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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1991}
\rfoot{\small Centres étrangers}
\lfoot{\small juin 1991}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Centres étrangers juin 1991 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer les nombres $A$ et $B$ qui suivent sous la forme $a + b \sqrt 3$ où $a$
et $b$ sont des entiers :

\[A= \left(1 + \sqrt 3\right)^2, \qquad B = \left(1 +2\sqrt 3\right)\left(2 + 5\sqrt 3\right).\]

\item Écrire chacun des nombres $C, D$ et $E$ qui suivent sous la forme d'une fraction aussi simple que possible :

\[C = \dfrac85 - \dfrac{2}{15},\quad  D = \dfrac34 \times \left(-\dfrac{2}{15}\right);\quad E = \left(- \dfrac72\right) : \left(- \dfrac34\right).\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit l'expression $E = (2x + 1)(x + 2) - 6(x + 2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur de $E$ pour $x = 2,5$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation $(x + 2)(2x - 5) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Relativement à un repère orthonormal on considère les points :
\begin{center}O(0~;~0),\qquad A(3~;~4),\qquad  B(3~;~8),\qquad  C(7~;~1),\qquad  E(0~;~4).\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner les coefficients directeurs des droites (OA) et (AC).
(Aucune justification n'est exigée.)
\item Voici les équations de six droites (on ne demande pas de construire
ces droites) :

\[\begin{array}{l l l}
\left(D_1\right) \: y = - x + 4& \left(D_2\right) y = -x &\left(D_3\right)\: y = - \dfrac34 x + \dfrac{25}{4}\\
\left(D_4\right)\: y = \dfrac43 x + \dfrac{25}{4} &\left(D_5\right)\: y = - x + 4& \left(D_6\right)\: y = \dfrac34 x\\
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Les équations des droites (EB), (OA) et (AC) figurent parmi ces six équations.

Indiquer les équations respectives de ces trois droites. (Répondre sous la forme: La droite (EB) a pour équation ...)
\item Démontrer que les droites $\left(D_2\right)$
et $\left(D_3\right)$ sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-6,-4)(10,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-6,-4)(10,11)
\uput[d](9.6,0){$x$}\uput[l](0,10.6){$y$}
\psdots(3,4)(3,8)(7,1)(0,4)
\uput[d](3,4){A} \uput[ul](3,8){B} \uput[dl](7,1){C}
\uput[ul](0,4){E} \uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-6}{10}{4 x mul 3 div 4 add}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-6}{10}{4 x mul 3 div}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-6}{10}{6.25 3 x mul 4 div sub}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le triangle TRI représenté ci-dessous est rectangle en I.

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
On connaît TR $= 65$ mm et TI $= 25$~mm

\begin{enumerate}
\item Calculer en millimètres la distance IR.
\item Calculer le sinus et la tangente de l'angle $\widehat{\text{TRI}}$.

Pour chacun de ces nombres donner la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.4,3.4)
\pspolygon(0.2,0.2)(6.2,0.2)(0.2,2.7)%IRT
\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4)
\uput[d](0.2,0.2){I} \uput[d](6.2,0.2){R} \uput[u](0.2,2.7){T} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[resume]
\item Donner une valeur approchée à un degré près de l'angle $\widehat{\text{TRI}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.57\linewidth}
Sur le dessin ci-contre les droites (AE) et (FC) sont parallèles.

De plus on connaît :

AB $= 10$~mm; BC $= 20$~mm ;

AE $= 9$~mm; EB $= 7$~mm.

En précisant les propriétés utilisées, calculer les distances BF et FC.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.39\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.8,4.6)
%\psgrid
\psline(0,1.8)(5.8,1.8)
\psline(0,2.8)(3.2,0)
\psline(1.3,4.6)(5.8,0.5)
\psline(1.3,0)(3.4,4.6)
\uput[d](0.9,1.8){A} \uput[dr](2.15,1.8){B} \uput[dl](4.38,1.8){C}
\uput[l](1.82,1.18){E} \uput[l](2.8,3.22){F}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{minipage}{0.47\linewidth}
Cet exercice utilise le dessin ci-contre.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.49\linewidth}
\psset{unit=2.5mm}
\begin{pspicture}(27,27)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]
\pspolygon[linewidth=1.25pt](3,6)(8,9)(8,12)(11,12)(11,6)\rput(9,8){F$_1$}
\pspolygon[linewidth=1.25pt](11,16)(11,22)(19,22)(14,19)(14,16)\rput(13,20){F$_2$}
\pspolygon[linewidth=1.25pt](13,3)(18,6)(18,9)(21,9)(21,3)\rput(19,5){F$_4$}
\pspolygon[linewidth=1.25pt](17,10)(17,13)(20,13)(23,17)(23,10)\rput(21,12){F$_3$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

Voici trois débuts de phrases:

\begin{itemize}
\item La figure F$_1$ est la transformée de F$_2$ dans la \ldots
\item La figure F$_2$ est la transformée de F$_3$ dans la \ldots
\item La figure F, est la transformée de F4 dans la  \ldots
\end{itemize}

et les fins de ces phrases données dans le désordre :

\begin{itemize}
\item symétrie centrale par rapport au point O.
\item translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item symétrie orthogonale par rapport à la droite (D).
\end{itemize}

Reconstituer chacune des trois phrases après avoir placé sur le dessin le point O, la droite (D) et deux points A et B qui peuvent convenir.

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
%\psgrid
\pspolygon(-3.4,0)(-1,1)(0,3.4)(1,1)(3.4,0)(1,-1)(0,-3.4)(-1,-1)
\psframe(-1,-1)(1,1)
\psline(-1,-1)(1,1)%AC
\psline(-1,1)(1,-1)%DB
\psline(0,0)(0,-3.4)%OS_1
\uput[dl](-1,-1){A} \uput[dr](1,-1){B} \uput[ur](1,1){C} \uput[ul](-1,1){D}
\uput[dr](0,-1){H} \uput[u](0,0){O} \uput[d](0,-3.4){S$_1$} \uput[r](3.4,0){S$_2$}
\uput[u](0,3.4){S$_3$} \uput[l](-3.4,0){S$_4$}
\rput(2,-2){Figure 1}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A.}

\medskip

La figure 1 représente le carré ABCD et quatre triangles isocèles S$_1$AB, S$_2$BC, S$_3$CD, S$_4$DA, construits à l'extérieur du carré.

Les côtés du carré mesurent $5$ cm et les distances S$_1$A, S$_1$B, S$_2$B, S$_2$C, S$_3$C, S$_3$D, S$_4$D, S$_4$A sont toutes égales à $6,5$ cm.

Les diagonales du carré se coupent en O. La droite (S$_1$O) coupe le côté [AB] en H. (La figure 1 a été réalisée à l'échelle 1/2.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite (S$_1$O) est la médiatrice du segment [AB].
\item Donner en centimètres la longueur AH et démontrer que S$_1$H  $= 6$~cm.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B.}

\medskip

La figure 1 précédente est le dessin du patron d'une pyramide régulière dont la base est le carré ABCD et dont les faces latérales sont les quatre triangles isocèles.

Dans cette pyramide les quatre points S$_1$, S$_2$,  S$_3$, S$_4$, sont maintenant confondus et ne forment plus qu'un même point S, sommet de pyramide.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur la figure 2 on a commencé le dessin en perspective de pyramide SABCD.

Finir le dessin. Placer sur ce dessin les points O et H.
\item On veut calculer la hauteur SO de cette pyramide.

Quelle est, en centimètres, la longueur OH ?

Justifier la réponse. 

Dans le triangle rectangle SHO calculer, en centimètres, la longueur SO (on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près).
\item Calculer l'aire du carré ABCD puis démontrer que le volume de pyramide est égal à $45$~cm$^3$ à 1 cm$^3$ près par défaut.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,3)
\psline(0.2,0.8)(3.1,0.8)(4,2.6)%ABC
\uput[d](0.2,0.8){A} \uput[dr](3.1,0.8){B} \uput[u](4,2.6){C}
\rput(2.25,0.1){Figure 2}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C.}

\medskip

Un plan parallèle à la base de la pyramide SABCD coupe [SOl en S milieu de [SO]. 

Ce plan coupe [SA] en A$'$, [SB] en B$'$, [SC] en C$'$, [SD] en D$'$.

On détermine ainsi une nouvelle pyramide de sommet S et de base A$'$B$'$C$'$D$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter la figure 2 pour faire apparaître cette nouvelle pyramid
\item Cette pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$ est une réduction de la pyramide SABCD.

En déduire l'aire du carré A$'$B$'$C$'$D$'$ et le volume de la pyramide
SA$'$B$'$C$'$D$'$.
\end{enumerate}
\end{document}