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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Groupement Est}}
\rfoot{\small{28 juin 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Groupement Est\footnote{Besançon, Dijon, Grenoble,Lyon, Nancy-Metz, Reims et Strasbourg} 28 juin 2005~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Dans toute cette partie, les résultats des calculs demandés doivent être accompagnés d'explications, le barème en tiendra compte.}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Alain, Bernard et Charlotte décident de faire chacun une question de l'exercice suivant :

\[\text{A} = \dfrac{5}{4} - \dfrac{2}{3} \times\dfrac{9}{16} \quad 
\text{B} = \dfrac{16 \times 10^{-5} \times 3 \times10^4}{24 \times 10^{-3}} \quad 
\text{C} = \sqrt{63} + 2\sqrt{7} - 5\sqrt{28}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer A et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
\item Calculer B et donner le résultat sous forme d'un nombre entier.
\item Écrire C sous la forme $a\sqrt{7},~ a$ étant un nombre entier relatif.

Alain calcule A et propose A $= \dfrac{21}{64}$ ; Bernard calcule B et propose B $= 2 \times 10^2$ ; Charlotte calcule C et propose C $= -5\sqrt{7}$.

Ces réponses vous semblent-elles satisfaisantes ? Justifier vos affirmations.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression :

\[E = 4x^2 - 9 + (2x + 3)(x - 2).\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $E$.
\item Factoriser. En déduire la factorisation de l'expression $E$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation 
		\item Cette équation a-t-elle une solution entière ?
		\item Cette équation a-t-elle une solution décimale ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD des nombres 135 et 210.
\item Dans une salle de bains, on veut recouvrir le mur situé au dessus de la baignoire avec un nombre entier de carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un nombre entier de centimètres le plus grand possible.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la longueur, en cm, du côté d'un carreau, sachant que le mur mesure 210 cm de hauteur et 135 cm de largeur.
		\item Combien faudra-t-il alors de carreaux ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Démontrer, pour chacune des trois figures ci-dessous, que le triangle ABC est une triangle rectangle en utilisant les informations fournies.

\begin{center}
\psset{unit=1.1cm}\begin{pspicture}(10.5,8)
\pspolygon(0,5.4)(3.9,5.4)(1.05,7)
\uput[dl](0,5.4){B} \uput[dr](3.9,5.4){C} \uput[ur](1.05,7){A} 
\rput(1.8,5){50} \rput(0.3,6.4){30} \rput(2.4,6.5){40}
\rput(1.5,4){Figure 1}
\pspolygon(0.4,2)(5.1,2)(4.5,2.6)(1.3,0.9)
\uput[ul](0.4,2){C} \uput[r](5.1,2){E} \uput[u](4.5,2.6){D} \uput[d](1.3,0.9){A} 
\uput[ul](3.5,2){B}
\psline(4.3,2.5)(4.5,2.3)(4.7,2.4)
\rput(4,1.4){(DE) // (AC)} 
\rput(2.8,0.5){Figure 3}
\pscircle(8,4.1){2.25}
\pspolygon(7,2.1)(10.15,3.57)(6.6,5.8)(7,2.1)(5.85,4.7)(10.13,3.57)
\uput[dl](7,2.1){A} \uput[dr](10.15,3.57){C} \uput[ul](6.6,5.8){E} \uput[ul](5.8,4.7){B} 
\psarc(10.2,3.57){10pt}{169}{205} \psarc(10.2,3.57){12pt}{169}{205}
\psarc(6.6,5.8){10pt}{278}{331}
\rput(9.4,3.55){$40\up{o}$}  \rput(7,5.2){$50\up{o}$}
\rput(8,1.4){Figure 2}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un segment [EF] de 10 cm de longueur puis un demi-cercle de diamètre [EF].
 
Placer le point G sur ce demi-cercle, tel que EG = 9 cm. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle EFG est rectangle. 
		\item Calculer la longueur GF arrondie au mm.
	\end{enumerate}
\item Placer le point M sur le segment [EG] tel que EM = 5,4 cm et le point P sur le segment [EF] tel que EP = 6 cm. 

Démontrer que les droites (FG) et (MP) sont parallèles.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On s'intéresse dans cet exercice au réservoir de la fusée XYZ2005, nouveau prototype de fusée interplanétaire.

Ce réservoir est constitué d'un cône surmonté d'un cylindre, comme le montre le dessin ci-dessous. 

Le diamètre du réservoir est de 6 m, le cylindre mesure 35 m de hauteur et le cône 4 m de hauteur.

\medskip

\parbox[l]{0.65\textwidth}{\begin{enumerate}
\item Calculer le volume total du réservoir ; on donnera d'abord la valeur exacte en m$^3$, puis la valeur en dm$^3$, arrondie au dm$^3$.
\item Le volume de ce réservoir est-il suffisant pour que les moteurs de la fusée fonctionnent pendant 10 minutes, sachant que ces moteurs consomment \nombre{1500} litres de carburant par seconde ?
\end{enumerate}
} \hfill
\parbox[l]{0.32\textwidth}{\psset{unit=0.9cm}\begin{pspicture}(-1,0)(4,7.5)
\psline(0,2)(1.5,0)(3,2)
\psline[arrowsize=3pt 5]{<->}(-0.2,0)(-0.2,2) \psline[arrowsize=3pt 5]{<->}(-0.2,2)(-0.2,7)
\psline[arrowsize=3pt 5]{<->}(0,7.25)(3,7.25)
\psellipse(1.5,7)(1.5,0.18)
\psellipse[linestyle=dashed](1.5,2)(1.5,0.18) 
\pscurve(0,2)(0.5,1.88)(0.75,1.85)(1.5,1.825)(2.25,1.85)(2.5,1.88)(3,2)
\psline(0,2)(0,7) \psline(3,2)(3,7)
\uput[u](1.5,7.2){6 m}
\rput{90}(-0.4,1){4 m} 
\rput{90}(-0.4,4.5){35 m} 
\end{pspicture}}

\medskip

Rappels : 

Volume d'un cône de hauteur $h$ et de rayon de base $R$ :

$V = \dfrac{1}{3}\times\pi \times R^2 \times h$.

Volume d'un cylindre de hauteur $h$ et de rayon de base $R$ :  $V = \pi \times R^2 \times h$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\bigskip

Un théâtre propose deux tarifs pour la saison 2004-2005 :

$\bullet~$Tarif S : 8 \euro~ par spectacle.

$\bullet~$Tarif P : achat d'une carte de 20 \euro~ donnant droit à un tarif préférentiel de 4~\euro~ par spectacle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant, sachant que Monsieur Scapin a choisi le tarif S et Monsieur Purgon le tarif P.

\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de spectacles			&4   	&9   	&15\\ \hline   
\hspace{-0.3cm}Dépense de M. Scapin en \euro{}	& 		& 		& \\ \hline
Dépense de M. Purgon en \euro{}	& 		& 		& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
On suppose maintenant que Monsieur Scapin et Monsieur Purgon ont chacun assisté à $x$ spectacles.

\item Exprimer en fonction de $x$ le prix $s(x)$ payé par M. Scapin puis le prix $p(x)$ payé par M. Purgon.
\item Résoudre l'équation $8x = 4x + 20$. 

À quoi correspond la solution de cette équation ?

Sur une feuille de papier millimétré, mettre en place un repère orthogonal (placer l'origine O en bas à gauche, prendre 1 cm pour un spectacle sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 5 \euro~ sur l'axe des ordonnées).
\item Représenter graphiquement les fonctions $s$ et $p$ définies respectivement par $s(x) = 8x$ et $p(x) = 4x + 20$.
\item Déterminer par lecture graphique, en faisant apparaître sur le dessin les tracés nécessaires :
	\begin{enumerate}
		\item Le résultat de la \textbf{question 3}.
		\item Le tarif le plus avantageux pour un spectateur qui assisterait à 8 spectacles durant la saison.
		\item Le tarif le plus avantageux pour M. Harpagon qui ne souhaite pas dépenser plus de 50 \euro~ pour toute la saison. À combien de spectacles pourra-t-il assister ? Retrouver ce dernier résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 