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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{15 septembre 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Centres étrangers~\decofourright}\\[7pt]\textbf{15 septembre  2020}}

\bigskip

\textbf{Durée : 2 heures}

\medskip

\end{center}

\textbf{Exercice 1 \hfill 22 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, toutes les questions sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\dfrac78 - \dfrac58 \times \dfrac13$ en détaillant les étapes.

Exprimer le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\item On sait que $342= 2\times 3^2 \times 19$ et que $380 = 22 \times 5 \times 19$.

Déterminer le plus grand nombre entier qui divise à la fois 342 et 380.
\item Comparer ces deux longueurs : $11 \times 10^{-8}$ m et $0,9 \times 10^{-5}$ m.
\item Une boule a pour diamètre 6 cm. Déterminer une valeur approchée de son volume au cm$^3$ près.

\emph{Formule du volume d'une boule} : $V = \dfrac 43 \times \pi\times r^3$ dans laquelle $r$ est le rayon de la boule.
\item Les longueurs des côtés d'un triangle sont 3,9 cm ; 6,4 cm et 5,2 cm.

Ce triangle est-il un triangle rectangle ?
\item Une urne contient 20 boules colorées indiscernables au toucher.

On tire au hasard une boule dans l'urne.

Sachant que la probabilité de tirer une boule jaune est égale à 15, déterminer le nombre de boules jaunes dans cette urne.
\item On fait tourner la roue ci-dessous et on attend qu'elle s'arrête. Une flèche verticale fixe permet alors de pointer un secteur angulaire. Chaque secteur angulaire a la même probabilité d'être pointé par la flèche. Quelle est la probabilité que la flèche indique un secteur angulaire de couleur grise qui contient un nombre premier ?

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3,arrowinset=0}
\begin{pspicture}(-2.6,-2.6)(2.6,3.4)
\pscircle(0,0){2.6}
\multido{\n=-15+60}{6}{\rput{\n}(0,0){\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{2.6}{0}{30}}}
\multido{\n=-15+30}{12}{\rput{\n}(0,0){\pswedge[linecolor=lightgray]{2.6}{0}{30}}}
\rput(1.8;90){\large \textbf{1}}
\rput(1.8;60){\large \textbf{2}}
\rput(1.8;30){\large \textbf{3}}
\rput(1.8;0){\large \textbf{5}}
\rput(1.8;-30){\large \textbf{7}}
\rput(1.8;-60){\large \textbf{8}}
\rput(1.8;-90){\large \textbf{11}}
\rput(1.8;-120){\large \textbf{13}}
\rput(1.8;-150){\large \textbf{14}}
\rput(1.8;180){\large \textbf{15}}
\rput(1.8;150){\large \textbf{21}}
\rput(1.8;120){\large \textbf{23}}
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,3.6)(0,2.7)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip


\textbf{Exercice 2 \hfill 13 points}

\medskip

La pétanque est un jeu qui oppose deux équipes adverses. L'objectif est de lancer des boules en métal pour les placer le plus près possible d'un \og but \fg, appelé aussi \og cochonnet \fg, qui est une petite boule en bois.

\medskip


Lors d'une rencontre amicale hors compétition, 10 joueurs se présentent avec chacun 3 boules en acier. Toutes les boules sont pesées et mesurées et les résultats sont reportés dans le tableau ci- dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{13}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline
Diamètre en cm 	&		&7,05	&7,25	&7,3	&7,3	&7,5	&7,5	&7,5	&7,73	&7,75		&8,1	&8,2 &8,2\\ \hline
Masse en g 		&620 	&626 	&633 	&655 	&678 	&725 	&758 	&767 	&775 	&790 	&800 	&805 &813\\ \hline
Effectif		&1		&2		&4		&5		&2		&3		&4		&1		&1		&2		&2		&2	 &1\\\hline
\end{tabularx}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item L'étendue de la série des diamètres vaut $12$ mm. Sachant que toutes les boules de pétanque de cette rencontre amicale ont un diamètre inférieur ou égal à $8,2$~cm, montrer que le diamètre de la boule de pétanque qui pèse 620 grammes est 7 cm.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la masse moyenne des boules utilisées pour cette rencontre amicale est
supérieure ou égale à 626 grammes.
		\item Déterminer la masse médiane des boules utilisées pour cette rencontre amicale.
	\end{enumerate}
\item En utilisant le document ci-dessous, peut-on affirmer qu'au moins un tiers des boules utilisées lors de cette rencontre amicale ne seraient pas acceptées en compétition officielle ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Document :} Caractéristiques d'une boule de pétanque pour la compétition$^{*}$

\begin{itemize}[label=$\bullet$~]
\item Être en métal (acier, inox, bronze, ...)
\item Avoir un diamètre compris entre 7,05 cm (minimum) et 8 cm (maximum).
\item Avoir une masse comprise entre 650~grammes (minimum) et 800grammes (maximum).
\end{itemize}\\
$^{*}$ \emph{D'après le règlement officiel de la Fédération Internationale de Pétanque et Jeu Provençal}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip


\textbf{Exercice 3 \hfill 25 points}

\medskip

Voici un programme de calcul :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
Choisir un nombre\\
Lui ajouter 2\\
Mettre le résultat au carré \\
Enlever 9\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, si l'on choisit 3 comme nombre de départ, alors ce programme donne 16 comme
résultat.
		\item Si l'on choisit $- 6$ comme nombre de départ, quel résultat donne ce programme ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

Dans toute la suite de cet exercice, on appelle $x$ le nombre choisi au départ.

\begin{enumerate}[start=2]
\item Exprimer le résultat de ce programme en fonction de $x$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le résultat de ce programme peut s'écrire sous forme factorisée 

$(x + 5)(x - 1)$.
		\item Quel(s) nombre(s) doit-on choisir au départ pour trouver 0 comme résultat ?
		\item Donner une valeur de $x$ telle que le résultat du programme soit un nombre négatif.
	\end{enumerate}
\item Montrer que le résultat du programme s'écrit sous forme développée $x^2 + 4x - 5$.
\item On appelle $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2 + 4x - 5$.
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $f$ est-elle une fonction affine ?
		\item Déterminer les antécédents de $-5$ par $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 20 points}

\medskip

Le téléphérique de la ville de Grenoble relie le centre-ville au Fort Bastille construit sur une colline surplombant la ville. Sa longueur est de 673 mètres.
La situation est schématisée par la figure ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(11,4.4)
\def\nacelle{\psline(0,0)(0,-0.12)\pscircle(0,-0.22){0.1}}
\psline(1.6,0.3)(11,0.3)
\psline(7.6,2.9)(1.6,0.3)
\psline[linestyle=dashed](7.6,0.3)(7.6,2.9)\uput[ul](7.6,2.9){A}
\uput[dl](1.6,0.3){D}\uput[d](7.6,0.3){H}
\psframe(7.6,0.3)(7.35,0.55)
\rput(10,1.8){\small Colline du Fort de la Bastille}
\rput(9.5,3.5){\small Fort Bastille}
\rput(5.5,4){\small Arrivée} \rput(5.5,3.7){\small altitude 475 m}
\rput(2.3,3.3){\small Point d'attache de}\rput(2.3,3){\small la première cabine}
\rput(0.6,1.8){\small Départ :}\rput(0.6,1.5){\small altitude 213 m}
\pscurve(2.8,0.3)(2.9,0.5)(3.25,0.5)(3.5,0.62)(3.9,0.8)(4.2,0.9)(4.8,1.2)(5.2,1.7)(6.2,1.8)(6.4,2.2)(6.7,2.3)(7,2.4)(7.3,2.5)(7.6,2.9)(8,2.6)(8.5,2.8)(9,2.7)(9.5,2.8)(10,2.65)
\psline(7.6,2.9)(7.8,3.1)(7.8,3.4)(8,3.4)(8,3)(8.2,2.9)(8.4,2.9)(8.4,3.05)(8.55,3.2)(8.7,3.2)(8.85,3.05)(8.85,2.9)(8.95,2.9)(8.95,3.1)(9.15,3.1)(9.3,2.95)(9.3,2.75)
\psline{->}(5.5,3.5)(7.6,2.9)\psline{->}(2.2,2.8)(4.6,1.6)
\psline{->}(0.5,1.35)(1.6,0.3)
\rput(4.6,1.6){\nacelle}\rput(4.37,1.5){\nacelle}
\rput(4.14,1.4){\nacelle}\rput(3.91,1.3){\nacelle}
\rput(3.68,1.2){\nacelle}
\rput{23}(5.1,2.1){673~m}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que la longueur AH que l'on appelle dénivelé entre les points de départ et d'arrivée est égale à $262$~m.
\item Déterminer, au dixième de degré près, la mesure de l'angle $\widehat{\text{ADH}}$.
\item La pente du téléphérique s'obtient en calculant le quotient : 

\begin{center}pente $= \dfrac{\text{AH}}{\text{DH}} = \dfrac{\text{dénivelé}}{\text{distance horizontale correspondante}}$\end{center}
 
La pente de ce téléphérique est-elle supérieure à 50\,\% ?
\item Un trajet entre D et A dure 4 minutes. Pour simplifier, on considère que la vitesse du téléphérique est constante pendant tout le trajet.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la vitesse du téléphérique pour ce trajet est d'environ $2,8$~m/s.
		\item Au départ, le point d'attache de la première cabine est au point D. À quelle altitude se situe ce point d'attache 3 minutes après son départ ?
	\end{enumerate}
\item Voici les tarifs du téléphérique du fort Bastille :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Plein tarif &tarif enfant de moins de 15 ans &Tarif enfant de 15 ans à 18 ans\\ \hline
Aller simple : 5,60~\euro{} &ller simple : 3,20~\euro{} &Aller simple : 4,20~\euro{}\\ \hline
\end{tabularx}

Madame Dupond, Monsieur Dupond et leurs cinq enfants, âgés de moins de 18 ans, ont acheté sept allers simples pour monter ensemble au fort Bastille par le téléphérique. Madame Dupond a réglé au total $30,20$~\euro{}.

Dans la famille Dupond, combien d'enfants ont moins de 15 ans ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 5 \hfill 20 points}

\medskip

Pour réaliser la figure 1 constituée de triangles équilatéraux, Solène a écrit le programme ci-dessous,
dans lequel deux valeurs ont été effacées. Les longueurs sont données en nombre de pixels. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{p{4.5cm}|XX|}\cline{2-3}
	&Script principal&Bloc \og Triangle équilatéral \fg\\
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(5,4)
%\psgrid
\rput(2.4,-2){\emph{Cette figure n'est pas à l'échelle}}
\rput(2.4,-1){Figure 1}
\pspolygon(0,0)(4.4,0)(2.2,3.81)
\rput(0,0){\psscalebox{0.8}{\psline(4.4,0)(2.2,3.81)}}
\rput(0,0){\psscalebox{0.64}{\psline[linewidth=1.25pt](4.4,0)(2.2,3.81)}}
\rput(0,0){\psscalebox{0.512}{\psline[linewidth=1.5625pt](4.4,0)(2.2,3.81)}}
\rput(0,0){\psscalebox{0.4096}{\psline[linewidth=1.953pt](4.4,0)(2.2,3.81)}}
\rput(0,0){\psscalebox{0.32768}{\psline[linewidth=2.441pt](4.4,0)(2.2,3.81)}}
\end{pspicture}&
\begin{scratch}[scale=0.85]
\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
\blockmove{aller à x:\ovalnum{0} y= \ovalnum{0}}
\blockpen{effacer tout}
\blockpen{stylo en position d'écriture}
\blockvariable{mettre \selectmenu{côté} à \ovalnum{125}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{k} à \ovalnum{0,8}}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{} fois}
	{\initmoreblocks{Triangle équilatéral}
	\blockvariable{mettre \selectmenu{côté} à \ovalvariable{côté} * \ovalvariable{k}}
	}
\end{scratch}
&\begin{scratch}[scale=0.85]
\initmoreblocks{définir Triangle équilatéral}
\blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois}
	{
	\blockmove{avancer de \ovalvariable{côté}}
	\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{} degrés}
	}
\end{scratch}\\ \cline{2-3}
\end{tabularx}

\medskip

On rappelle que l'instruction \og s'orienter à 90 \fg{} consiste à s'orienter horizontalement vers la droite.
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner le nombre associé à l'instruction \og répéter \fg{} (ligne 8) qui a été effacé dans le script
principal.
		\item Donner le nombre associé à l'instruction \og tourner \fg{} (ligne 4) qui a été effacé dans le bloc \og Triangle équilatéral \fg.
	\end{enumerate}
\item Montrer que la longueur du côté du deuxième triangle tracé est 100~pixels.
\item Les deux affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

\textbf{Affirmation 1 :} \og D'un triangle au triangle suivant dans l'exécution du programme, la longueur du côté du triangle diminue de 20\,\%. \fg

\textbf{Affirmation 2 :} \og D'un triangle au triangle suivant dans l'exécution du programme, l'aire du triangle est multipliée par 0,64. \fg
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le nom de la transformation du plan qui permet de passer d'un triangle au triangle
suivant dans l'exécution du programme ?
		\item Solène souhaite modifier son programme pour que chaque triangle tracé soit un agrandissement du triangle précédent dans l'exécution du programme. Donner une valeur possible pour k.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}