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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\newcommand{\pstEllipse}[5][]{% arc d'ellipse
\psset{#1}
\parametricplot{#4}{#5}{#2\space t cos mul #3\space t sin mul}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdftitle = {Année 2015},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small L'intégrale 2015}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges  2015~\decofourright \\\vspace{1cm} L'intégrale d'avril  à décembre 2015}}

\vspace{1cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}}
\end{center} 
{\Large \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry 28 avril 2015}  \dotfill \pageref{Pondichery}  \medskip

\hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord 9 juin 2015}   \dotfill \pageref{AmeriqueNord}  \medskip

\hyperlink{Asie}{Asie 22 juin  2015} \dotfill \pageref{Asie}  \medskip

\hyperlink{EtrangerII}{Centres étrangers 15 juin 2015} \dotfill \pageref{EtrangerII} \medskip

\hyperlink{EtrangerMaroc}{Centres étrangers (secours) Maroc 15 juin 2015} \dotfill \pageref{EtrangerMaroc} \medskip

\hyperlink{Metropole}{Métropole, La Réunion, Antilles--Guyane 25 juin 2015} \dotfill \pageref{Metropole} \medskip

\hyperlink{Polynesie}{Polynésie 23 juin 2015} \dotfill \pageref{Polynesie} \medskip

\hyperlink{Metropolesep}{Métropole, La Réunion, Antilles--Guyane 17 sept. 2015} \dotfill \pageref{Metropolesep} \medskip

\hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie 10 septembre  2015}  \dotfill \pageref{Polynesiesep} \medskip  

\hyperlink{AmeriqueSud}{Amérique du Sud 1\up{er} décembre  2015}  \dotfill \pageref{AmeriqueSud} \medskip

\hyperlink{Caledoniedec}{Nouvelle--Calédonie 8 décembre 2015} \dotfill  \pageref{Caledoniedec} \medskip

%\hyperlink{Caledoniepro}{Nouvelle--Calédonie série professionnelle  9 déc. 2015} \dotfill  51\medskip
}

\newpage
 ~
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Pondichéry avril 2014
\hypertarget{Pondichery}{}

\label{Pondichery}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small 28 avril 2015}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Pondichéry 28  avril 2015~\decofourright
}}} 

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}

\medskip

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples).

Pour chaque ligne du tableau, une seule affirmation est juste.

Sur votre copie, indiquer le numéro de la question et recopier l'affirmation juste.

On ne demande pas de justifier.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.5cm}|*{3}{>{\centering  \arraybackslash}X|}}\hline
	&Questions 			&A			& B			& C\\ \hline
1	& La forme développée de $(x - 1)^2$ est :&$(x - 1)(x + 1)$&  $x^2 - 2x + 1$& $x^2 + 2x + 1$.\\ \hline
2	& Une solution de l'équation : $2x^2 + 3x - 2 = 0$ est&0&2&$- 2$\\ \hline
3	& On considère la fonction $f : x \longmapsto  3x+2$.  Un antécédent de $- 7$ par la fonction $f$ est :&$- 19$& $- 3$& $- 7$\\ \hline
4	& Lorsqu'on regarde un angle de 18\,\degres{} à la loupe de grossissement 2, on voit 
un angle de :&9\degres& 36\degres& 18\degres\\ \hline
5	& On considère la fonction $g :  x \longmapsto x^2 + 7$.
Quelle est la formule à entrer dans la cellule B2 pour calculer $g(- 2)$ ?
%\psset{unit=0.5cm}
\centering \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
	&A		&B \\ \hline
1	&$x$	&$g(x)$\\ \hline
2	&$- 2$	&\\ \hline
3	&		&\\ \hline
\end{tabular} &= A2 $\hat{}$ 2 + 7& $= - 2^2 + 7$& = A$2*2$ + 7\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2\hfill 4 points}}

\medskip

Un chocolatier vient de fabriquer \np{2622}~œufs de Pâques et \np{2530}~poissons en chocolat.

Il souhaite vendre des assortiments d'oeufs et de poissons de façon que:

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] tous les paquets aient la même composition ;
\item[$\bullet~~$] après mise en paquet, il reste ni œufs, ni poissons.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le chocolatier peut-il faire 19 paquets ? Justifier.
\item Quel est le plus grand nombre de paquets qu'il peut réaliser ? Dans ce cas, quelle
sera la composition de chaque paquet ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3\hfill 6 points}}

\medskip
Peio, un jeune Basque décide de vendre des glaces du 1\up{er} juin au 31 août inclus à
Hendaye.

Pour vendre ses glaces, Peio hésite entre deux emplacements :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item une paillotte sur la plage
\item une boutique au centre-ville.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

En utilisant les informations ci-dessous, aidez Peio à choisir l'emplacement le
plus rentable.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X c|}\hline
\textbf{Information 1} : les loyers des deux emplacements proposés :&\\
$\bullet~~$la paillotte sur la plage : \np{2500}~\euro{} par mois.&\\
$\bullet~~$la boutique au centre-ville : $60$~\euro{} par jour.&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Information 2} : la météo à Hendaye\\
Du 1\up{er} juin au 31 août inclus :\\
$\bullet~~$Le soleil brille 75\,\% du temps\\
$\bullet~~$Le reste du temps, le temps est nuageux ou pluvieux.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Information 3} : prévisions des ventes par jour selon la météo :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Soleil & Nuageux - pluvieux\\ \hline
La paillotte& 500~\euro& 50~\euro\\ \hline
La boutique& 350~\euro& 300~\euro\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On rappelle que le mois de juin comporte 30 jours et les mois de juillet et août
comportent 31 jours.

\medskip

\textbf{Toute piste de recherche même non aboutie, sera prise en compte dans
l'évaluation.}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4\hfill 6 points}}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{La dernière bouteille de parfum de chez Chenal a la forme
d'une pyramide SABC à base triangulaire de hauteur [AS] telle que :

$\bullet~~$ABC est un triangle rectangle et isocèle en A ;

$\bullet~~$AB = 7,5~cm et AS = 15~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de la pyramide SABC. (On arrondira au cm$^3$ près.)
\item Pour fabriquer son bouchon SS$'$MN, les concepteurs ont
coupé cette pyramide par un plan P parallèle à sa base et passant par le point S$'$ tel que SS$'$ = 6~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la section plane S$'$MN obtenue ?
		\item Calculer la longueur S$'$N.
	\end{enumerate}
\item Calculer le volume maximal de parfum que peut contenir cette bouteille en cm$^3$.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(5.5,12)
%\psgrid
\pspolygon(0.4,1.4)(0.4,10.9)(3.2,0.5)%ASB
\psline(0.4,10.9)(5.2,1.4)(3.2,0.5)%SCB
\psline[linestyle=dashed](0.4,1.4)(5.2,1.4)%AC
%\psline(0.4,7.1)(1.5,6.7)(2.3,7.1)%S'MN
%\psline[linestyle=dashed](0.4,7.1)(2.3,7.1)%S'N
\psframe(0.4,1.4)(0.9,1.9)
\psline(0.9,1.4)(1.4,1.2)(1,1.2)
\uput[u](0.4,10.9){S}\uput[l](0.4,7.1){S$'$}
\uput[dr](1.5,6.7){M}\uput[r](2.3,7.1){N}
\uput[l](0.4,1.4){A}\uput[d](3.2,0.5){B}\uput[r](5.2,1.4){C}
\rput(2.6,1.4){$\circ$}\rput(2,0.9){$\circ$}
\def\base{\psline(0.4,1.4)(3.2,0.5)(5.2,1.4)\psline[linestyle=dashed]](5.2,1.4)(0.4,1.4)}
\psHomothetie(0.4,10.9){0.4}{ \base}
\end{pspicture}}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5\hfill 4 points}}

\medskip

Un jeu télévisé propose à des candidats deux épreuves :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Pour la première épreuve, le candidat est face à 5 portes : une seule
porte donne accès à la salle du trésor alors que les 4 autres s'ouvrent
sur la salle de consolation.
\item[$\bullet~~$]Pour la deuxième épreuve, le candidat se retrouve dans une salle face
à 8 enveloppes.

\textbf{Dans la salle du trésor }: 1 enveloppe contient \np{1000}~\euro, 5 enveloppes
contiennent 200~\euro. Les autres contiennent 100~\euro.

\textbf{Dans la salle de consolation} : 5 enveloppes contiennent 100~\euro{} et les
autres sont vides.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Il doit choisir une seule enveloppe et découvre alors le montant qu'il a gagné.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le candidat accède à la salle du trésor ?
\item Un candidat se retrouve dans la salle du trésor.
	\begin{enumerate}
		\item Représenter par un schéma la situation.
		\item Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins 200~\euro{} ?
	\end{enumerate}
\item Un autre candidat se retrouve dans la salle de consolation.

Quelle est la probabilité qu'il ne gagne rien ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 6\hfill 7 points}}

\medskip

[AB] est un segment de milieu O tel que AB = 12~cm.

Le point C appartient au cercle de centre O passant par A. De plus AC = 6~cm

L'angle $\widehat{\text{ABC}}$ mesure 30\,\degres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la figure en vraie grandeur.
\item Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
	\begin{enumerate}
		\item Le triangle ABC est rectangle.
		\item Le segment [BC] mesure 10~cm.
		\item L'angle $\widehat{\text{AOC}}$ mesure 60\,\degres.
		\item L'aire du triangle ABC est $18\sqrt{3}$~cm$^2$.
		\item L'angle $\widehat{\text{BOC}}$ mesure 31\,\degres.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 7\hfill 4 points}}

\medskip

Trois triangles équilatéraux identiques sont découpés dans les coins d'un triangle
équilatéral de côté 6~cm. La somme des périmètres des trois petits triangles est égale
au périmètre de l'hexagone gris restant. Quelle est la mesure du côté des petits
triangles ?

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,5)
\pspolygon(0,0)(5,0)(2.5,4.33)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.3,0)(3.7,0)(4.35,1.126)(3.15,3.204)(1.85,3.204)(0.65,1.126)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Toute trace de recherche, même non aboutie, figurera sur la copie et sera prise
en compte dans la notation.}
%%%%%%%%%%%%%   fin Pondichéry avril 2014
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Amérique du Nord 2015
\hypertarget{AmeriqueNord}{}

\label{AmeriqueNord}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{9 juin 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Nord 9 juin 2015~\decofourright}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

Dans ce questionnaire à choix multiple, pour chaque question, des réponses sont
proposées et une seule est exacte.

Pour chacune des questions, écrire le numéro de la question et recopier la bonne
réponse.

Aucune justification n'est attendue.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Questions&\multicolumn{3}{c|}{Réponses}\\ \hline
\textbf{1.} Quelle est l'écriture scientifique de $\dfrac{5 \times 10^6 \times 1,2 \times 10^{- 8} }{2,4 \times  10^5}$ ?&$25 \times 10^{- 8}$&$2,5 \times 10^{- 7}$&$2,5 \times 10^{3}$\\ \hline
\textbf{2.} Pour $x = 20$ et $y = 5$, quelle est la valeur de $R$ dans l'expression
$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$ ?&0,25& 4 &25\\ \hline
\textbf{3.} Un article coûte 120~\euro. Une fois soldé, il coûte 90~\euro.
Quel est le pourcentage de réduction ?&25\,\% &30\,\% &75\,\%\\ \hline
\textbf{4.} On considère l'agrandissement de coefficient 2 d'un rectangle
ayant pour largeur 5~cm et pour longueur 8~cm.

Quelle est l'aire du rectangle obtenu ?&40~cm$^2$&80~cm$^2$&160~cm$^2$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Lors d'une étape cycliste, les distances parcourues par un cycliste ont été relevées
chaque heure après le départ.

Ces données sont précisées dans le graphique ci-dessous :

\begin{center}
\psset{xunit=1.85cm,yunit=0.0325cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-10)(6,220)
\multido{\n=0.0+0.5}{13}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=cyan](\n,0)(\n,220)}
\multido{\n=0+10}{23}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=cyan](0,\n)(6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(6,220)
\psline[linewidth=1.25pt](0,0)(1,40)(2,70)(3,130)(4,170)(4.5,190)
\uput[u](4.75,0){Durée de parcours (en heure)}
\uput[r](0,215){Distance parcourue (en kilomètre)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1,40)(2,70)(3,130)(4,170)(4.5,190)
\end{pspicture}
\end{center}

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes.

\emph{Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la distance totale de cette étape ?
		\item En combien de temps le cycliste a-t-il parcouru les cent premiers kilomètres ?
		\item Quelle est la distance parcourue lors de la dernière demi-heure de course ?
	\end{enumerate}
\item  Y-a-t-il proportionnalité entre la distance parcourue et la durée de parcours de cette
étape ?
	
Justifier votre réponse et proposer une explication.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

On lance deux dés tétraédriques, équilibrés et non truqués, dont les faces sont
numérotées de 1 à 4. On calcule la somme des nombres lus sur chacune des faces sur
lesquelles reposent les dés.

\smallskip

\np{1000} lancers sont simulés avec un tableur. Le graphique suivant représente la
fréquence d'apparition de chaque somme obtenue :

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(9,25)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=5](0,0)(9,25)
\multido{\n=1+1}{8}{\uput[d](\n,0){\n}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.5,0)(2.5,7)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.5,0)(3.5,15)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.5,0)(4.5,19)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.5,0)(5.5,23)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.5,0)(6.5,17)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.5,0)(7.5,13)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](7.5,0)(8.5,6)
\rput(4.5,-4){somme des nombres inscrits sur les deux dés} \rput{90}(-1,12.5){fréquence en \,\%}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique donner la fréquence d'apparition de la somme 3.
\item Lire la fréquence d'apparition de la somme 1 ? Justifier cette fréquence.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Décrire les lancers de dés qui permettent d'obtenir une somme égale à 3.
		\item En déduire la probabilité d'obtenir la somme 3 en lançant les dés. On exprimera
cette probabilité en pourcentage. 
		
Expliquer pourquoi ce résultat est différent de celui obtenu à la question 1.
	\end{enumerate} 
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip

Trouver le nombre auquel je pense.

\setlength\parindent{1.5cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Je pense à un nombre.
\item[$\bullet~~$] Je lui soustrais $10$.
\item[$\bullet~~$] J'élève le tout au carré.
\item[$\bullet~~$] Je soustrais au résultat le carré du nombre auquel j'ai pensé.
\item[$\bullet~~$] J'obtiens alors : $- 340$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 4 points}

\medskip

Pour filmer les étapes d'une course cycliste, les réalisateurs de télévision utilisent des
caméras installées sur deux motos et d'autres dans deux hélicoptères. Un avion relais,
plus haut dans le ciel, recueille les images et joue le rôle d'une antenne relais.
On considère que les deux hélicoptères se situent à la même altitude et que le peloton  des coureurs roule sur une route horizontale. Le schéma ci-dessous illustre cette
situation:

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(14,7)
%\psgrid
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](7,5.8)(1.8,0)(11.8,0)(3.8,2.2)(10,2.2)%AMNHJ
\uput[u](7,5.8){A (avion)} \uput[d](1.8,0){M (moto 2)} \uput[d](11.8,0){N (moto 1)} \uput[ul](3.8,2.2){H hélicoptère 2} \uput[ur](10,2.2){L hélicoptère 1} 
%\pspolygon(7,5.8)(1.8,0)(11.8,0)
\psline(0,0)(14,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

L'avion relais (point A), le premier hélicoptère (point L) et la première moto (point N)
sont alignés. 

De la même manière, l'avion relais (point A), le deuxième hélicoptère
(point H) et la deuxième moto (point M) sont également alignés.

On sait que : AM = AN = 1 km ; HL = 270~m et AH = AL = 720~m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Relever la phrase de l'énoncé qui permet d'affirmer que les droites (LH) et (MN) sont
parallèles.
\item  Calculer la distance MN entre les deux motos.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 6} \hfill 4 points}

\medskip

À l'issue de la 18\up{e} étape du tour de France cycliste 2014, les coureurs ont parcouru
\np{3260,5}~kilomètres depuis le départ. Le classement général des neuf premiers coureurs est
le suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{X|}}\hline
Classement	& NOM Prénom		& Pays d'origine	&Temps de course de chaque coureur\\ \hline
1.			& NIBALI Vincenzo	& Italie 			&80~h 45~min\\ \hline
2.			& PINOT Thibaut		& France 			&80~h 52~min\\ \hline
3.			& PÉRAUD Jean-Christophe& France		&80~h 53~min\\ \hline
4.			& VALVERDE Alejandro& Espagne 			&80~h 53~min\\ \hline
5.			& BARDET Romain		& France 			&80~h 55~min\\ \hline
6.			& VAN GARDEREN Tejay& Etats-Unis		&80~h 57~min\\ \hline
7.			& MOLLEMA Bauke		& Pays Bas 			&80~h 59~min\\ \hline
8.			& TEN DAM Laurens	& Pays-Bas 			&81~h 00~min\\ \hline
9.			& KONIG Leopold		& République Tchèque&81~h 00~min\\ \hline
\multicolumn{4}{r}{\emph{Source : letour.fr}}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la différence entre le temps de course de Leopold Konig et celui de
Vincenzo Nibali.
\item On considère la série statistique des temps de course.
	\begin{enumerate}
		\item Que représente pour la série statistique la différence calculée à la
question 1. ?
		\item Quelle est la médiane de cette série statistique ? Vous expliquerez votre
démarche.
		\item Quelle est la vitesse moyenne en km.h$^{-1}$ du premier français Thibaut Pinot ?
		
Arrondir la réponse à l'unité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 7} \hfill 8 points}

\medskip

La Pyramide du Louvre est une oeuvre de l'architecte Leoh Ming Pei.

Il s'agit d'une pyramide régulière dont la base est un carré de côté 35,50~mètres et dont
les quatre arêtes qui partent du sommet mesurent toutes 33,14~mètres.

\medskip
%\begin{center}
%\includegraphics*[angle=-90,width=8cm]{PyramidePei}
%\end{center}


\parbox{0.55\linewidth}{\begin{enumerate}
\item La Pyramide du Louvre est schématisée comme ci-contre.

Calculer la hauteur réelle de la Pyramide du Louvre.

On arrondira le résultat au centimètre.
\item On veut tracer le patron de cette pyramide à l'échelle $1/800$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les dimensions nécessaires de ce patron en les arrondissant au millimètre.
		\item Construire le patron en faisant apparaître les traits de construction.
		
On attend une précision de tracé au mm.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.42\linewidth}{\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(7,7)
\pspolygon(0.5,0.5)(5.5,0.5)(6.7,1.8)(3.6,6)%ABCSA
\psline(5.5,0.5)(3.6,6)%BS
\pspolygon[linestyle=dashed](0.5,0.5)(1.7,1.8)(6.7,1.8)%ADCA
\pspolygon[linestyle=dashed](5.5,0.5)(1.7,1.8)(3.6,6)(3.6,1.15)%BDSH
%\psline[linestyle=dashed](3.7,6)(3.6,1.15)%SH
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](5.5,0.5){B} \uput[ur](6.7,1.8){C} 
\uput[ul](1.7,1.8){D} \uput[u](3.6,6){S} \uput[d](3.6,1.15){H}
\psline(3.8,1.1)(3.8,1.3)(3.6,1.4)(3.4,1.3)(3.4,1.1) 
\end{pspicture}}
%%%%%%%%%%%%%   fin Amérique du Nord 2015
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Asie juin 2015
\hypertarget{Asie}{}

\label{Asie}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{22 juin 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Asie 22 juin 2015~\decofourright}}
    
\bigskip
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}de l'exercice 2 sur l'intervalle de 

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est
demandée.\\
Pour chaque question, trois réponses (A, B et C) sont proposées. Une seule d'entre elles
est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse exacte.\\
Une bonne réponse rapporte $1$ point.\\
Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5}
\multicolumn{2}{c|}{~}&A &B &C\\ \hline
1&L'écriture en notation scientifique du nombre \np{587000000} est :&$5,87\times 10^{- 8}$& $587 \times 10^6$& $5,87 \times 10^8$\\ \hline
2&Si on développe et réduit l'expression $(x + 2)(3x -1)$ on obtient:& $3x^2 + 5x - 2$ &$3x^2 + 6x +2$ &$3x^2 - 1$\\ \hline
3&Dans un parking il y a des motos  et des voitures. On compte 28 véhicules et 80 roues. Il y a donc :&20 voitures& 16 voitures &12 voitures\\ \hline
4& Le produit de 18 facteurs égaux à $- 8$ s'écrit:&$- 8^{18}$&$(- 8)^{18}$& $18 \times  (- 8)$\\ \hline
5& La section d'un cylindre de révolution de diamètre 4 cm et de  hauteur 10 cm par un plan parallèle à son axe peut être :&un rectangle de dimensions 3 cm et 10 cm&un rectangle de  dimensions 5 cm et 10 cm&un rectangle de dimensions 3 cm et 8 cm\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Julien est en retard pour aller rejoindre ses amis au terrain de basket.

Il décide alors de traverser imprudemment la route du point J au point F sans utiliser les
passages piétons.

Le passage piéton est supposé perpendiculaire au trottoir.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.5,4.3)
\psframe(6.5,4.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](6.5,0.8)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,3.5)(6.5,4.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0.8)(6.5,3.5)
\multido{\n=1.000+0.625}{4}{\rput(0,\n){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0)(1.7,0.425)}}
\uput[ul](0,3.5){F}\uput[dl](0,0.8){K}\uput[dr](6.5,0.8){J}
\psline{<->}(-0.3,0.8)(-0.3,3.5)\rput(-0.7,2.15){8 m}
\psline{<->}(0,0.5)(6.5,0.5)\rput(3.25,0.2){15 m}
\psline{<->}(0.1,3.5)(6.4,0.8)
\end{pspicture}
\end{center}

En moyenne, un piéton met $9$ secondes pour parcourir $10$ mètres. 

Combien de temps Julien a-t-il gagné en traversant sans utiliser le passage piéton ?



\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip

Un bus transporte des élèves pour une compétition multisports. Il y a là 10 joueurs de
ping-pong, 12 coureurs de fond et 18 gymnastes. Lors d'un arrêt, ils sortent du bus en
désordre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le premier sportif à sortir du bus soit un joueur de ping-pong ?
\item Quelle est la probabilité que le premier sportif à sortir du bus soit un coureur ou un
gymnaste ?
\item Après cet arrêt, ils remontent dans le bus et ils accueillent un groupe de nageurs.

Sachant que la probabilité que ce soit un nageur qui descende du bus en premier
est de 1/5, déterminer le nombre de nageurs présents dans le bus.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 3 points}

\medskip

À la fin d'une fête de village, tous les enfants présents se partagent équitablement les 397
ballons de baudruche qui ont servi à la décoration. Il reste alors 37 ballons. 

\smallskip

L'année suivante, les mêmes enfants se partagent les 598 ballons utilisés cette année-là.
Il en reste alors 13.

\smallskip

Combien d'enfants, au maximum, étaient présents ?

\emph{Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans le notation.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 5 \hfill 7 points}

\medskip

Un bateau se trouve à une distance $d$ de la plage.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4.3)
%\psgrid
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\pscurve(0,1.7)(2,1.4)(4,1.5)(6,1.6)(8,1.45)
\psline(8,0)(0,0)}
\pspolygon(1,1)(7,1)(5,4)
\psline(5,4)(5,1)\psframe(5,1)(5.3,1.3)
\psarc(1,1){5mm}{0}{42}\psarc(7,1){5mm}{127}{180}
\uput[u](5,4){Bateau}
\uput[d](4,1){$L = 80$~m}\uput[l](5,2.5){$d$}
\rput(4,0.25){Plage}\rput(1.7,1.3){$\alpha$}\rput(6.25,1.3){$\beta$}
\end{pspicture}
\end{center}

Supposons dans tout le problème que $\alpha = 45\degres, \beta = 65\degres$ et que $L = 80$ m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Conjecturons la distance \boldmath$d$ \unboldmath à l'aide d'une construction}

\medskip

Mise au point par Thalès (600 avant JC), la méthode dite de TRIANGULATION
propose une solution pour estimer la distance $d$.
	\begin{enumerate}
		\item Faire un schéma à l'échelle 1/\np{1000} (1 cm pour 10 m).
		\item Conjecturer en mesurant sur le schéma la distance $d$ séparant le bateau de la côte.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Déterminons la distance \boldmath$d$ \unboldmath par le calcul}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4.3)
\pspolygon(1,1)(7,1)(5,4)
\psline(5,4)(5,1)\psframe(5,1)(5.3,1.3)
\psarc(1,1){5mm}{0}{42}\psarc(7,1){5mm}{127}{180}
\uput[u](5,4){C}
\uput[d](4,1){$80$~m}\uput[l](5,2.5){$?$}
\rput(1.7,1.3){$45$}\rput(6.25,1.3){$65$}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ est de $70$\degres.
		\item Dans tout triangle ABC, on a la relation suivante appelée \og loi des sinus \fg :
  
\[\dfrac{\text{BC}}{\sin \widehat{\text{A}}} = \dfrac{\text{AC}}{\sin \widehat{\text{B}}} = \dfrac{\text{AB}}{\sin \widehat{\text{C}}}.\]

En utilisant cette formule, calculer la longueur BC. Arrondir au cm près.
		\item En déduire la longueur CH arrondie au cm près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 6 \hfill 7 points}

\medskip

Soient les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par :

\[f(x) = 6x \qquad g(x) = 3x^2 - 9x - 7\qquad \text{et} \quad  h(x) = 5x - 7.\]

À l'aide d'un tableur, Pauline a construit un tableau de valeurs de ces fonctions.

Elle a étiré vers la droite les formules qu'elle avait saisies dans les cellules B2, B3 et B4.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2.75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{B3}&\multicolumn{7}{l|}{$=3*\text{B}1*\text{B}1-9*\text{B}1-7$} \\ \hline
	&A						&B		&C		&D		&E		&F		&G		&H\\ \hline
1	&$x$					&$-3$	&$-2$	&$-1$	&0		&1		&2		&3\\ \hline
2	&$f(x) = 6x$			&$-18$	&$-12$	&$-6$	&0		&6		&12		& 18\\ \hline
3	&$g(x) = 3x^2 - 9x - 7$	&47 	&23 	&5 		&$-7$ 	&$- 13$	& $-13$	& $-7$\\ \hline
4	&$h(x) = 5x - 7$			&$-22$ 	&$-17$ 	&$-12$ 	&$-7$ 	&$-2$ 	&3 		&8\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Utiliser le tableur pour déterminer la valeur de $h(-2)$.
\item Écrire les calculs montrant que : $g(- 3) = 47$.
\item Faire une phrase avec le mot \og antécédent\fg{} ou le mot \og image \fg{} pour traduire
l'égalité $g(- 3) = 47$.
\item Quelle formule Pauline a-t-elle saisie dans la cellule B4 ?
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déduire du tableau ci-dessus une solution de l'équation ci-dessous :

\[3x^2 - 9x - 7 = 5x - 7.\]

		\item Cette équation a-t-elle une autre solution que celle trouvée grâce au tableur ?

Justifier la réponse.

\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même inaboutie sera prise en compte
et valorisée.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 7 \hfill 5 points}

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{Un aquarium a la forme d'une sphère de 10~cm de
rayon, coupée en sa partie haute: c'est une \og calotte
sphérique \fg.

La hauteur totale de l'aquarium est 18 cm.}\hfill
\parbox{0.47\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(0,-0.1)(5.6,4.1)
%\psgrid
\psarc(2.5,2.5){2.5}{144}{36}
\psline(0.45,4)(4.55,4)
\psline{<->}(2.5,2.5)(5,2.5)\uput[u](3.75,2.5){$r$}
\psline{<->}(5.3,0)(5.3,4)\rput{90}(5.45,2){$h$}
\end{pspicture*}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le volume d'une calotte sphérique est donné par la formule :

\[V \dfrac{\pi}{3} \times h^2 \times (3r - h)\]

où $r$ est le rayon de la sphère et $h$ est la hauteur de la calotte sphérique.
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que la valeur exacte du volume en cm$^3$ de l'aquarium est $\np{1296}\pi$.
		\item Donner la valeur approchée du volume de l'aquarium au litre près.
	\end{enumerate}
\item On remplit cet aquarium à ras bord, puis on verse la totalité de son contenu dans
un autre aquarium parallélépipédique. La base du nouvel aquarium est un rectangle
de $15$~cm par $20$~cm.

Déterminer la hauteur atteinte par l'eau (on arrondira au cm).

* Rappel: 1 $\ell$ = 1 dm$^3 = \np{1000}$ cm$^3$
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Asie juin 2015
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Étranger II juin 2015
\hypertarget{EtrangerII}{}

\label{EtrangerII}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Centres étrangers groupement I}}
\rfoot{\small{15 juin 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges  15 juin 2015~\decofourright\\
Centres étrangers groupement I}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}

\medskip

Indications portant sur l'ensemble du sujet.

Les figures ou croquis ne sont pas en vraie grandeur!

Pour chaque question, laisser toutes traces de la recherche : même non aboutie,
elle sera valorisée.
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5,5 points}

\medskip

\parbox{0.75\linewidth}{\emph{Pour cet exercice, aucune justification n'est attendue.}


En appuyant sur un bouton, on allume une des cases de la grille ci-contre 
au hasard.}\hfill 
\parbox{0.22\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
1 &2& 3\\ \hline
4 &5& 6\\ \hline 
7 &8 &9\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que la case 1 s'allume?
		\item Quelle est la probabilité qu'une case marquée d'un chiffre impair s'allume ?
		\item Pour cette expérience aléatoire, définir un évènement qui aurait pour probabilité $\dfrac{1}{3}$.
	\end{enumerate}
\item Les cases 1 et 7 sont restées allumées. En appuyant sur un autre bouton, quelle est la
probabilité que les trois cases allumées soient alignées ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Le 14 octobre 2012, Félix Baumgartner, a effectué un saut d'une altitude de \np{38969,3}~mètres.

La première partie de son saut s'est faite en chute libre (parachute fermé).

La seconde partie, s'est faite avec un parachute ouvert.

Son objectif était d'être le premier homme à \textbf{\og dépasser le mur du son \fg}.

\begin{center}\textbf{\og dépasser le mur du son \fg{}} : signifie atteindre une vitesse supérieure ou égale à la vitesse du son, c'est à dire $340$ m.s$^{-1}$.\end{center}

La Fédération Aéronautique Internationale a établi qu'il avait atteint la vitesse maximale de
\np{1357,6} km.h$^{-1}$ au cours de sa chute libre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item A-t-il atteint son objectif ? Justifier votre réponse.
\item Voici un tableau donnant quelques informations chiffrées sur ce saut :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline
Altitude du saut 					&\np{38969,3} m\\ \hline
Distance parcourue en chute libre	&\np{36529} m\\ \hline
Durée totale du saut				&9 min 3 s\\ \hline
Durée de la chute libre				&4 min 19 s\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Calculer la vitesse moyenne de Félix Baumgartner en chute avec parachute ouvert
exprimée en m.s$^{-1}$. On arrondira à l'unité.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

Soit un cercle de diamètre [KM] avec KM = 6~cm.

Soit un point L sur le cercle tel que ML = 3~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Déterminer l'aire en cm$^2$ du triangle KLM. Donner la valeur exacte puis un arrondi au cm$^2$ près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

Mathilde et Paul saisissent sur leur calculatrice un même nombre. Voici leurs programmes
de calcul :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{1.cm}|X|}
\multicolumn{1}{l}{Programme de calcul de Mathilde}&\multicolumn{1}{l}{~}&\multicolumn{1}{l}{Programme de calcul de Paul}\\\cline{1-1}\cline{3-3}
$\bullet~~$Saisir un nombre&&$\bullet~~$Saisir un nombre\\
$\bullet~~$Multiplier ce nombre par 9&&$\bullet~~$Multiplier ce nombre par $- 3$\\
$\bullet~~$Soustraire 8 au résultat obtenu&&$\bullet~~$Ajouter 31 au résultat obtenu\\\cline{1-1}\cline{3-3}
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la feuille de calcul suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&\multicolumn{1}{|c|}{A}&B	&C	&D	&E	&F	&G	&H	&I	&J	&K	&L\\ \hline
1	&Nombre de départ		&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10\\ \hline
2	&Mathilde				&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
3	&Paul					&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule doit-on saisir dans la cellule B2 puis étirer jusqu'à la cellule L2 pour obtenir les résultats obtenus par Mathilde ?
		\item Quelle formule doit-on saisir dans la cellule B3 puis étirer jusqu'à la cellule L3 pour obtenir les résultats obtenus par Paul ?
	\end{enumerate}
\item Voici ce que la feuille de calcul fait apparaître après avoir correctement programmé les
cellules B2 et B3.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&\multicolumn{1}{|c|}{A}&B	&C	&D	&E	&F	&G	&H	&I	&J	&K	&L\\ \hline
1	&Nombre de départ	&0		&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10\\ \hline
2	&Mathilde			&$- 8$	&1	&10 &19 &28 &37 &46 &55 &64 &73 &82\\ \hline
3	&Paul 				&31 	&28 &25 &22 &19 &16 &13 &10 &7 	&4	&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}	

Mathilde et Paul cherchent à obtenir le même résultat.
	
Au vu du tableau, quelle conjecture pourrait-on faire sur l'encadrement à l'unité du
nombre à saisir dans les programmes pour obtenir le même résultat ?
\item Déterminer par le calcul le nombre de départ à saisir par Mathilde et Paul pour obtenir
le même résultat et vérifier la conjecture sur l'encadrement.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 8 points}

\medskip

Il existe différentes unités de mesure de la température. En France, on utilise le degré
Celsius (\degres C), aux États-Unis on utilise le degré Fahrenheit (\degres F). Voici deux représentations de cette correspondance :

\medskip

\parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(3,9.5)
%\psgrid
\psframe[framearc=0.3](0.6,0.5)(2.6,9)
\multido{\n=1.3000+0.0823}{86}{\psline(1.3,\n)(1.5,\n)}
\multido{\n=1.3823+0.4118}{18}{\psline(1.2,\n)(1.5,\n)}
\multido{\n=1.3630+0.0908}{77}{\psline[linecolor=red](1.7,\n)(1.9,\n)}
\multido{\n=1.454+0.454}{16}{\psline[linecolor=red](1.7,\n)(2,\n)}
\multido{\n=1.3823+0.4118,\na=-35+5}{18}{\rput(0.8,\n){\footnotesize \np{\na}}}
\multido{\nb=1.491+0.454,\nc=-30+10}{16}{\rput(2.25,\nb){\footnotesize \np{\nc}}}
\pscircle*(1.6,0.9){3.5mm}
\psline(1.5,1.3)(1.5,8.5)(1.7,8.5)(1.7,1.3)
\rput(1,8.7){\degres C}\rput(2,8.7){\red \degres F}
\rput(1.6,0.2){Représentation 1}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.67\linewidth}{
\psset{unit=0.09cm}
\begin{pspicture}(-35,-45)(52.5,55)
\multido{\n=-35.0+2.5}{36}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-35)(\n,55)}
\multido{\n=-35.0+2.5}{37}{\psline[linewidth=0.2pt](-35,\n)(55,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-35,-35)(52.5,52.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-35,-35)(52.5,52.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-35}{11.5}{1.8 x mul 32 add}
\uput[u](40,0){\footnotesize Température en \degres C}
\uput[r](0,53){\footnotesize  Température en \degres F}
\rput(8.5,-42){Représentation 2}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En vous appuyant sur les représentations précédentes, déterminer s'il y a
proportionnalité entre la température en degré Celsius et la température en degré
Fahrenheit. Justifier votre réponse.
\item  Soit $f$ la fonction qui à une température $x$ en degré Celsius associe la température
$f(x)$ en degré Fahrenheit correspondante. On propose trois expressions de $f(x)$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Proposition 1 &Proposition 2& Proposition 3\\ \hline
$f(x) = x+32$& $f(x) = 1,8x + 32$& $f(x) = 2x + 30$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\og Les propositions 1 et 3 ne peuvent pas être correctes. C'est donc la proposition 2 qui
convient. \fg. Justifier cette affirmation.
\item  On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 1,8x + 32$.

Calculer $f(10)$ et $f(-40)$.
\item  Existe-t-il une valeur pour laquelle la température exprimée en degré Celsius est égale
à la température exprimée en degré Fahrenheit ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 6} \hfill 6,5 points}

\medskip

La gélule est une forme médicamenteuse utilisée quand le médicament qu'elle contient 'a
une odeur forte ou un goût désagréable que l'on souhaite cacher.

On trouve des gélules de différents calibres. Ces calibres sont numérotés de \og 000 \fg{} à \og 5\fg{} comme le montre l'illustration ci-contre (\og 000 \fg{} désignant le plus grand calibre et \og 5\fg{} désignant le plus petit) :


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\def\gelule{\psline(-0.6,0.55)(-0.6,1.2)\psline(0.6,0.55)(0.6,1.2)\psarc(0,0.55){0.55}{180}{0}
\psline(-0.7,2.4)(-0.7,1.2)(0.7,1.2)(0.7,2.4)\psarc(0,2.4){0.65}{0}{180}}
\begin{pspicture}(8.6,3.8)
%\psgrid
\psframe(8.65,3.8)
\rput(0.8,0.1){\gelule}\rput(0.8,2.6){000}
\rput(2.25,0.1){\psscalebox{0.94}{\gelule}}\rput(2.25,2.45){00}
\rput(3.4,0.1){\psscalebox{0.81}{\gelule}}\rput(3.4,2.2){0}
\rput(4.6,0.1){\psscalebox{0.74}{\gelule}}\rput(4.6,1.95){1}
\rput(5.65,0.1){\psscalebox{0.67}{\gelule}}\rput(5.65,1.75){2}
\rput(6.6,0.1){\psscalebox{0.63}{\gelule}}\rput(6.6,1.6){3}
\rput(7.5,0.1){\psscalebox{0.55}{\gelule}}\rput(7.5,1.45){4}
\rput(8.25,0.1){\psscalebox{0.44}{\gelule}}\rput(8.25,1.15){5}
\end{pspicture}
\end{center}

Le tableau suivant donne la longueur de ces différents calibres de gélule :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Calibre de la gélule 				&000 &00 	&0 		&1 		&2 		&3 	&4 		&5\\ \hline
Longueur $L$ de la gélule (en mm) 	&26,1&23,3 	&21,7 	&19,4 	&18,0 &15,9 &14,3 &11,1\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\emph{\scriptsize Source: \og Technical Reference File 1st edition CAPSUGEL - Gélules Coni-Snap}}
\end{tabularx}
\end{center} 

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{On considère une gélule constituée de deux demi-sphères
identiques de diamètre 9,5 mm et d'une partie cylindrique d'une
hauteur de 16,6 mm comme l'indique le croquis ci-contre.}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.65,-0.6)(1.65,5.5)

\rput{-25}(0,0){\scalebox{.99}[0.3]{\psarc[linewidth=1pt](0,3.3){1.15cm}{180}{0}}%
\scalebox{.99}[0.3]{\psarc[linestyle=dashed](0,3.3){1.15cm}{0}{180}}%
\scalebox{.99}[0.3]{ \psarc[linewidth=1pt](0,13.3){1.15cm}{180}{0}}%
\scalebox{.99}[0.3]{\psarc[linestyle=dashed](0,13.3){1.15cm}{0}{180}}%
\psarc(0,1){1.15cm}{-180}{0}
\psarc(0,4){1.15cm}{0}{180}
\psline(-1.15,1)(-1.15,4)\psline(1.15,1)(1.15,4)
\psline{<->}(1.4,0)(1.4,4.8)
\psline{<->}(-1.4,1)(-1.4,4)
\psline{<->}(-1.15,5.3)(1.15,5.3)
\uput[u](0,5.3){9,5 mm}
\uput[r](1.4,2.4){$L$}\rput{90}(-1.55,2.45){16,6 mm}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,1)(0,4)}

\end{pspicture}

{\footnotesize Cette représentation n'est pas
en vraie grandeur.}}

\begin{enumerate}
\item À quel calibre correspond cette gélule ?
Justifier votre réponse.

\item Calculer le volume arrondi au mm$^3$ de cette gélule.

\emph{On rappelle les formules suivantes :}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline
Volume d'un cylindre de rayon& Volume d'un cône de rayon de&  Volume d'une sphère\\
$R$ et de hauteur $h$ & base $R$ et de hauteur $h$ & de rayon $R$ :\\
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$V = \pi \times  R^2 \times h$& $ V = \dfrac{\pi \times  R^2 \times h}{3}$&$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times  R^3$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Robert tombe malade et son médecin lui prescrit comme traitement une boîte
d'antibiotique conditionné en gélules correspondant au croquis ci-dessus.

Chaque gélule de cet antibiotique a une masse volumique de $6,15 \times  10^{-4}$ g/mm$^3$.
La boîte d'antibiotique contient 3 plaquettes de 6 gélules.

Quelle masse d'antibiotique Robert a-t-il absorbée durant son traitement ? Donner le
résultat en grammes arrondi à l'unité.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Étranger II juin 2015
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Étranger Maroc juin 205
\hypertarget{EtrangerMaroc}{}

\label{EtrangerMaroc}
\lfoot{\small{Centres étrangers groupement I (Maroc)}}
\rfoot{\small{15 juin 2015}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges  15 juin 2015~\decofourright\\[5pt]
Centres étrangers groupement I (Maroc)}}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1\hfill  4 points}

\medskip

L'objectif du passage à l'heure d'été est de faire correspondre au mieux les heures
d'activité avec les heures d'ensoleillement pour limiter l'utilisation de l'éclairage
artificiel.

Le graphique ci-dessous représente la puissance consommée en mégawatts (MW),
en fonction des heures (h) de deux journées J1 et J2, J1 avant le passage à l'heure
d'été et J2 après le passage à l'heure d'été.

\begin{center}
\psset{xunit=0.45cm,yunit=0.0005cm}
\begin{pspicture}(-3,-200)(24,20800)
\multido{\n=0+1}{25}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,20400)}
\multido{\n=0+1700,\na=51100+1700}{13}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(24,\n)\uput[l](0,\n){\footnotesize \np{\na}}}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=3,Oy=51100,Dy=30000,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(24,20400)
\pscurve(0,12750)(0.7,10200)(0.8,8500)(0.88,8000)(1,7550)(1.12,8000)(1.2,8500)(1.4,9350)(2,8800)(2.4,8400)(2.6,8350)(2.9,6900)(3,6100)(3.25,5100)(4,3500)(4.5,3400)(5,4050)(5.5,7000)(6,9900)(6.65,13600)(7,17000)(7.4,18700)(8,18800)(8.5,18900)(9,18850)(9.5,18750)(10,17900)(11,16250)(12,16050)(12.25,15100)(13,15150)(14,12850)(15,10500)(16,8580)(17,7150)(18,8800)(19,15300)(19.5,17750)(20,18800)(20.5,17750)(21,13100)(21.5,11300)(22,9650)(22.5,10200)(22.75,11100)(23,12700)(23.5,12000)(24,11800)
\pscurve[linestyle=dashed](0,8700)(0.5,6800)(1,5950)(1.5,5250)(2,5180)(2.5,4850)(3,3400)(3.5,2560)(4,1950)(4.5,1800)(5,1700)(5.5,3200)(6,5100)(6.5,7100)(7,10500)
(7.5,12750)(8,14650)(8.5,15300)(9,15320)(9.5,15300)(10,15320)(11,15000)(12,13620)
(13,12000)(14,10300)(15,8500)(16,6800)(17,5900)(18,5950)(19,6800)(19.5,8500)(20,8800)(21,10500)(22,8400)(23,9350)(24,8500)
\uput[u](22.5,0){Heure (h)}
\uput[r](0,20700){Puissance consommée (MW)}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{pspicture}(1,0.1)\psline(0,0)(1,0)\end{pspicture}  J1 : avant le passage à l'heure d'été

\begin{pspicture}(1,0.1)\psline[linestyle=dashed](0,0)(1,0)\end{pspicture}  J2 : après le passage à l'heure d'été

\medskip

\emph{Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes.\\
On arrondira, si nécessaire, les résultats à la demi-heure.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour la journée J1, quelle est la puissance consommée à 7~h ?
\item Pour la journée J2, à quelle(s) heure(s) de la journée a-t-on une puissance
consommée de \np{54500}~MW ?
\item À quel moment de la journée le passage à l'heure d'été permet-il le plus
d'économies ?
\item Quelle puissance consommée a-t-on économisée à 19~h30 ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2\hfill  3 points}

\medskip

Dans cet exercice, pour chaque affirmation numérotée 1., 2. et 3. des réponses sont
proposées. Une seule est exacte.

Écrire sur la copie pour chaque numéro la réponse correspondante.

Aucune justification n'est attendue.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.25cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{1.}& Les solutions de l'équation $(4x + 5)(x - 3) = 0$ sont :&$- \dfrac{5}{4}$ et 3&$ \dfrac{5}{4}$ et $- 3$&$- \dfrac{5}{4}$ et $- 3$\\ \hline
\textbf{2.}&\rule[-4mm]{0mm}{6mm}$\dfrac{8 \times 10^3 \times 28 \times 10^{-2}}{14 \times 10^{- 3}}$ est égal à :& \np{16000}& 0,16& $1,6 \times 10^5$\rule[2pt]{0mm}{7mm}\\ \hline
\textbf{3.}&\rule[0mm]{0mm}{7mm}$\dfrac{\sqrt{32}}{\strut 2}$ est égal à :&$\sqrt{16}$&$\sqrt{8}$& 2,8\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 3\hfill  4 points}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{À l'entrée du garage à vélos du collège, un digicode
commande l'ouverture de la porte.

Le code d'ouverture est composé d'une lettre A ; B ou C
suivie d'un chiffre 1 ; 2 ou 3.} \hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.7,0)(4.1,3.5)
%\psgrid
\psframe(4.1,3.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.4,2.3)(1.3,3.1)\rput(0.85,2.7){A}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.5,2.3)(2.4,3.1)\rput(1.95,2.7){B}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.6,2.3)(3.5,3.1)\rput(3.05,2.7){C}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.4,1.3)(1.3,2.1)\rput(0.85,1.7){1}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.5,1.3)(2.4,2.1)\rput(1.95,1.7){2}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.6,1.3)(3.5,2.1)\rput(3.05,1.7){3}
\rput(2.05,0.8){ACCESS CONTROL}
\pscircle(1.5,0.4){0.2} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.55,0.4){0.2} 
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les différents codes possibles ?
\item Aurélie compose au hasard le code A1.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle probabilité a-t-elle d'obtenir le bon code ?
		\item En tapant ce code A1, Aurélie s'est trompée à la fois de lettre et de chiffre. Elle change donc ses choix.
		
Quelle probabilité a-t-elle de trouver le bon code à son deuxième essai ?
		\item Justifier que si lors de ce deuxième essai, Aurélie ne se trompe que de lettre,
elle est sûre de pouvoir ouvrir la porte lors d'un troisième essai.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4\hfill  8 points}

\medskip

Des ingénieurs de l'Office National des Forêts font le marquage d'un lot de pins
destinés à la vente.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un premier temps, ils estiment la hauteur des arbres de ce lot, en plaçant
leur oeil au point O.

\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.3,5)
%\psgrid
\psline{<->}(7.2,0.3)(7.2,4.5)\uput[l](7.2,2.4){$h$}
\psline(0,0.3)(7.3,0.3)
\psline[linestyle=dotted](5.9,1.1)(0.6,1.1)(5.9,4.5)%AOS
\psline[linestyle=dotted](0.6,1.1)(5.9,0.3)(5.9,4.5)%OPS
\psarc(0.6,1.1){0.8}{0}{35}
%(5.6,1.1)(5.6,1.4)(5.9,1.4)
\uput[ul](5.8,1.2){A}\uput[u](5.9,4.5){S}
\uput[d](5.9,0.3){P}\uput[d](0.6,1.1){O (œil)}
\psline(5.7,1.1)(5.7,1.3)(5.9,1.3)
\pscurve(5.8,0.3)(5.85,1.2)(5.8,3)(5.6,3.3)(5,3.4)(4.7,4)(4.8,4.2)(5,4.3)(5.9,4.5)(6.3,4.4)(6.7,4.2)(6.9,4)(6.5,3.6)(6.2,3.3)(6.12,2.8)(6.11,1.5)(6.14,0.3)
\psarc(0.6,1.1){0.5}{-11}{0}
\rput(1.65,1.3){\footnotesize 45\degres}\rput(2.2,1){\footnotesize 25\degres}
%\psline
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.32\linewidth}{Ils ont relevé les données suivantes :

OA = 15 m

$\widehat{\text{SOA}} = 45\degres$ et $\widehat{\text{AOP}} = 25\degres$}

\medskip

Calculer la hauteur $h$ de l'arbre arrondie au mètre.
\item  Dans un second temps, ils effectuent une mesure de diamètre sur chaque arbre et
répertorient toutes les données dans la feuille de calculs suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2.25cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&\centering A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\ \hline
1	& Diamètre (cm)& 30 &35 &40 &45 &50 &55 &60 &65 &70 &75 &80&\\ \hline
2 	&Effectif &2 &4 &8 &9 &10 &12 &14 &15 &11 &4 &3	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule doit-on saisir dans la cellule M2 pour obtenir le nombre total
d'arbres ?
		\item Calculer, en centimètres, le diamètre moyen de ce lot. On arrondira le résultat à
l'unité.
	\end{enumerate}
\item Pour calculer le volume commercial d'un pin en mètres cubes, on utilise la formule
suivante :

\[V = \dfrac{10}{24} \times D^2 \times h\]

où $D$ est le diamètre moyen d'un pin en mètres et $h$ la hauteur en mètres.

Le lot est composé de 92 arbres de même hauteur 22 m dont le diamètre moyen
est 57 cm.

Sachant~ qu'un mètre cube de pin rapporte 70~\euro, combien la vente de ce lot
rapporte+elle ? On arrondira à l'euro.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 5\hfill  6 points}

\medskip

Chacune des affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse ? Justifier votre réponse.

\bigskip

\textbf{Affirmation 1 :}

Un billet d'avion Paris - New York coûte 400~\euro. La compagnie aérienne Air
International propose une réduction de 20\,\%. Le billet ne coûte plus que 380~\euro.

\bigskip

\textbf{Affirmation 2 :}

$f$ est la fonction affine définie par $f(x) = 4x - 2$.

L'image de 2 par la fonction $f$ est aussi le double de l'antécédent de $10$.

\bigskip

\parbox{0.48\linewidth}{\textbf{Affirmation 3 :}

Les plateaux représentés par (AB) et (CD)
pour la réalisation de cette desserte en bois
sont parallèles.} \hfill 
\parbox{0.52\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(5.5,5.5)
%\psgrid
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.3,1.1)(4.6,1.4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.8,4.3)(4.5,4.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.7,0)(5.1,0)(1.2,4.3)(0.8,4.3)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.65,0.9)(0.9,0.75)(4.3,4.45)(3.9,4.35)
\pscurve[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.3,4.45)(4.8,4.9)(5.4,5.1)(5.3,5.2)(4.6,5.)(4.2,4.8)(4,4.6)(4.3,4.45)
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](0.5,0.5){0.5}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0.5){0.2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1.18,1.3)(3.75,1.3)(1,4.45)(4.2,4.45)(2.5,2.65)%CDAB
\uput[u](1,4.45){A} \uput[u](4.2,4.45){B} \uput[ul](1.18,1.3){C} \uput[ur](3.75,1.3){D}
\psline{<->}(1.4,1.15)(2.65,2.5)
\psline{<->}(2.65,2.5)(4.35,4.35)
\uput[u](2.5,2.65){O} \rput(2.3,1.6){\scriptsize 50 cm}
\rput(3.7,3.15){\scriptsize 45 cm}
\psline{<->}(1,5)(4.2,5) \rput(2.8,5.15){\scriptsize 76 cm}
\psline{<->}(1.18,0.8)(3.75,0.8)\rput(2.42,0.6){\scriptsize 100 cm}
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 6\hfill  3,5 points}

\medskip



On propose les deux programmes de calcul suivants :

\begin{center}
\psset{unit=0.71cm}
\begin{pspicture}(16.8,10.7)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](16.8,10)
%\psgrid
\rput(3.3,9.5){\textbf{Programme A}} \rput(12.3,9.5){\textbf{Programme B}}
\psframe(16.8,10.7)\psline(0,10)(16.8,10)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](0.4,7.6)(4.5,8.5)\psline{->}(4.5,8.05)(5.2,8.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](5.2,7.3)(6.8,8.8)\psline{->}(6,7.3)(6,6.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](5.2,4.8)(6.8,6.3)\psline{->}(6,4.8)(6,4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](5.2,2.5)(6.8,4)\psline{->}(4.4,3.4)(5.2,3.4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](2.3,2.9)(4.4,3.8)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](9.7,7.6)(13.8,8.5)\psline{->}(13.8,8.05)(14.6,8.05)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](14.6,7.3)(16.2,8.8)\psline{->}(15.4,7.3)(15.4,6.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](14.6,6.3)(16.2,4.8)\psline{->}(15.4,4.8)(15.4,4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](14.6,2.5)(16.2,4)\psline{->}(15.4,2.5)(15.4,1.8)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](14.6,0.3)(16.2,1.8)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](11.1,0.7)(13.7,1.4)
\rput(2.5,8){Nombre de départ}\rput(11.65,8){Nombre de départ}
\rput(4.5,6.7){Ajouter 2}\rput(4.4,4.4){Élever au carré}
\rput(3.4,3.4){Résultat}\rput(12.4,1.1){Résultat}
\rput(14.2,2.2){Ajouter 4}\rput(12.5,4.5){Multiplier par le nombre de}
\rput(12.5,3.9){départ}\rput(14.2,6.8){Ajouter 4}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que si on choisit 3 comme nombre de départ, les deux programmes
donnent 25 comme résultat.
\item Avec le programme A, quel nombre faut-il choisir au départ pour que le résultat
obtenu soit 0 ?
\item Ysah prétend que, pour n'importe quel nombre de départ, ces deux programmes
donnent le même résultat.

A-t-elle raison ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 7 \hfill  7,5 points}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(15,12.5)
%\psgrid
\psframe(1.5,1.2)(8.5,3.1)%EHDA
\psline(8.5,1.2)(10.5,2.7)(10.5,4.6)(6,11.7)(8.5,3.1)%HGCID
\psline(6,11.7)(1.5,3.1)%IA
\psline(10.5,4.6)(8.5,3.1)%CD
\psline[linestyle=dashed](1.5,3.1)(3.5,4.6)(10.5,4.6)%ABC
\psline[linestyle=dashed](1.5,1.2)(3.5,2.7)(10.5,2.7)%EFG
\psline[linestyle=dashed](6,11.7)(3.5,4.6)(3.5,2.7)%IBF
\psline(3.4,6.7)(7.45,6.7)(8.6,7.6)%RMS
\psline[linestyle=dashed](8.6,7.6)(4.58,7.6)(3.4,6.7)%STR
\uput[ul](1.5,3.1){A} \uput[ul](3.5,4.6){B}
\uput[ur](10.5,4.6){C}\uput[r](8.5,3.1){D}
\uput[dl](1.5,1.2){E}\uput[ul](3.5,2.7){F}
\uput[ul](10.5,2.7){G}\uput[ul](8.5,1.2){H}
\uput[u](6,11.7){I}\uput[dr](7.45,6.7){M}
\uput[ul](3.4,6.7){R}\uput[ur](8.6,7.6){S}
\uput[ul](4.58,7.6){T}\uput[r](6,3.85){K$_1$}
\uput[r](6,7.15){K$_2$}
\psdots(1.5,3.1)(3.5,4.6)(10.5,4.6)(8.5,3.1)(1.5,1.2)(3.5,2.7)
(10.5,2.7)(8.5,1.2)(6,11.7)(7.45,6.7)(3.4,6.7)(8.6,7.6)(4.58,7.6)(6,3.85)(6,7.15)
\psline{->}(12,3.6)(11,3.6)\uput[r](12,3.8){Partie}\uput[r](12,3.4){principale}
\psline{->}(12,6)(11,6)\uput[r](12,6){Chambres}
\psline{->}(12,9.6)(11,9.6)\uput[r](12,9.6){Grenier}
\psline{<->}(2.6,6.7)(2.6,11.7)\uput[l](2.6,9.2){4,5 m}
\psline{<->}(1,1.2)(1,3.1)\uput[l](1,2.2){3 m}
\psline{<->}(1,11.7)(1,3.1)\uput[l](1,7.4){6,75 m}
\psline{<->}(1.5,0.6)(8.5,0.6)\uput[d](5,0.6){12 m}
\psline{<->}(9,1.2)(11,2.7)\rput(10.5,1.7){9 m}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Une maison est composée d'une partie principale qui a la forme d'un pavé droit ABCDEFGH surmonté d'une pyramide IABCD de sommet I et de hauteur $\left[\text{IK}_1\right]$
perpendiculaire à la base de la pyramide.

Cette pyramide est coupée en deux parties :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Une partie basse ABCDRTSM destinée aux chambres;
\item[$\bullet~~$] Une partie haute IRTSM réduction de hauteur $\left[\text{IK}_2\right]$ de la pyramide IABCD correspondant au grenier.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On a : EH = 12 m ; AE = 3 m ; HG = 9 m ; IK$_1$ = 6,75 m et IK$_2$ = 4,5 m.

\emph{La figure donnée n'est pas à l'échelle.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la surface au sol de la maison.
\item Des radiateurs électriques seront installés dans toute la maison, excepté au
grenier.

On cherche le volume à chauffer de la maison.

On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par :

\[V_{\text{pyramide}} = \dfrac{\text{Aire de la Base} \times \text{Hauteur}}{3}\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume de la partie principale.
		\item Calculer le volume des chambres.
		\item Montrer que le volume à chauffer est égal à 495~m$^3$.
	\end{enumerate}
\item  Un expert a estimé qu'il faut dans cette maison une puissance électrique de
925~Watts pour chauffer 25 mètres cubes.
	
Le propriétaire de la maison décide d'acheter des radiateurs qui ont une puissance
de \np{1800}~watts chacun et qui coûtent 349,90~\euro{} pièce.
	
Combien va-t-il devoir dépenser pour rachat des radiateurs ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin  Étranger Maroc (secours)  juin 2015
\newpage
%%%%%%%%%%%%%  Métropole La Réunion juin 2015
\hypertarget{Metropole}{}

\label{Metropole}
\lfoot{\small{Métropole--Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{25 juin 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Métropole--Antilles-Guyane ~\decofourright\\[5pt]25 juin 2015}}
    
\bigskip
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\begin{center}

Indication portant sur l'ensemble du sujet.
\end{center}
 
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
 
Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche, elle sera prise en compte dans la notation.

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip


Une coopérative collecte le lait dans différentes exploitations agricoles.

Le détail, de la collecte du jour ont été saisis dans une feuille de calcul d'un tableur.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B \\ \hline
1&Exploitation agricole& Quantité de lait collecté (en L)\\ \hline
2& Beausejour& \np{1250}\\ \hline
3&Le Verger& \np{2130}\\ \hline 
4&La  Fourragère& \np{1070}\\ \hline
5& Petit pas& \np{2260}\\ \hline
6&La  Chausse Pierre& \np{1600}\\ \hline
7& Le Palet& \np{1740}\\ \hline
8&Quantité totale de lait collecté&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Une formule doit être saisie dans la cellule B8 pour obtenir la quantité totale de lait collecté. Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle qui convient.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
SOMME(B2~:~B7)&SOMME(B2~:~B8)&=SOMME(B2~:~B7)&=SOMME(B2~:~B8)\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\item  Calculer la moyenne des quantités de lait collecté dans ces exploitations.
\item  Quel pourcentage de la collecte provient de l'exploitation \og Petit Pas \fg{} ? On arrondira le résultat à l'unité.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4,5 points}

\medskip

Voici un programme de calcul sur lequel travaillent quatre élèves.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
$\bullet~~$ Prendre un nombre\\
$\bullet~~$ Lui ajouter 8\\
$\bullet~~$ Multiplier le résultat par 3\\
$\bullet~~$ Enlever 24\\
$\bullet~~$ Enlever le nombre de départ\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Voici ce qu'ils affirment :

Sophie : \og Quand je prends 4 comme nombre de
départ, j'obtiens, 8 \fg

Martin : \og En appliquant le programme à 0, je trouve 0. \fg

Gabriel : \og  Moi,j'ai pris $-3$ au départ et j'ai obtenu $-9$. \fg

Faïza : \og Pour n'importe quel nombre choisi, le résultat final est égal au double du nombre de départ. \fg

Pour chacun de ces quatre élèves expliquer s'il a raison ou tort.

\clearpage

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{Dans la figure ci-contre, qui n'est pas à l'échelle :

$\bullet~~$ les points D, P et A sont alignés ;

$\bullet~~$  les points K, H et A sont alignés ;

$\bullet~~$ DA = 60 cm ;

$\bullet~~$ DK =  11 cm ;

$\bullet~~$ DP = 45 cm.}\hfill
\parbox{0.54\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,4)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,0.5)(5.5,0.5)(0.5,3.5)%KAD
\psline(4,0.5)(4,1.4)%HP
\uput[dl](0.5,0.5){K}\uput[ul](0.5,3.5){D}\uput[dr](5.5,0.5){A}
\uput[d](4,0.5){H}\uput[u](4,1.4){P}
\psframe(0.5,0.5)(0.8,0.8)\psframe(4,0.5)(4.3,0.8)
\end{pspicture}
}

\begin{enumerate}
\item Calculer KA au millimètre près,
\item Calculer HP.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 7,5 points}

\medskip

\textbf{Toutes les questions sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = - 6x + 7$.

Déterminer l'image de 3 par la fonction $f$.
\item  Arthur a le choix pour s'habiller aujourd'hui entre trois chemisettes (une verte, une bleue et une rouge) et deux shorts (un vert et un bleu). Il décide de s'habiller en choisissent au hasard une chemisette puis un short.

Quelle est la probabilité qu'Arthur soit habillé uniquement en vert ?
\item  Ariane affirme que $2^{40}$ est le double de $2^{39}$.  A-t-elle raison ?
\item  Loïc affirme que le PGCD d'un nombre pair et d'un nombre impair est toujours égal à 1.

A-t-il raison ?
\item  Résoudre l'équation :  $5x - 2 = 3x + 7$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 5 \hfill 6 points}

\medskip

Agnês envisage de peindre la façade de son hangar.

\medskip

\begin{tabular}{|m{5.5cm}|m{6.5cm}|}\hline
\textbf{Information  1 : Caractéristiques de }

\textbf{la peinture utilisée.}

\begin{center}
Renseignements concernant un pot de peinture

\begin{tabular}{|c|}\hline
Volume : 6 l\\
Temps de séchage : 8 h\\
Surface couverte : 24 m$^2$\\
Monocouche*\\
Prix : 103,45~\euro\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
* Une seule couche de peinture suffit.&
\textbf{Information 2 : schéma de la façade}

(le schéma n'est pas à l'échelle)

La zone grisée est la zone à peindre.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,7)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0.5)(5.5,0.5)(5.5,4.5)(3,6.5)(0.5,4.5)%AEDCB
\psline[linestyle=dashed](0.5,4.5)(5.5,4.5)%BD
\psline{->}(3.4,0.3)(5.5,0.3)\psline{->}(2.6,0.3)(0.5,0.3)\rput(3,0.3){7,5 m}
\psline{->}(0.3,2.2)(0.3,0.5)  \psline{->}(0.3,2.8)(0.3,4.5)\rput(0.2,2.5){6 m}
\psline{->}(5.7,3.8)(5.7,6.5)  \psline{->}(5.7,3.2)(5.7,0.5)\rput(5.8,3.5){9 m}
\psline[linestyle=dashed](3,6.5)(5.7,6.5)
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](5.5,0.5){E}\uput[ur](5.5,4.5){D}\uput[u](3,6.5){C}
\uput[ul](0.5,4.5){B}
\psframe(0.5,4.5)(0.8,4.2)\psframe(0.5,0.5)(0.8,0.8)\psframe(5.5,0.5)(5.2,0.8)
\end{pspicture}
\end{center}
\\ \hline
\end{tabular}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le montant minimum à prévoir pour l' achat des pots de peinture ?
\item Agnès achète la peinture et tout le matériel dont elle a besoin pour ses travaux. Le montant total de la facture est de 343,50~\euro.

Le magasin lui propose de régler $\frac{2}{5}$ de la facture aujourd'hui et le reste en trois mensualités identiques.

Quel sera le montant de chaque mensualité ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 6 \hfill 6 points}

\medskip

La distance parcourue par un véhicule entre le moment où 1e conducteur voit un obstacle et l'arrêt
complet du véhicule est schématisée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(12,3)
%\psgrid
\rput(0.6,1.4){véhicule}\rput(4.4,1.4){véhicule}\rput(10,1.4){véhicule}
\psframe(10.7,1)(12,1.5)
\rput(11.4,1.25){obstacle} 
\psline[linewidth=5pt]{->}(1.2,1)(5,1)
\psset{arrowsize=1pt 1.5} 
\psline[linewidth=3pt,doubleline=true]{->}(5,1)(10.7,1)
\rput(2.5,0){Distance de réaction}
\rput(8.5,0){Distance de freinage}
\rput(2.5,-0.5){distance parcourue entre l'instant où}
\rput(2.5,-1){le conducteur voit l'obstacle et celui}
\rput(2.5,-1.5){où il commence à freiner}
\rput(8.5,-0.5){distance parcourue depuis le début du}
\rput(8.5,-1){freinage jusqu'à l'arrêt du véhicule}
\psline[linewidth=2.5pt,linestyle=dashed,doubleline=true]{->}(1.2,-2)(10.7,-2)
\rput(6,-2.6){Distance d'arrêt = distance de réaction + distance de freinage}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un scooter roulant à 45 km/h freine en urgence pour éviter un obstacle. À cette vitesse, la distance de réaction est égale à 12,5 m et la distance de freinage à 10 m. Quelle est la distance d'arrêt ?
\item \textbf{Les deux graphiques, donnés en annexe} (dernière page du sujet) représentent, dans des conditions normales et sur route sèche, la distance de réaction et la distance de freinage en fonction de la vitesse du véhicule.

En utilisant ces graphiques, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item La distance de réaction est de 15~m. À quelle vitesse roule-t-on ? (\emph{Aucune justification n'est attendue}).
		\item La distance de freinage du conducteur est-elle proportionnelle à la vitesse de son véhicule ?
		\item Déterminer la distance d'arrêt pour une voiture roulant à 90~km/h.
	\end{enumerate}
\item La distance de freinage en mètres, d'un véhicule sur route mouillée, peut se calculer à l'aide de la formule sui vante, où $v$ est la. vitesse en km/h du véhicule :

\[\text{distance de freinage sur route mouillée }\:= \dfrac{v^2}{152,4}\]

Calculer au mètre près la distance de freinage sur route mouillée à 110~km/h.
\end{enumerate}

\clearpage

\textbf{Exercice 7 \hfill 4 points}

\medskip

\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,3)
%\psgrid
\psline[linewidth=7pt,linecolor=red]{cc-cc}(0.5,0.5)(3.5,0.5)
\psarc(3.5,0.5){0.18}{-90}{30}\psline(0.5,0.3)(3.5,0.3)
\psarc(2,2.6){0.2}{25}{155}\psline(3.65,0.6)(2.2,2.65)
\psarc(0.5,0.5){0.18}{120}{270}\psline(1.82,2.7)(0.4,0.65)
\psline[linewidth=7pt,linecolor=red]{cc-cc}(0.5,0.5)(2,2.6)
\psline[linewidth=7pt,linecolor=red]{cc-cc}(3.5,0.5)(2,2.6)
\pspolygon*(1,0.8)(3,0.8)(1.4,1.3)\rput{-15}(2,1.4){10\,\%}
\end{pspicture}}\hfill \parbox{0.6\linewidth}{Ce panneau routier indique une descente dont la pente est de 10\,\%.}

\medskip

Cela signifie que pour un déplacement horizontal de 100 mètres, le dénivelé est de 10 mètres.

Le schéma ci-dessous n'est pas à l'échelle.

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(17,6)
\pspolygon(2.5,1.5)(15.8,1.5)(2.5,5.2)%BCA
\psframe(2.5,1.5)(2.8,1.8)
\uput[ul](2.5,5.2){A} \uput[dl](2.5,1.5){B} \uput[r](15.8,1.5){C}
\rput{-15}(9.15,3.8){Route} \uput[l](2.5,3.45){Dénivelé :}
\rput(9.15,1){Déplacement horizontal : 100~m}
\uput[l](1.9,2.7){10 m}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{BCA}}$ que fait la route avec l'horizontale.

Arrondir la réponse au degré.
\item Dans certains pays, il arrive parfois que 1a pente d'une route ne soit pas donnée par un pourcentage, mais par une indication telle que \og 1 : 5 \fg, ce qui veut alors dire que pour un déplacement horizontal de 5~mètres, le dénivelé est de 1 mètre.

Lequel des deux panneaux ci-dessous indique la pente la plus forte ?

\begin{center}
\begin{pspicture}(4,3)
%\psgrid
\psline[linewidth=7pt,linecolor=red]{cc-cc}(0.5,0.5)(3.5,0.5)
\psarc(3.5,0.5){0.18}{-90}{30}\psline(0.5,0.3)(3.5,0.3)
\psarc(2,2.6){0.2}{25}{155}\psline(3.65,0.6)(2.2,2.65)
\psarc(0.5,0.5){0.18}{120}{270}\psline(1.82,2.7)(0.4,0.65)
\psline[linewidth=7pt,linecolor=red]{cc-cc}(0.5,0.5)(2,2.6)
\psline[linewidth=7pt,linecolor=red]{cc-cc}(3.5,0.5)(2,2.6)
\pspolygon*(1,0.8)(3,0.8)(1.4,1.3)\rput{-15}(2,1.4){15\,\%}
\end{pspicture}\qquad \quad \begin{pspicture}(4,3)
%\psgrid
\psline[linewidth=7pt,linecolor=red]{cc-cc}(0.5,0.5)(3.5,0.5)
\psarc(3.5,0.5){0.18}{-90}{30}\psline(0.5,0.3)(3.5,0.3)
\psarc(2,2.6){0.2}{25}{155}\psline(3.65,0.6)(2.2,2.65)
\psarc(0.5,0.5){0.18}{120}{270}\psline(1.82,2.7)(0.4,0.65)
\psline[linewidth=7pt,linecolor=red]{cc-cc}(0.5,0.5)(2,2.6)
\psline[linewidth=7pt,linecolor=red]{cc-cc}(3.5,0.5)(2,2.6)
\pspolygon*(1,0.8)(3,0.8)(1.4,1.3)\rput{-15}(2,1.4){1 : 5}
\end{pspicture}
\end{center}

\hspace{2.25cm}Panneau A \hspace{3.15cm}   Panneau B
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}
\end{center}

Graphiques de la \textbf{question 2. de l'exercice 6}

\vspace{0.25cm}

\begin{center}
\psset{unit=0.08cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(140,100)
\multido{\n=0+5}{29}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,100)}
\multido{\n=0+5}{21}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](0,\n)(140,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(140,100)
\uput[u](125,0){vitesse (en km/h)}
\uput[r](0,105){distance de réaction (en m)}
\psline(0,0)(140,38.8889)
\end{pspicture}

\vspace{2cm}
\psset{unit=0.08cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(140,100)
\multido{\n=0+5}{29}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,100)}
\multido{\n=0+5}{21}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.4pt](0,\n)(140,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(140,100)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{140}{x dup mul 204 div}
\uput[u](125,0){vitesse (en km/h)}
\uput[r](0,105){distance de freinage sur route sèche (en m)}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole La Réunion juin 2015
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Polynésie juin 2015
\hypertarget{Polynesie}{}

\label{Polynesie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{23 juin 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie 23 juin 2015~\decofourright}}
    
\bigskip
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\begin{center}

Indication portant sur l'ensemble du sujet.
\end{center}
 
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
 
Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche, elle sera prise en compte dans la notation.

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 3 points}

\medskip

Djamel et Sarah ont un jeu de société : pour y jouer, il faut tirer au hasard des jetons dans un sac. Tous les jetons ont la même probabilité d'être tirés. Sur chaque jeton un nombre entier est inscrit.

\smallskip

Djamel et Sarah ont commencé une partie. Il reste dans le sac les huit jetons suivants :

\[\fbox{5}\quad \fbox{14}\quad\fbox{26}\quad\fbox{18}\quad\fbox{5}\quad\fbox{9}\quad\fbox{18}\quad\fbox{20}\]

\begin{enumerate}
\item C'est à Sarah de jouer.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'elle tire un jeton \og 18 \fg{}?
		\item Quelle est la probabilité qu'elle tire un jeton multiple de 5 ?
	\end{enumerate}
\item  Finalement, Sarah a tiré le jeton \og 26 \fg{} qu'elle garde. C'est au tour de Djamel de jouer.
	
La probabilité qu'il tire un jeton multiple de 5 est-elle la même que celle trouvée à la question 1. b. ?

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le graphique ci-dessous donne le niveau de bruit (en décibels) d'une tondeuse à gazon en marche, en fonction de la distance (en mètres) entre la tondeuse et l'endroit où s'effectue la mesure.
\begin{center}
\psset{unit=0.07cm}
\begin{pspicture}(-8,-5)(150,95)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(150,95)
\uput[r](0,92){\scriptsize Niveau de bruit (en décibels)}
\uput[u](135,0){\scriptsize  Distance (en mètres)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{150}{2.71828 x 0.05 mul neg exp 50 mul 45 add}
\end{pspicture}
\end{center}

En utilisant ce graphique, répondre aux deux questions suivantes. \emph{Aucune justification n'est attendue.}

	\begin{enumerate}
		\item Quel est le niveau de bruit à une distance de $100$ mètres de la tondeuse?
		\item À quelle distance de la tondeuse se trouve-t-on quand le niveau de bruit est égal à $60$~décibels ?
	\end{enumerate}
\item  Voici les graphiques obtenus pour deux machines très bruyantes d'une usine.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\psset{xunit=0.12cm,yunit=0.06cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(35,105)
\uput[r](0,102){\scriptsize Niveau de bruit (en décibels)}
\uput[u](25,0){\scriptsize  Distance (en mètres)}
\rput(17.5,35){Machine A}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(35,105)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{1}{35}{2.71828 x 0.14 mul neg exp 40 mul 68 add}	
\end{pspicture}&\psset{xunit=0.12cm,yunit=0.06cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(35,105)
\uput[r](0,102){\scriptsize Niveau de bruit (en décibels)}
\uput[u](25,0){\scriptsize  Distance (en mètres)}
\rput(17.5,35){Machine B}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(35,105)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{1}{35}{2.71828 x 0.14 mul neg exp 28 mul 77 add}	
\end{pspicture}
\end{tabularx}
\end{center}

Dans l'usine, le port d'un casque antibruit est obligatoire à partir d'un \textbf{même niveau de bruit}.

Pour la machine A, il est obligatoire quand on se trouve à moins de $5$~mètres de la machine. En utilisant ces graphiques, déterminer cette distance pour la machine B.
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}

\medskip

\parbox{0.35\linewidth}{On considère la figure ci-contre dessinée à main levée.

L'unité utilisée est le centimètre.

Les points I, H et K sont alignés.}\hfill
\parbox{0.62\linewidth}{\psset{unit=0.95cm,varsteptol=0.2,VarStepEpsilon=10}
%\psgrid
\begin{pspicture}(8,4)
\pslineByHand(4.5,3)(0.5,0.5)(7.5,1)(4.5,3)(4.7,0.3)%IKJI
\rput(2.7,2.2){6,8}\rput(6,2.2){4}\rput(4.3,1.6){3,2}\rput(6,0.6){2,4}
\uput[ul](4.5,3){J}\uput[l](0.5,0.5){I}\uput[dl](4.6,0.8){H}\uput[d](7.5,1){K}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la figure ci-dessus en vraie grandeur.
\item Démontrer que les droites (IK) et (JH) sont perpendiculaires.
\item Démontrer que IH = 6 cm.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{HJK}}$, arrondie au degré.
\item La parallèle à (IJ) passant par K coupe (JH) en L. Compléter la figure.
\item Expliquer pourquoi LK = $0,4 \times$ IJ.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 4,5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~

\parbox{0.62\linewidth}{Quel est le nombre caché par la tache sur cette étiquette ?} \hfill
\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(3.8,6)
%\psgrid

\psframe[framearc=0.3](3.8,6)
\rput(1.3,5){Ancien prix}
\rput(1.3,4){80~\euro}
\rput(1.9,3){\Large Soldes \quad \quad \,\%}
\rput(1.85,2.5){\pspolygon*(0,0.4)(0.4,0.6)(0.2,0.8)(0.55,0.9)(0.75,1.15)(0.82,.8)(1.1,0.8)(0.9,0.6)(1.1,0.4)(0.8,0.22)(0.7,0)(0.5,0.24)(0.22,0)(0.25,0.3)}
\rput(1.3,2){Nouveau prix}
\rput(1.3,1){60~\euro}
\end{pspicture}}


\item  \np{2048} est une puissance de 2. Laquelle ?
\item  En développant l'expression $(2x - 1)^2$, Jules a obtenu $4x^2 - 4x - 1$. A-t-il raison ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 5 \hfill 4,5 points}

\medskip

Les \og 24 heures du Mans\fg est le nom d'une course automobile.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\textbf{Document 1 : principe de la course}

Les voitures tournent sur un circuit pendant 24 heures. La voiture gagnante est celle qui a
parcouru la plus grande distance.&\textbf{Document 2 : schéma du circuit}

\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(8,5)
\pscurve[linewidth=2pt](0.4,3)(0.5,3.5)(1,3.7)(2,3.75)(3,3.8)(6,3.85)(7,3.65)(7.9,3.5)(7.5,2.4)(7,1.9)(6.6,1.7)(6.8,1.2)(6,1)(5,0.4)(4,0.6)(3,0.75)(2,1)(1.5,1.05)(1,1.6)(0.7,2.7)(0.4,3)
\psline{->}(2.4,0.7)(2,0.8)\rput{75}(2.65,1){\scriptsize Départ}\rput(7.3,1.2){\scriptsize Arnage}\rput(7,3.2){\scriptsize Pulsante}\rput(4.2,3.3){\scriptsize Hunaudières}\rput(1.5,3){\scriptsize Tertre rouge}
\rput(4,2.6){La longueur d'un tour}
\rput(4,2.1){est de 13,629 km}
\end{pspicture}\\ \hline
\textbf{Document 3 : article extrait d'un journal}

\begin{center} {\large \np{5405,470}}

C'est le nombre de kilomètres parcourus
par l'Audi R15+ à l'issue de la course.
\end{center}&\textbf{Document 4 : unités anglo-saxonnes}

L'unité de mesure utilisée par les anglo-saxons est le mile par heure (mile per hour) noté mph.

1 mile $\approx$ \np{1609}~mètres\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

À l'aide des documents fournis:

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de tours complets que la voiture Audi R15+ a effectués lors de cette course.
\item Calculer la vitesse moyenne en km/h de cette voiture. Arrondir à l'unité.
\item On relève la vitesse de deux voitures au même moment :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Vitesse de la voiture \no 37 : 205 mph.
\item[$\bullet~~$] Vitesse de la voiture \no 38 : 310 km/h.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Quelle est la voiture la plus rapide ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 6 \hfill 5 points}

\medskip

Voici un programme de calcul.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
$\bullet~~$Choisir un nombre\\
$\bullet~~$Ajouter 1\\
$\bullet~~$Calculer le carré de cette somme\\
$\bullet~~$Soustraire 9 au résultat\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Vérifier qu'en choisissant 7 comme nombre de départ, le résultat obtenu avec ce programme est 55.
\item Lorsque le nombre choisi est $- 6$, quel résultat obtient-on ?
\item Jim utilise un tableur pour essayer le programme de calcul avec plusieurs nombres. Il a fait apparaître les résultats obtenus à chaque étape. Il obtient la feuille de calcul ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A		&B		&C		&D\\ \hline
1	&nombre de départ&résultat de la 1\up{e} étape&résultat de la 2\up{e} étape&résultat final\\ \hline
2	&$-0,4$	&0,6	&0,36	&$- 8,64$\\ \hline 
3	&$-0,2$	&0,8	&0,64	&$- 8,36$\\ \hline
4	&0 		&1 		&1		&$- 8$\\ \hline
5	&0,2 	&1,2	&1,44	&$- 7,56$\\ \hline
6	&0,4 	&1,4	&1,96	&$- 7,04$\\ \hline
7	&0,6 	&1,6	&2,56	&$- 6,44$\\ \hline
8	&0,8 	&1,8 	&3,24 	&$- 5,76$\\ \hline
9	&1 		&2 		&4 		&$- 5$\\ \hline
10	&1,2	&2,2	&4,84	&$- 4,16$\\ \hline
11	&1,4	&2,4	&5,76	&$- 3,24$\\ \hline
12	&1,6	&2,6	&6,76	&$- 2,24$\\ \hline
13	&1,8	&2,8	&7,84	&$- 1,16$\\ \hline 
14	&2 		&3 		&9 		&0\\ \hline
15	&2,2	&3,2	&10,24	&1,24\\ \hline
16	&2,4 	&3,4 	&11,56 	&2,56\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

La colonne B est obtenue à partir d'une formule écrite en B2, puis recopiée vers le bas.

Quelle formule Jim a-t-il saisie dans la cellule B2 ?
\item Le programme donne 0 pour deux nombres. Déterminer ces deux nombres.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 7 \hfill 7 points}

\medskip

Voici les caractéristiques d'une piscine qui doit être rénovée:

\begin{center}
\begin{pspicture}(12,10)
\psframe(6.5,10)
\uput[r](0,9.5){\textbf{Document 1 : informations sur la piscine}}
\uput[r](0,8){Vue aérienne de la piscine}
\psframe(0.5,4)(5.5,7)
\rput(3.25,5.5){piscine}
\psline{<->}(0.5,3.6)(5.5,3.6)\uput[d](3,3.6){10 m}
\psline{<->}(5.7,4)(5.7,7)\uput[r](5.7,5.5){4 m}
\uput[r](0.5,2){Forme: pavé droit}
\uput[r](0.5,1){Profondeur : 1,2 m}
\psframe(7,6)(12,10)
\uput[r](7,9.5){\textbf{Document 2 : information rela-}}
\uput[r](7,8.5){\textbf{tive à la pompe de vidange}}
\uput[r](7,7){Débit: 14 m$^3$/h}
\psframe(7,1)(12,5.5)
\uput[r](7,5){\textbf{Document 3 : informations sur }}
\uput[r](7,4.5){\textbf{la peinture résine utilisée}}
\uput[r](7,4){\textbf{ pour la rénovation}}
\uput[r](7,3.5){-- seau de 3 litres}
\uput[r](7,3){-- un litre recouvre une surface }
\uput[r](7,2.5){de 6 m$^2$}
\uput[r](7,2){-- 2 couches nécessaires}
\uput[r](7,1.5){-- prix du seau : 69,99~\euro}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le propriétaire commence par vider la piscine avec la pompe de vidange. Cette piscine est remplie à ras bord. Sera-t-elle vide en moins de 4 heures ?
\item Il repeint ensuite toute la surface intérieure de cette piscine avec de la peinture résine. Quel est le coût de la rénovation ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie juin 2015
\newpage
%%%%%%%%%%%%%    Métropole La Réunion Antilles-Guyane  septembre 2015
\hypertarget{Metropolesep}{}

\label{Metropolesep}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion--Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{17 septembre 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Métropole--La Réunion~\decofourright\\[5pt]Antilles-Guyane 17 septembre 2015}}
    
\bigskip
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\begin{center}
Indication portant sur l'ensemble du sujet.
\end{center}
 
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
 
Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche, elle sera prise en compte dans la notation.

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

On appelle $f$ la fonction définie par $f(x) = (x - 1)(2x - 5)$. 

On a utilisé un tableur pour calculer les images de différentes valeurs par cette fonction $f$ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\multicolumn{4}{|c|}{A2}&\multicolumn{7}{|l|}{$f(x)$}\\ \hline
&A&B&C&D&E&F&G&H&I&J\\ \hline
1&$x$&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline
2&$f(x)$&5&0&$-1$&2&9&20&35&54&77\\ \hline
3&&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On rappelle que les réponses doivent être justifiées. 

Affirmation 1 : $f(2) = 3$. 

Affirmation 2 : L'image de $11$ par la fonction $f$ est 170. 

Affirmation 3 : La fonction $f$ est linéaire. 
\item  Une formule a été saisie dans la cellule B2 puis recopiée ensuite vers la droite. Quelle formule a-t-on saisie dans cette cellule B2 ? 
\item  Quels sont les deux nombres $x$ pour lesquels $(x - 1)(2x - 5) = 0$ ? 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

\emph{On considère la figure ci-contre qui n'est pas à l'échelle.}

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Le triangle JAB est rectangle en A.   
\item[$\bullet~~$] Les droites (MU) et (AB) sont parallèles.         
\item[$\bullet~~$] Les points A, M et J sont alignés.         
\item[$\bullet~~$] Les points C, U et J sont alignés.         
\item[$\bullet~~$] Les points A, C et B sont alignés.         
\item[$\bullet~~$] AB = 7,5 m.         
\item[$\bullet~~$] MU = 3 m.         
\item[$\bullet~~$] JM = 10 m.         
\item[$\bullet~~$] JA = 18 m. 
\end{itemize}       
} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(6,7)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,0.5)(0.5,6)(5.5,6)
\psline(0.5,0.5)(3,6)
\psline(0.5,2.6)(1.42,2.6)
\uput[u](0.5,6){A} \uput[u](5.5,6){B} \uput[u](3,6){C} 
\uput[l](0.5,2.6){M} \uput[r](1.42,2.6){U} \uput[d](0.5,0.5){J} 
\psframe(0.5,6)(0.7,5.8)
\end{pspicture}}

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur JB. 
\item Montrer que la longueur AC est égale à 5,4 m. 
\item Calculer l'aire du triangle JCB. 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Document 1 : Principe de fonctionnement d'un radar tronçon}

\medskip

 Étape 1 : enregistrement de la plaque d'immatriculation et de l'heure de passage par un premier portique. 
 
Étape 2 : enregistrement de la plaque d'immatriculation et de l'heure de passage par un second portique. 

Étape 3 : calcul de la vitesse moyenne du véhicule entre les deux radars par un ordinateur. 

Étape 4 : calcul de la vitesse retenue afin de prendre en compte les erreurs de précisions du radar. 

Étape 5 : si la vitesse retenue est au-dessus de la vitesse limite, l'automobiliste reçoit une contravention. 

\medskip

\textbf{Document 2 : Calcul de la vitesse retenue pour la contravention}

\medskip
\begin{footnotesize}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline     
Vitesse moyenne calculée par  l'ordinateur&  inférieure à 100 km/h&   supérieure à 100 km/h \\ \hline  
Vitesse retenue&On enlève 5 km/h à la vitesse enregistrée&On diminue la vitesse  enregistrée de 5\,\%\\ \hline   
Exemples&Vitesse enregistrée : 97 km/h  & Vitesse enregistrée : 125 km/h   \\
&Vitesse retenue: 92 km/h&Vitesse retenue : 118,75 km/h \\ \hline
\end{tabularx}
\end{footnotesize}

\medskip

\textbf{Document 3 : Le radar tronçon du pont d'Oléron}

\medskip 

Le pont d'Oléron est équipé d'un radar tronçon sur une distance de 3,2 km. 

Sur le pont, la vitesse est limitée à 90 km/h. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les deux personnes suivantes ont reçu une contravention après avoir emprunté le pont d'Oléron. 

Cas 1 : Madame Surget a été enregistrée à une vitesse moyenne de 107~km/h. Quelle est la vitesse retenue ? 

Cas 2 : Monsieur Lagarde a mis 2 minutes pour parcourir la distance entre les deux points d'enregistrement. Quelle est la vitesse retenue ? 

\item La plaque d'immatriculation de Monsieur Durand a été enregistrée à 

13 h~46~min~54~s puis à 13~h~48~min~41~s. 

A-t-il eu une contravention ? 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 4 points}

\medskip

Trois amis se rendent chez un apiculteur pour réaliser quelques achats. 
\medskip

Le premier achète deux pots de miel et trois pains d'épices pour un montant de 24 euros.

Le deuxième achète un pot de miel et deux pains d'épices pour un montant de 14,50 euros. 

Le troisième achète trois pots de miel et un pain d'épices. 

Combien va-t-il payer ? 

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 5 \hfill 4 points}

\medskip 

On considère le programme de calcul ci-dessous: 

\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.71\linewidth}{|lX|}\hline 
$\bullet~~$&Choisir un nombre.\\ \hline 
$\bullet~~$&Soustraire 6. \\ \hline 
$\bullet~~$&Multiplier le résultat obtenu par le nombre choisi.\\ \hline 
$\bullet~~$&Ajouter 9. \\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Vérifier que lorsque le nombre choisi est 11, le résultat du programme est 64. 
\item Lorsque le nombre choisi est $- 4$, quel est le résultat du programme ? 
\item Théo affirme que, quel que soit le nombre choisi au départ, le résultat du programme est toujours un nombre positif. A-t-il raison ? 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 6 \hfill 6 points}

\medskip

Louise a téléchargé une liste de lecture sur son lecteur MP4 : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
\textbf{Titre de la chanson}&   \textbf{Nom de l'interprète}&\textbf{Durée de la chanson en secondes}\\ \hline   
Mamatéou	&Timaté 	&  232 \\ \hline  
La différence&Timaté	&  211 \\ \hline  
Amazing		&Timaté	&  214 \\ \hline  
Tes racines	&Timaté	&  175\\ \hline   
YoungBov   &Hudad	&   336 \\ \hline  
La ficelle  	&Maen		&   191\\ \hline   
Fou fou fou	&Maen		&   184 \\ \hline  
Nina   			&Maen		&   217 \\ \hline 
\end{tabularx}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la durée totale de cette liste? Exprimer cette durée en minutes et secondes. 
		\item Déterminer le pourcentage de chansons dont la durée est supérieure à 3 min 30 s. 
	\end{enumerate}
\item Louise décide d'utiliser la fonction \og aléatoire \fg{} de son MP4. Cette fonction choisit au hasard une chanson parmi celles qui sont présentes dans la liste de lecture. Chaque chanson a la même probabilité d'être écoutée. 

Déterminer la probabilité que Louise écoute une chanson de Maen. 
\item Elle répète 25 fois l'utilisation de la fonction \og aléatoire \fg{} de son MP4 et note à chaque fois le nom de l'interprète qu'elle a écouté. Les résultats qu'elle obtient sont notés dans le graphique ci-dessous.

 Déterminer la fréquence d'écoute de Hudad. 

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(9,17)
\psaxes[Dx=20,Dy=2](0,0)(9,17)
\multido{\n=0+2}{9}{\psline(0,\n)(9,\n)}
 \rput{90}(-1,13){Nombre  d'écoutes}  
\uput[d](6.5,-1){Nom des interprètes }  
\uput[d](2,0){Timaté} 
\uput[d](4.5,0){Hudad} 
\uput[d](7,0){Maen} 
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,0)(3,15)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.5,0)(5.5,4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6,0)(8,6)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 7 \hfill 4 points}

\medskip 

Une boulangerie veut installer une rampe d'accès pour des personnes à mobilité réduite. 

Le seuil de la porte est situé à 6 cm du sol. 

\medskip

\textbf{Document 1 : Schéma représentant la rampe d'accès}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,6)
%\psgrid
\psframe(12,6)
\pspolygon(1.5,2)(8,2)(8,3.5)
\psline(1.5,2)(0.5,2.4)(7,3.9)(8,3.5)
\psarc(1.5,2){0.6cm}{0}{14}
\rput{14}(4.4,2.9){DT = 50,2 cm}
\rput(3.5,1.2){$\widehat{\text{TDS}}$ : angle formé par la} 
\rput(3.5,0.8){rampe avec l'horizontale }
\uput[d](4.75,2){DS : longueur de l'horizontale }
\rput(9,2.75){TS = 6 cm}
\psline{->}(2.2,1.4)(2.2,2.1)
\uput[ur](8,3.5){T} \uput[dl](1.5,2){D} \uput[dr](8,2){S} 
\psframe(8,2)(7.8,2.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Document 2 : Extrait de la norme relative aux rampes d'accès pour des personnes à mobilité réduite}\\ \hline
La norme impose que la rampe d'accès forme un angle inférieur à 3\degres{} avec l'horizontale sauf dans certains cas. \\

Cas particuliers :\\ 
L'angle formé par la rampe avec l'horizontale peut aller :\\ 
\hspace{1cm} -- jusqu'à 5\degres{} si la longueur de l'horizontale est inférieure à 2 m. \\
\hspace{1cm} -- jusqu'à 7\degres{} si la longueur de l'horizontale est inférieure à 0,5 m. \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Cette rampe est-elle conforme à la norme ? 
%%%%%%%%%%%%%   fin Métropole La Réunion Antilles-Guyane  septembre 2015
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Polynésie septembre 2015
\hypertarget{Polynesiesep}{}

\label{Polynesiesep}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{10 septembre 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
    
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Polynésie 10 septembre 2015~\decofourright}}
    
\bigskip
    
\textbf{Durée : 2 heures} \end{center}

\begin{center}

Indication portant sur l'ensemble du sujet.
\end{center}
 
\textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.\\
 Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche, elle sera prise en compte dans la notation.}

\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Voici un programme de calcul:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Programme A}}\\
$\bullet~~$Choisir un nombre.\\
$\bullet~~$Ajouter 3.\\
$\bullet~~$Calculer le carré du résultat obtenu.\\
$\bullet~~$Soustraire le carré du nombre de départ.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Eugénie choisit 4 comme nombre de départ. Vérifier qu'elle obtient 33 comme résultat du programme.
		\item Elle choisit ensuite $- 5$ comme nombre de départ. Quel résultat obtient-elle ?
	\end{enumerate}
\item Voici un deuxième programme de calcul:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Programme B}}\\
$\bullet~~$Choisir un nombre.\\
$\bullet~~$Multiplier par 6.\\
$\bullet~~$Ajouter 9 au résultat obtenu.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Clément affirme: \og Si on choisit n'importe quel nombre et qu'on lui applique les deux programmes, on
obtient le même résultat. \fg
Prouver que Clément a raison.
\item Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat des programmes soit $54$ ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Dans chaque cas, dire si l'affirmation est vraie ou fausse (\emph{on rappelle que toutes les réponses doivent être justifiées}).

\medskip

\parbox{0.53\linewidth}{\textbf{Affirmation 1}

L'angle $\widehat{\text{ABC}}$ mesure au dixième de degré près 36,9\degres.}
\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.75,0)(5,3.5)
\pscurve(0.5,0.25)(2.5,0.22)(4.5,0.25)
\pscurve(4.5,0.25)(2.5,2.2)(0.5,3.5)
\pscurve(0.5,3.5)(0.45,2)(0.5,0.25)
\psframe(0.5,0.25)(0.8,0.55)
\uput[dl](0.5,0.25){A}\uput[r](4.5,0.25){B}\uput[ul](0.5,3.5){C}
\uput[l](0.5,1.875){3 cm}\uput[d](2.5,0.25){4 cm}\uput[ur](2.5,2.1){5 cm}
\end{pspicture}
}
\medskip

\textbf{Affirmation 2}

Le nombre 3 est une solution de l'équation $x^2 + 2x - 15 = 0$

\newpage

\textbf{Affirmation 3}

\parbox{0.5\linewidth}{Le prix avant la remise est de 63,70~\euro.}
\hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3.5)
\psframe(5,3.5)
\rput(1.75,3){Prix avant remise : \ldots \euro}
\rput(2.5,2){\Large Soldes $ - 30$\,\%}
\rput(4,1){Nouveau prix}
\rput(4,0.5){49~\euro}
\end{pspicture}}

\medskip

\textbf{Affirmation 4}

On a plus de chance de gagner en choisissant l'urne 2.

\textbf{Règle du jeu :}

Deux urnes contiennent des boules indiscernables au toucher. On choisit une des deux urnes
et on en extrait une boule au hasard. On gagne si la boule obtenue est rouge.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,3)
\rput(2,2.5){\textbf{Urne 1}}
\rput(2,1.5){35 boules rouges}
\rput(2,1){et}
\rput(2,0.5){65 boules blanches}
\end{pspicture}&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,3)
\rput(2,2.5){\textbf{Urne 2}}
\rput(2,1.5){19 boules rouges}
\rput(2,1){et}
\rput(2,0.5){31 boules blanches}
\end{pspicture}\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 3 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le bar et le P.S.I. (Pound per Square Inch ou livre par pouce carré) sont deux unités utilisées pour mesurer la pression.

Le graphique ci-dessous donne la correspondance entre ces 2 unités.

\begin{center}
\psset{xunit=0.11cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-5,-0.5)(90,6)
\multido{\n=0.0+2.5}{37}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,6)}
\multido{\n=0.00+0.25}{25}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(90,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-4,-0.4)(90,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=0.5](0,0)(90,6)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](80,5.5)
\uput[u](80,0){Pression en P. S. I.}
\uput[r](0,5.8){Pression en bar}
\end{pspicture}
\end{center}

Avant de prendre la route, Léa vérifie la pression des pneus de sa voiture. La pression conseillée sur le manuel du véhicule est de 36 P.S.I.

Déterminer à l'aide du graphique la pression conseillée en bar. Aucune justification n'est attendue.
\item Léa se rend à Brest en prenant la route N 12 qui passe par Morlaix. Alors qu'elle se trouve à 123 km de Brest, elle voit le panneau-ci-dessous 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3.25)
\psframe[linewidth=2pt](5,1.85)
\uput[r](0,1.5){\textbf{BREST}}
\uput[r](3.5,1.5){123}
\uput[r](0,0.5){\textbf{MORLAIX}}\uput[r](3.5,0.5){\textbf{64}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=red](2,2)(3,2.75)
\rput(2.5,2.375){\white N 12}
\end{pspicture}
\end{center}

Dans combien de kilomètres la distance qui la sépare de Morlaix sera la même que celle de Morlaix à
 Brest?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 3 points}

\medskip
 
Chez le fleuriste un bouquet composé de 5 tulipes et 2 roses   coûte 13,70 euros.
 
Une tulipe et une rose valent ensemble 4,30 euros.
 
Calculer le prix d'une tulipe et le prix d'une rose.

\medskip
 
$\left.\begin{tabular}{l}
\text{T T T T T}\\
\text{R R}
\end{tabular}\right\}$ \quad 13,70~\euro

\medskip

$\left.\begin{tabular}{l}\text{T}\\
\text{R}
\end{tabular}\right\}$ \quad4,30~\euro

\bigskip

T $\rightarrow$ \ldots~\euro

R $\rightarrow$ \ldots~\euro

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 5 \hfill 7 points}

\medskip

Laurent s'installe comme éleveur de chèvres pour produire du lait afin de fabriquer des fromages.

\medskip

\textbf{PARTIE 1 : La production de lait}

\medskip

\textbf{Document 1}

\textbf{Chèvre de race alpine :} 

\textbf{Production de lait :} 1,8 litre de lait par jour et par chèvre en moyenne

\textbf{Pâturage :} 12 chèvres maximum par hectare 

\medskip

\textbf{Document 2}

Plan simplifié des surfaces de pâturage.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(9.5,7.8)
\pspolygon(0.2,0.5)(3.8,0.5)(3.8,4.1)(9.4,4.1)(9.4,7.5)(0.2,7.5)
\psframe(0.2,0.5)(0.6,0.9)
\psframe(3.8,0.5)(3.4,0.9)
\psframe(9.4,4.1)(9,4.5)
\psframe(9.4,7.5)(9,7.1)
\psframe(0.2,7.5)(0.6,7.1)
\uput[u](4.8,7.5){620 m}
\uput[d](2,0.5){240 m}
\psline(2,0.7)(2,0.3)
\psline(3.6,2.3)(4,2.3)
\psline(9.2,5.8)(9.6,5.8)
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Document 3}

1 hectare = \np{10000} m$^2$

\begin{enumerate}
\item Prouver que Laurent peut posséder au maximum 247 chèvres.
\item Dans ces conditions, combien de litres de lait peut-il espérer produire par jour en moyenne ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE 2 : Le stockage du lait}
 
\medskip

Laurent veut acheter une cuve cylindrique pour stocker le lait de ses
chèvres.

Il a le choix entre 2 modèles :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] cuve A : contenance 585 litres
\item[$\bullet~~$] cuve B : diamètre 100 cm, hauteur 76 cm
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
Formule du volume du cylindre : $V = \pi \times  r^2 \times h$
 
Conversion : 1 dm$^3$ = 1 L
 
 \medskip
 
Il choisit la cuve ayant la plus grande contenance. Laquelle va-t-il acheter ?
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 6 \hfill 6 points}

\medskip

Germaine souhaite réaliser un escalier pour monter à l'étage de son
appartement.

Elle a besoin pour cela de connaître les dimensions du limon (planche
dans laquelle viendront se fixer les marches de cet escalier).

Elle réalise le croquis ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm,arrowsize=3pt 5}
\begin{pspicture}(0,-1)(18.2,7)
%\psgrid
\psline(0,0.5)(18.2,0.5)
\pspolygon[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.3,0.5)(2.6,0.5)(10.1,5.2)(10.1,6.1)
\psline(16.8,5.2)(10.1,5.2)(10.1,6.1)(16.8,6.1)
\psline[linestyle=dotted](10.1,5.2)(10.1,0.5)
\psline[linewidth=0.2pt]{<->}(11.5,6.1)(11.5,5.2)
\psline[linewidth=0.2pt]{<->}(11.5,0.5)(11.5,5.2)
\psline[linewidth=0.2pt]{<->}(1.3,-0.5)(10.1,-0.5)
\uput[u](5.7,-0.5){360 cm}
\rput(15.6,5.7){Épaisseur de la dalle : 20 cm}
\rput(15.6,2.8){Hauteur sous plafond : 250 cm}
\psframe(10.1,0.5)(10.4,0.8)
\uput[d](2.6,0.5){A} \uput[d](10.1,0.5){B} \uput[dr](10.1,5.2){C} 
\uput[u](10.1,6.1){D} \uput[d](1.3,0.5){E} 
\end{pspicture}
\end{center}

Sur ce croquis :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item le limon est représenté par le quadrilatère ACDE.
\item les droites (AC) et (ED) sont parallèles.
\item les points E, A et B sont alignés.
\item les points B, C et D sont alignés.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Prouver que ED = 450 cm.
\item Calculer les deux dimensions AC et AE de cette planche. Arrondir les résultats au centimètre.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 7 \hfill 6 points}

\medskip

La distance d'arrêt est la distance que parcourt un véhicule entre le moment où son conducteur voit un obstacle et le moment où le véhicule s'arrête.

Une formule permettant de calculer la distance d'arrêt est :

\[D = \dfrac{5}{18} \times  V + 0,006 \times  V^2 \qquad \begin{tabular}{l}
$\bullet$~~ D : \text{est la distance d'arrêt en m}\\
$\bullet$~~ V : \text{la vitesse en km/h}
\end{tabular}\]


\begin{enumerate}
\item Un conducteur roule à 130~km/h sur l'autoroute. Surgit un obstacle à 100~m de lui. Pourra-t-il s'arrêter à temps ?
\item On a utilisé un tableur pour calculer la distance d'arrêt pour quelques vitesses. Une copie de l'écran obtenu est donnée ci-dessous. La colonne B est configurée pour afficher les résultats arrondis à l'unité.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B\\ \hline
1&Vitesse en km/h& Distance d'arrêt en m\\ \hline
2&30& 14\\ \hline
3&40& 21\\ \hline
4&50& 29\\ \hline
5&60& 38\\ \hline
6&70& 49\\ \hline
7&80& 61\\ \hline
8&90& 74\\ \hline
9&100& 88\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule B2 avant de la recopier vers le bas ?
\item On entend fréquemment l'affirmation suivante: \og Lorsqu'on va deux fois plus vite, il faut une
distance deux fois plus grande pour s'arrêter \fg. Est-elle exacte ?
\item Au code de la route, on donne la règle suivante pour calculer de tête sa distance d'arrêt:
\og Pour une vitesse comprise entre 50 km/h et 90 km/h, multiplier par lui-même le chiffre des dizaines de la vitesse \fg.
 
Le résultat calculé avec cette règle pour un automobiliste qui roule à 80~km/h est-il cohérent avec celui calculé par la formule ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie septembre 2015
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Amérique du Sud 1er décembre 2015
\hypertarget{AmeriqueSud}{}

\label{AmeriqueSud}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small{1\up{er} décembre 2015}}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Amérique du Sud~\decofourright\\[5pt] 1\up{er} décembre 2015}}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Indication portant sur l'ensemble du sujet}}\\
~\\
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est
donnée.\\
Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une
trace de la recherche; elle sera prise en compte dans la notation.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Dans ce questionnaire à choix multiple, pour chaque question, une seule proposition
est exacte. Pour chacune des questions, écrire le numéro de la question et recopier
la bonne réponse. Aucune justification n'est attendue. Une réponse correcte rapporte
$1$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne retire aucun point.}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{Questions}&\multicolumn{1}{|c|}{Propositions}\\ \hline
\textbf{Question 1}

$\left(4\sqrt{2}\right)^2$ est&
\begin{enumerate}
\item égal à 16
\item  le PGCD de $128$ et de $96$
\item égal à $8\sqrt{2}$
\end{enumerate}\\ \hline
\textbf{Question 2}

La médiane de la série de valeurs :

7~;~ 8~;~8~;~12~;~12~;~14~;~15~;~15~;~41&
\begin{enumerate}
\item est supérieure à la moyenne de cette série.
\item est inférieure à la moyenne de cette série.
\item est égale à la moyenne de cette série.
\end{enumerate}\\ \hline
\textbf{Question 3}

Dans une classe de 30 élèves, les $\dfrac{2}{3}$ des élèves
viennent en bus. Combien d'élèves ne viennent pas en bus ?&
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{2}{3} \times  30$
\item $1 - \dfrac{2}{3} \times 30$
\item $\left(1 - \dfrac{2}{3}\right) \times 30$
\end{enumerate}\\ \hline
\textbf{Question 4}

Le système $\left\{\begin{array}{l c r}
2x+ \phantom{-}y	&=&11\\
\phantom{2}x - 3y 	&=&- 12
\end{array}\right.$ a pour solution :&
\begin{enumerate}
\item le couple (3,5~;~4)
\item le couple $(- 12~;~0)$
\item le couple (3~;~5)
\end{enumerate}\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

On considère deux fonctions 

\[f :\: x \longmapsto - 8x \quad \text{et} \quad  g :\: x \longmapsto - 6x + 4.\]

On utilise un tableur pour calculer des images par $f$ et $g$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A & B & C&D & E \\ \hline
1&$x$ &$-3$& 0& 2&\\ \hline
2&$f(x) = - 8x$& 24& 0& $- 16$& $- 24$\\ \hline
3&$g(x) = - 6x + 4$& 22& 4& $- 8$& $- 14$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B2 avant de la recopier vers la droite ?
\item Le contenu de la cellule E1 a été effacé. Peux-tu le retrouver ?
\item On fabrique une nouvelle fonction $h :\: x \longmapsto f(x)\times g(x)$. 

La fonction $h$ est-elle une fonction affine ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

Un « DJ »\footnote{DJ signifie « disk jokey » c'est à dire animateur musical} possède 96 titres de musique rap et 104 titres de musique électro. Lors
de ses concerts, il choisit les titres qu'il mixe au hasard.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le premier titre soit un titre de musique rap.
\item Pour varier ses concerts, le DJ souhaite répartir tous ses titres en réalisant des « mix »\footnote{mix est une abréviation de mixage} identiques, c'est-à-dire comportant le même nombre de titres et la même
répartition de titres de musique « rap » et de musique « électro ».
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le nombre maximum de concerts différents pourra-t-il réaliser ?
		\item Combien y aura-t-il dans ce cas de titres de musique rap et de musique
électro par concert ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

Un charpentier doit réaliser pour un de ses clients la charpente dont il a fait un
schéma ci-dessous:

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,5)
%\psgrid
\pspolygon(0.3,1)(11.7,1)(6,4.7)
\pspolygon(2.2,1)(9.8,1)(6,3.3)
\psline(6,1)(6,4.7)
\psline(6,1)(5,2.7)
\psline(6,1)(7,2.7)
\psframe(6,1)(6.2,1.2)
\rput{210}(5,2.7){\psframe(0,0)(0.2,0.2)}
\rput{-120}(7,2.7){\psframe(0,0)(0.2,0.2)}
\uput[d](0.3,1){A} \uput[d](11.7,1){B} \uput[u](6,4.7){C} 
\uput[d](6,1){D} \uput[d](4.1,1){E} \uput[d](7.9,1){F} 
\uput[d](9.8,1){G} \uput[d](2.2,1){H} \uput[ur](6,3.3){I} 
\uput[ul](5,2.7){J} \uput[ur](7,2.7){K}
\psarc(0.3,1){6mm}{0}{32}\rput(1.2,1.25){25\degres} 
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1.25,1)(3.15,1)(5.05,1)(6.95,1)(8.85,1)(10.75,1)
\psline{<->}(0.3,0.5)(11.7,0.5)
\uput[d](6,0.6){9~m}%
\psdots[dotstyle=+](4.1,1)(7.9,1)
\end{pspicture}
\end{center}

Il ne possède pas pour le moment toutes les dimensions nécessaires pour la réaliser mais il sait que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item  la charpente est symétrique par rapport à la poutre [CD],
\item  les poutres [AC] et [HI] sont parallèles.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Vérifier les dimensions suivantes, calculées par le charpentier au centimètre près.

Toutes les réponses doivent être justifiées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que hauteur CD de la charpente est égale à 2,10~m.
\item Démontrer, en utilisant la propriété de Pythagore, que la longueur AC est
égale à 4,97~m.
\item Démontrer, en utilisant la propriété de Thalès, que la longueur DI est égale à
1,40~m.
\item Proposer deux méthodes différentes pour montrer que la longueur JD est
égale à 1,27~m. On ne demande pas de les rédiger mais d'expliquer la
démarche.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 4 points}

\medskip
 
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse.

On rappelle que les réponses doivent être justifiées.

\medskip

\textbf{Affirmation 1 :} $n$ désigne un nombre entier naturel.

L'expression $n^2 - 6n + 9$ est toujours différente de $0$.

\smallskip

\textbf{Affirmation 2 :} Un faucon pèlerin vole vers sa proie à une vitesse de 180~km/h. Il est
plus rapide qu'un ballon de football tiré à la vitesse de 51~m/s.
%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 6} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

Monsieur et Madame Jean vont faire construire une piscine et l'entourer de dalles en bois sur une largeur de 2~m.
\medskip

\textbf{Information 1 :} les modèles de piscine

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
Modèle A& Modèle B& Modèle C\\
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,3.5)
\psframe(0.5,1)(3.5,2.5)
\psline{<->}(0.5,2.7)(3.5,2.7)
\psline{<->}(0.3,1)(.3,2.5)
\uput[u](2,2.7){\footnotesize 500 cm}
\rput{90}(0.1,1.9){\footnotesize 300 cm}
\end{pspicture}&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,3.5)
\psframe(0.5,1)(3.8,3)
\psline{<->}(0.5,3.2)(3.8,3.2)
\psline{<->}(0.3,1)(.3,3)
\uput[u](2,3.1){\footnotesize 850 cm}
\rput{90}(0.1,2){\footnotesize 350 cm}

\end{pspicture}&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,3.5)
\psframe(0.2,1)(3.7,2.5)
\psline{<->}(0.2,2.7)(3.7,2.7)
\psline{<->}(0.3,1)(.3,2.5)
\uput[u](2,2.6){\footnotesize 800 cm}
\rput{90}(0.05,1.9){\footnotesize 400 cm}
\end{pspicture}\\
profondeur : 133 cm&profondeur: 138 cm&profondeur: 144 cm\\
pompe: débit 8 m$^3$/h&pompe: débit 10 m$^3$/h&pompe: débit 12 m$^3$/h
\end{tabularx}
\end{center}

\emph{Les figures ci-dessus ne sont pas représentées à l'échelle.}

\medskip

\textbf{Information 2 :}  les dalles en bois

\medskip


Dalle Jécoba en bois,
L 100 cm $\times$ larg. 100 cm $\times$ ép. 28 mm

Référence 628 051

Quantité pour 1 m$^2$ : 1

Epaisseur du produit (en mm) : 28

Couleur: Naturel

Prix indicatif: 13,90~\euro le mètre carré

\medskip

\textbf{Information 3 :} la promotion sur les dalles en bois

\begin{center}
\textbf{Vente flash :} 15\,\% de remise
\end{center}

Ils choisissent le modèle de piscine qui a la plus grande surface.

Quel prix payent-ils pour leurs dalles s'ils profitent de la vente flash ?
%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 7} \hfill 5 points}

\medskip
Marc veut fabriquer un bonhomme de neige en bois.

Pour cela, il achète deux boules : une boule pour la tête de rayon 3~cm et
une autre boule pour le corps dont le rayon est 2 fois plus grand.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le volume de la boule pour la tête est bien $36\pi$~cm$^3$.
		\item En déduire le volume exact en cm$^3$ de la boule pour le corps.
	\end{enumerate}
\item Marc coupe les deux boules afin de les assembler pour obtenir le bonhomme de
neige.

Il coupe la boule représentant la tête par un plan situé à 2 cm de son centre.

Quelle est l'aire de la surface d'assemblage de la tête et du corps ? Arrondir le
résultat au cm$^2$.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 8} \hfill 4 points}

\medskip

Sophie habite Toulouse et sa meilleure amie vient de déménager à Bordeaux. Elles
décident de continuer à se voir. Sophie consulte les tarifs de train entre les deux
villes :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item un aller-retour coûte 40~\euro
\item si elle achète un abonnement pour une année à 442~\euro, un aller-retour coûte
alors moitié prix.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Aider Sophie à choisir la formule la plus avantageuse en fonction du nombre de
voyages.

\emph{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en
compte dans l'évaluation.}
%%%%%%%%%%%%%   fin Amérique du Sud 1er décembre 2015
\newpage
%%%%%%%%%%%%%   Nouvelle Calédonie 8 décembre 2015
\hypertarget{Caledoniedec}{}

\label{Caledoniedec}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{8 décembre 2015}}
%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Diplôme national du Brevet
Nouvelle--Calédonie~\decofourright}}\\[5pt]
{\Large \textbf{8 décembre 2015}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 : Questionnaire à choix multiples \hfill 5 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Sur la copie, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie.

On ne demande pas de justifier. Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multirow{2}{6cm}{Questions posées}&\multicolumn{3}{|c|}{Réponses proposées}\\ \cline{2-4}
&A& B& C\\ \hline
\textbf{1.} Marc a 10 ans et il pèse 30 kg. Quel sera son poids à 20 ans?&60 kg &40 kg& On ne peut  pas savoir\\ \hline
\textbf{2.} Quelle est la largeur d'un rectangle de longueur 8 cm et de périmètre 24 cm ?& 3cm &4cm &16 cm\\ \hline
\textbf{3.} Si je réponds à cette question au hasard, quelle est la probabilité que ma réponse soit juste ?&$\dfrac{1}{3}$&$\dfrac{1}{2}$&On ne peut pas savoir\\ \hline
\textbf{4.} Quel est le volume, arrondi à l'unité, d'une boule de rayon 3 cm ?&113 cm$^3$& 19 m$^3$& 28 cm$^2$\\ \hline 
\textbf{5.} Quelles sont les solutions de l'équation
$(x + 1)(5x-10) = 0$ ?&$- 1$ et $- 2$ &1 et 2 &$- 1$ et $2$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : Rampe d'accès \hfill 2,5 points}

\medskip

Un vendeur souhaite rendre son magasin plus accessible aux personnes en fauteuil roulant. Pour cela il s'est renseigné sur les normes et a décidé d'installer une rampe avec une pente de 3 degrés comme indiqué sur le schéma suivant.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,5)
\psframe(0,0)(3,4.5)
\psline(0,1)(3,1)(9.5,0)(3,0)
\uput[ur](9.5,0){A}\uput[ur](3,1){C} \uput[d](3,0){B}
\rput(1.5,3.5){Entrée}
\uput[r](5,4){ABC est un triangle rectangle en B.}
\uput[r](5,3.5){$\widehat{\text{CAB}}$ mesure 3\degres}
\uput[r](5,3){BC = 30 cm}
\end{pspicture}
\end{center}

Calculer la longueur AB, arrondie au centimètre, pour savoir où la rampe doit commencer.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 : Langues en voie de disparition \hfill 3 points}

\medskip

En 2010, l'UNESCO\footnote{\emph{UNESCO.  United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization (en français : Organisation
des Nations Unies pour l'Education, la Science et la Culture)}} a dressé un inventaire des langues en danger dans le monde. Il vise à susciter une prise de conscience sur la nécessité de préserver une diversité linguistique mondiale. Voici un tableau récapitulatif du nombre de langues en voie de disparition ou déjà éteintes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Niveau de vitalité& En voie de disparition &Déjà éteintes& Total\\ \hline
Nombres de langues& ... &231 &\np{2580}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Sur \np{6000} langues répertoriées, 43\,\% sont soit en voie de disparition, soit déjà éteintes.

Montrer, par un calcul, que cela représente un total de \np{2580} langues.
\item En déduire le nombre de langues qui sont en voie de disparition.
\item Calculer le pourcentage de langues qui sont déjà éteintes sur les \np{6000} langues répertoriées dans le monde.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 : Problème de carrelage \hfill 3 points}

\medskip

Pour répondre à la demande d'un client, un décorateur a besoin de découper des triangles dans du carrelage. Les triangles doivent être rectangles et isocèles avec une hypoténuse de longueur 15~cm. Les carreaux qu'il doit utiliser sont des carrés de 12~cm de côté.

Ces carreaux sont-ils assez grands pour faire deux de ces triangles dans chacun d'eux ? 

Justifier.

\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 5 : Boîte de chocolats \hfill 4 points}

\medskip

Une boîte \og Chocodor \fg contient exactement 10 chocolats au lait, 8 chocolats noirs et 6 chocolats blancs.

Tous les chocolats ont la même forme et sont indiscernables au toucher.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si l'on prend un chocolat au hasard dans cette boîte, quelle est la probabilité que ce soit un chocolat au lait ?
\item Alexis a acheté une boîte \og Chocodor\fg{} et a déjà pris un chocolat de chaque sorte. Par gourmandise, il veut en prendre un quatrième sans regarder. Quelle est la probabilité que ce soit un chocolat noir ?
\item Thomas a aussi acheté une boîte identique. Il l'a ouverte et a pris deux chocolats au hasard.

Quelle est la probabilité qu'il prenne deux chocolats blancs ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 6 : Polygones réguliers \hfill 5,5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les polygones réguliers suivants:
	\begin{enumerate}
		\item Le carré :
		
\parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\pscircle(0,0){1.2}
\pspolygon(1.2;-45)(1.2;45)(1.2;135)(1.2;225)
\psline(1.2;-45)(1.2;135)
\psline(1.2;45)(1.2;225)
\uput[ur](1.2;45){\small B}\uput[ul](1.2;135){\small A}
\uput[dl](1.2;225){\small D}\uput[dr](1.2;-45){\small C}\uput[r](0,0){\small O}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.85;0)(0.85;90)(0.85;180)(0.85;270)
\psarc(0,0){0.25cm}{45}{135}
\end{pspicture}} \hfill\parbox{0.65\linewidth}{Expliquer pourquoi l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ mesure 90\degres}.

		\item Le pentagone régulier:

\medskip

\parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\pscircle(0,0){1.2}
\pspolygon(1.2;15)(1.2;87)(1.2;159)(1.2;231)(1.2;303)
\psline(1.2;15)(0;0)(1.2;87)
\psline(1.2;159)(0;0)(1.2;231)
\psline(1.2;231)(0;0)(1.2;303)
\uput[ur](1.2;15){\small B}\uput[ul](1.2;87){\small A}
\uput[ul](1.2;159){\small E}\uput[dl](1.2;231){\small D}\uput[dr](1.2;303){\small C} \uput[ur](0,0){\small O}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.98;51)(0.98;123)(0.98;195)(0.98;267)(0.98;339)
\pscircle(0,0){0.25cm}
\multido{\n=51+72}{5}{\psline(0.22;\n)(0.28;\n)}
\end{pspicture}} 
\hfill\parbox{0.65\linewidth}{Expliquer pourquoi l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ mesure 72\degres.}

\medskip

		\item L'hexagone régulier :

\medskip
\parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\pscircle(0,0){1.2}
\pspolygon(1.2;0)(1.2;60)(1.2;120)(1.2;180)(1.2;240)(1.2;300)
\multido{\n=0+60}{6}{\psline(0.;0)(1.2;\n)}
\uput[ur](1.2;0){\small C}\uput[ur](1.2;60){\small B}
\uput[ul](1.2;120){\small A}\uput[l](1.2;180){\small F}\uput[dl](1.2;240){\small E} \uput[dr](1.2;300){\small D}\uput[ur](0,0){\small O}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](1.04;30)(1.04;90)(1.04;150)(1.04;210)(1.04;270)(1.04;330)
\psarc(0,0){0.25cm}{60}{120}
\end{pspicture}} 
\hfill\parbox{0.65\linewidth}{ Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$.}

\medskip

	\end{enumerate}
\item Un polygone régulier a des côtés de longueur 5~cm. Les angles à chaque sommet mesurent 140\degres.
	
Calculer le périmètre de ce polygone.
	
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 7 : Commande de livres \hfill 3 points}

\medskip

Un collège a besoin de commander quelques livres de mathématiques et de français.
Chaque livre de mathématiques coûte \np{3000}~F et chaque livre de français \np{2000}~F.

Au total 30 livres ont été commandés pour un montant de \np{80000}F.

Combien de livres de chaque sorte ont été commandés ?

\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 8 : Clip musical \hfill 7 points}

\medskip

Un site internet propose de télécharger légalement des clips vidéos. Pour cela, sur la page d'accueil, trois choix s'offrent à nous:

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Premier choix : téléchargement \textbf{direct sans inscription}. Avec ce mode, chaque clip peut être téléchargé pour 4~euros.
\item[$\bullet~~$] Deuxième choix: téléchargement \textbf{membre}. Ce mode nécessite une inscription à 10~euros.
valable un mois et permet d'acheter par la suite chaque clip pour 2 euros.
\item[$\bullet~~$] Troisième choix : téléchargement \textbf{premium}. Une inscription à 50~euros permettant de télécharger tous les clips gratuitement pendant un mois.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Je viens pour la première fois sur ce site et je souhaite télécharger un seul clip.

Quel est le choix le moins cher ?
\item Pour cette question, utiliser l'annexe 1.
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau.
		\item À partir de combien de clips devient-il intéressant de s'inscrire en tant que membre ?
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, $x$ désigne le nombre de clips vidéos achetés.
	
$f,\: g$ et $h$ sont trois fonctions définies par :
	
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$f(x) = 50$
\item[$\bullet~~$]$g(x) = 4x$
\item[$\bullet~~$]$h(x) = 2x + 10$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Associer chacune de ces fonctions au choix qu'elle représente (direct, membre ou premium).
		\item Dans le repère de l'annexe 2, tracer les droites représentant les fonctions $f,\: g$ et $h$.
		\item À l'aide du graphique, déterminer le nombre de clips à partir duquel l'offre premium devient la moins chère.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 9 : Marionnette \hfill 3 points}

\medskip

Un marionnettiste doit faire un spectacle sur le thème de l'ombre. Pour cela il a besoin que sa marionnette de 30~cm ait une ombre de 1,2~m.

La source de lumière C est située à 8 m de la toile (AB).

La marionnette est représentée par le segment [DE].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
\item Calculer EC pour savoir où il doit placer sa marionnette.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,5.5)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,1.2)(9.5,1.2)(0.5,5)
\psline(7.5,1.2)(7.5,2.05)
\psframe(0.5,1.2)(0.8,1.5)\psframe(7.5,1.2)(7.8,1.5)
\psline{<->}(0.5,0.6)(9.5,0.6)
\uput[d](5,0.6){8 m}\uput[l](0.5,3.1){1,2 m}
\uput[l](7.5,1.65){30 cm}
\uput[ul](0.5,5){A} \uput[dl](0.5,1.2){B} \uput[d](9.5,1.2){C} \uput[u](7.5,2.05){D} \uput[d](7.5,1.2){E}
\psset{unit=0.6cm}
\rput{-20}(16,1.9){\pspolygon*(0,-0.3)(0,0.3)(0.8,0.2)(2,0.2)(2,-0.2)(0.8,-0.2)} 
\end{pspicture}

Cette figure n'est pas à l'échelle.
\end{center}
\newpage
\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE 1 - Exercice 8}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de clips &1 &2 &5 &10 &15\\ \hline
Prix en euros pour le téléchargement direct&4 &8&&&\\ \hline
Prix en euros pour le téléchargement membre&12 &14&&&\\ \hline
Prix en euros pour le téléchargement premium&50 &50&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\textbf{\large ANNEXE 2 - Exercice 8}

\bigskip

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(24,60)
\multido{\n=0+1}{25}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,60)}
\multido{\n=0+5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(24,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(24,60)
\multido{\n=0+5}{13}{\uput[l](0,\n){\n}}
\uput[d](20.5,-4){Nombre de clips achetés}
\uput[r](0,57.5){Prix en euros}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle Calédonie 8 décembre 2015
\end{document}