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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Groupement Est}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Groupement Est\footnote{Besançon, Dijon, Grenoble,Lyon, Nancy-Metz, Reims et Strasbourg} septembre 2005~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\[\text{A} = \dfrac{\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6}}{2 - \dfrac{1}{2}}
2\quad ; \quad  \text{B} = \dfrac{35 \times 10^{-3} \times 3 \times 10^5}{21 \times 10^{-1}}
\quad ; \quad  \text{C} = 3 \sqrt{5} - 2\sqrt{80} + \sqrt{20}.\]

\begin{enumerate}
\item Écrire A sous la forme d'une fraction irréductible.
\item Écrire B sous la forme $a \times 10^n$ où $a$ est un entier et $n$ un entier relatif.
\item Écrire C sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ est un entier relatif et $b$ un entier positif le plus petit possible.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit l'expression $D = (3x -1)(2x + 5) - (3x -1)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $D$.
\item Factoriser l'expression $D$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Résoudre les deux équations suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $(x + 2)(3x - 5) = 0$ ;
\item $x + 2(3x - 5) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD des nombres 462 et 546.
\item En déduire la fraction irréductible égale à $\dfrac{462}{546}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Voici les notes obtenues par 13 élèves à un devoir de mathématiques:
\[6 ~;~ 8~ ;~ 8 ~;~ 9~ ; ~9 ; ~10~ ;~ 11~ ;~ 12~ ;~ 14~ ;~ 17 ~; ~18 ;~ 18~ ;~ 19.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la moyenne arrondie au centième de cette série de notes.
\item Déterminer la médiane de cette série de notes.
\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le schéma donné ci-dessous n'est pas en vraie grandeur.

On donne AM = 5 cm ; AB = 15 cm ; AN = 4 cm ; AC = 12 cm et AH = 7,5 cm.

Les droites (AH) et (MN) sont perpendiculaires en D.

\begin{center}\begin{pspicture}(7,4.5)
\pspolygon(0,0)(6.8,0)(4.6,4)
\psline(0.5,2.5)(7,2.5)
\psline(4.6,0)(4.6,4)
\uput[ul](4.6,4){A} \uput[l](0,0){B}
\uput[l](6.8,0){C}  \uput[d](4.6,0){H}
\uput[ul](3,2.5){M} \uput[ur](5.6,2.5){N} \uput[ul](4.6,2.5){D} 
\psframe(4.6,2.5)(4.8,2.7) 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
\item Calculer AD. Justifier.
\item Pourquoi peut-on dire que les angles $\widehat{\text{AMN}}$ et $\widehat{\text{ABC}}$ sont égaux ?
\item Montrer que le triangle AHB est rectangle en H.
\item Montrer que l'aire du triangle ABC est égale à 9 fois l'aire du triangle AMN.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire :
	\begin{enumerate}
		\item Un carré ABCD de centre O et de côté 3cm.
		\item Le point E tel que $\vect{\text{OE}} = \vect{\text{OA}} + \vect{\text{OB}}$.
		\item Le point F, symétrique de O par rapport à C.
		\item Le point G tel que $\vect{\text{CG}} = \vect{\text{BO}}$.
	 \end{enumerate}
\item Démontrer que :
	\begin{enumerate}
		\item Les points O, F et G sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
		\item Le triangle OFG est rectangle en G.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}
 
\bigskip

Sur la figure ci-dessous, qui n'est pas dessinée en vraie grandeur, ABCD est un trapèze rectangle.

On donne AB = 6 cm ; AD = 8 cm et DC = 10 cm.

(HB) et (RS) sont perpendiculaires à (DC) et $R$ est un point du segment [AB] tel que AR = $x$.

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,6)
\pspolygon(0,0)(7.6,0)(4.7,5.7)(0,5.7)%DCBA
\psline(1.4,0)(1.4,5.7)%SR
\psline(4.7,0)(4.7,5.7) %HB
\uput[l](0,0){D} \uput[r](7.6,0){C} \uput[ur](4.7,5.7){B} \uput[ul](0,5.7){A} 
\uput[d](1.4,0){S} \uput[d](4.7,0){H} \uput[u](1.4,5.7){R}
\psframe(1.4,0)(1.6,0.2) \psframe(4.7,0)(4.9,0.2)
\psframe(0,0)(0.2,0.2) \psframe(0,5.7)(0.2,5.5)
\end{pspicture}
\end{center}

Rappel : L'aire du trapèze est donnée par la formule

\[\mathcal{A} = \dfrac{(B + b) \times h}{2}.\]

$B,~b$ et $h$ désignent respectivement les longueurs de la grande base, de la petite base et de la hauteur du trapèze.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du trapèze ABCD.
\item Calcul de BC.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que ADHB est un rectangle. En déduire HC.
		\item Calculer BC.
(On donnera le résultat sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ le plus petit possible).
	\end{enumerate}
\item Calculer la mesure de l?angle $\widehat{\text{BCD}}$, arrondie au dixième de degré.
\item Calculs d'aires.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, en fonction de $x$, l'aire $f(x)$ du rectangle ARSD.
		\item Exprimer, en fonction de $x$, l'aire $g(x)$ du trapèze RBCS.
		\item Calculer $x$ pour que ces deux aires soient égales ; donner alors la valeur commune
de chacune de ces deux aires.
	\end{enumerate}
\item $x$ est un nombre compris entre 0 et 6.
Sur la feuille de papier millimétré, construire une représentation graphique des
fonctions $f$ et de $g$ dans un repère orthonormal. Une unité en abscisse représente 1cm
et une unité en ordonnée représente 4cm$^2$.
\item Retrouver sur le graphique le résultat de la question 5.

On fera apparaître les pointillés nécessaires.
\end{enumerate}
\end{document}  