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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Groupement Nord}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet Groupement Nord \footnote{Amiens, Créteil, Lille, Paris, Rouen et Versailles} septembre 2005 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer en donnant le résultat sous forme de fractions irréductibles pour A et B et en notation scientifique pour C.

A $= \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} \times\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \qquad 		\text{B} = \dfrac{2 - \dfrac{1}{3}}{3 + \dfrac{1}{4}}\qquad \text{C} = \dfrac{3 \times 10^4 \times 10^{-2}\times 5}{10^{-1}}$

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire D sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres entiers.

D$ = 3\sqrt{12} + \sqrt{27} - 5\sqrt{3}$.

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\[E =  (2x - 3)^2 - 3(2x - 3).\]

\begin{enumerate}
\item Développer $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation $(2x - 3x)(2x - 6) = 0$.
\item Calculer $E$ pour $x= \sqrt{2}$.

(on écrira le résultat sous la forme $a -b\sqrt{2}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres entiers).
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD de 696 et 406.
	
\item Rendre la fraction $\dfrac{406}{696}$ irréductible.
	
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1} (La figure ci-contre nest pas en vraie grandeur)

\parbox{0.45\linewidth}{On donne AB =  4 cm,  OB = 3 cm,  OC = 6 cm.

Les droites (BC) et (AF) se coupent en O.
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi (AB) et (CF) sont parallèles.
\item Montrer que OA = 5 cm.
\item Calculer OF et CF.
 \end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{
\begin{pspicture}(0,-1.2)(5.5,5.3) 
\pspolygon(0,0)(5.4,0)(5.4,-1.2)(0,4.3)%CBAF
\psframe(0,0)(0.2,0.2) \psframe(5.4,0)(5.2,-0.2)
\uput[dl](0,0){C} \uput[u](5.4,0){B} \uput[dr](5.4,-1.2){A} 
\uput[ur](0,4.3){F} \uput[ur](4,0){O} 
\uput[d](2,0){6} \uput[u](4.65,0){3} \uput[r](5.4,-0.6){4} \uput[dl](4.6,-0.7){5} 
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre O et de rayon 4 cm.

[AB] est un diamètre du cercle $\mathcal{C}$ et $M$ est un point de ce cercle tel que A$M  = 5$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure en respectant les dimensions données et la compléter au fur et à mesure.
\item Démontrer que A$M$B est un triangle rectangle.
\item Calculer $\sin \widehat{M\text{BA}}$ . En déduire une mesure de $\widehat{M\text{BA}}$ arrondie au degré.
\item Placer le point R milieu du segment [OH]. Tracer le symétrique de $M$ par rapport à R, on l'appelle $P$.

Quelle est la nature du quadrilatère $M$B$P$O ? (Justifier)
\item En déduire que $\vect{M\text{O}} =  \vect{\text{B}P}$.
\item Construire le point $N$ tel que 	$\vect{MN} = \vect{M\text{O}} + \vect{\text{B}P}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Première  partie}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{Un réservoir est constitué d'une pyramide régulière à base carrée surmontée d'un parallélépipède rectangle
(Voir figure).

AB = BC = 2 m.

AE =  5 m, 	OI = 1,5 m

(OI est la hauteur de la pyramide)} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\begin{pspicture}(0,-1.5)(4.5,4)
\pspolygon(0,0)(2.9,-0.3)(4.2,0.3)(4.2,3.4)(1.3,3.6)(0,3.1)%EHGCBA
\psline(0,3.1)(2.8,2.9)(4.2,3.4)%ADC
\psline(2.8,2.9)(2.9,-0.3)%DH
\psline(0,0)(2.2,-1.4)(4.2,0.3)%BAS
\psline(2.2,-1.4)(2.9,-0.3)%BAS
\psline[linestyle=dotted](2.2,0.2)(2.2,-1.4)(1.3,0.5)(1.3,3.6)%OSFB
\psline[linestyle=dotted](0,0)(1.3,0.5)(4.2,0.3)%EFG
\uput[ul](0,3.1){A} \uput[ul](1.3,3.6){B} \uput[ur](4.2,3.4){C} 
\uput[u](2.8,2.9){D} \uput[dl](0,0){E} \uput[ul](1.3,0.5){F} 
\uput[ur](4.2,0.3){G} \uput[dr](2.8,-0.2){H} \uput[l](2.2,0.2){O} 
\end{pspicture}}
\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de la pyramide en m$^3$.
\item Calculer le volume du parallélépipède rectangle en m$^3$.
\item En déduire le volume du réservoir lorsqu'il est plein ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{On remplit d'eau ce réservoir. La partie pyramidale étant entièrement pleine, on appelle $x$ la hauteur d'eau dans le parallélépipède rectangle.
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs de $x$ possibles.
Donner la réponse sous forme d'un encadrement de $x$.
\item Exprimer en fonction de $x$ le volume d'eau dans le parallélépipède.
\item Montrer que le volume d'eau dans le réservoir est donné
par la fonction affine $V$ définie par 

$V(x) =  4x + 2$.
\item Représenter graphiquement cette fonction affine $V$ en prenant 1 cm pour 0,5 m en abscisse et 1 cm pour 2 m$^3$ en ordonnée.
\item Lire sur le graphique une valeur de $x$ telle que le volume d'eau égale 12 m$^3$.
\item Trouver par le calcul le volume d'eau dans le réservoir lorsque $x$ vaut 1,8 m.

Quel est alors le pourcentage de remplissage du réservoir ?
(arrondir à l'unité).
\end{enumerate}}
\hfill
\parbox{0.37\linewidth}{\begin{pspicture}(-0.4,-1.5)(4.5,4)
\pspolygon(0,0)(2.9,-0.3)(4.2,0.3)(4.2,3.4)(1.3,3.6)(0,3.1)%EHGCBA
\psline(0,3.1)(2.8,2.9)(4.2,3.4)%ADC
\psline(2.8,2.9)(2.9,-0.3)%DH
\psline(0,0)(2.2,-1.4)(4.2,0.3)%BAS
\psline(2.2,-1.4)(2.9,-0.3)%BAS
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,0.8)(2.9,0.5)(4.2,1.1)(1.3,1.3)
\psline[linestyle=dotted](2.2,0.2)(2.2,-1.4)(1.3,0.5)(1.3,3.6)%OSFB
\psline[linestyle=dotted](0,0)(1.3,0.5)(4.2,0.3)%EFG
\uput[ul](0,3.1){A} \uput[ul](1.3,3.6){B} \uput[ur](4.2,3.4){C} 
\uput[u](2.8,2.9){D} \uput[dl](0,0){E} \uput[ul](1.3,0.5){F} 
\uput[ur](4.2,0.3){G} \uput[dr](2.8,-0.2){H} \uput[l](2.2,0.2){O}
\psline{<->}(4.6,0.3)(4.6,1.1) \uput[r](4.6,0.7){$x$} 
\end{pspicture}}
\end{document} 