevée correspond au volume du prisme droit CBAFED de hauteur [CF] et de bases triangulaires ACB et DFE, comme représenté ci-dessous. On rappelle que les longueurs CF et AD sont égales.

% figure prisme de terre
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.4,3.2)
\pspolygon(0.2,0.5)(2.5,0.2)(0.2,1.7)%CBA
\psline(2.5,0.2)(4.7,1.2)(2.4,2.7)(0.2,1.7)%BEDA
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.5)(2.4,1.5)(4.7,1.2)%CFE
\psline[linestyle=dashed](2.4,1.5)(2.4,2.7)%FD
\uput[ul](0.2,1.7){A} \uput[dr](2.5,0.2){B} \uput[dl](0.2,0.5){C}
\uput[u](2.4,2.7){D} \uput[r](4.7,1.2){E} \uput[l](2.4,1.7){F}
\psframe(0.2,0.5)(0.4,0.7)\psframe(2.4,1.5)(2.6,1.7)
\rput{90}(-0.1,1.1){2,6 m}\rput{-30}(3.6,2.3){17 m}\rput{24}(1.2,2.5){30 m}
\end{pspicture}
\end{center}

Déterminer le volume de terre à enlever en m$^3$.

On rappelle la formule:

Volume d'un prisme droit = aire d'une base du prisme $\times$ hauteur du prisme.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 5 \hfill 14 points}

\bigskip

Dans cet exercice, aucune justification n'est attendue pour les réponses apportées aux questions 1. et 2.

À l'aide d'un logiciel de programmation, on définit un bloc \og Losange\fg{} pour construire un losange.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Bloc \og Losange \fg }\rule{0pt}{15pt}&\textbf{Losange obtenu}\\
&\\
\parbox{5cm}{
\begin{scratch}[pre text=\bf\sffamily,scale=1]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Losange}}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}
{
\blockmove{avancer de \ovalnum{20}}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{60} degrés}
\blockmove{avancer de \ovalnum{$a$}}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{$b$} degrés}
}
\blockpen{relever le stylo}
\end{scratch}
}% fin du parbox
&
\parbox{5cm}{
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(0,-5)(4.2,1.3)
\pspolygon(3.3,0.7)(4.1,0.7)(4.45,0)(3.65,0)
%\psgrid 
\psline{->}(2.6,0.7)(3.3,0.7)
\uput[r](0,1.1){Point et}
\uput[r](0,0.7){orientation de}
\uput[r](0,0.3){départ}
\end{pspicture}
}
\\ 
&\\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le bloc \og Losange \fg, par quelles valeurs faut-il remplacer $a$ et $b$ pour obtenir le losange ci-dessus ?
\item On définit ensuite un nouveau bloc nommé \og Motif A \fg{} :

\begin{center}
\begin{scratch}[pre text=\bf\sffamily,scale=1]
\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Motif A}}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois}
{
\blockmove{Losange}
\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{60} degrés}
}
\end{scratch}
\end{center}

Parmi les figures suivantes, quelle est celle qui est obtenue en exécutant le bloc \og Motif A\fg{} ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Figure 1& Figure 2& Figure 3\\ \hline
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\def\petale{\pspolygon(0,0)(1;0)(1.732;-30)(1;-60)}
\multido{\n=0+-45}{3}{\rput{\n}(0,0){\petale}}

\end{pspicture}&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\def\petale{\pspolygon(0,0)(1;0)(1.732;30)(1;60)}
\multido{\n=0+60}{6}{\rput{\n}(0,0){\petale}}
\end{pspicture}&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\def\petale{\pspolygon(0,0)(1;0)(1.732;-30)(1;-60)}
\multido{\n=0+-60}{3}{\rput{\n}(0,0){\petale}}

\end{pspicture}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On a défini un nouveau bloc nommé \og Motif B \fg. En l'exécutant, on a obtenu la figure ci-dessous:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,-1)
\def\petale{\pspolygon(0,0)(1;0)(1.732;-30)(1;-60)}
\multido{\n=0+2}{3}{\rput(\n,0){\petale}}
\end{pspicture}
\end{center}

Écrire un script du bloc \og Motif B \fg.
\end{enumerate}
\end{document}
