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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Groupement Ouest}}
\rfoot{\small juin 2005}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Groupement Ouest\footnote{Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers et Rennes}  28 juin 2005~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer A $= 2 - \dfrac{5}{2} \div \dfrac{15}{4}$.

On donnera le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

Toutes les étapes du calcul seront détaillées sur la copie.
\item On considère B $= \dfrac{2,5 \times 10^{-3} \times 9 \times10^5}{15 \times 10^{-4}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer B ; le résultat sera donné en écriture décimale.
		\item Écrire B en écriture scientifique.
	\end{enumerate}
		\item Calculer l'expression C $= 2\sqrt{45} + 3\sqrt{20} - 10\sqrt{5}$.

On donnera le résultat sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un entier relatif.
	\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}


\begin{enumerate}
\item Calculer le PGCD des nombres 675 et 375.

\medskip

\item  Écrire la fraction $\dfrac{675}{375}$ sous forme irréductible.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'expression suivante : 

\[E = (x - 3)^2 + (x - 3)(x + 3).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Calculer $E$ pour $x = 5$.
\item Résoudre l'équation $x(x - 3) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Aujourd'hui, Marc a 11 ans et Pierre a 26 ans.

Dans combien d'années l'âge de Pierre sera-t-il le double de celui de Marc ?

La démarche suivie sera détaillée sur la copie.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Activités géométriques \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Dans tout cet exercice, l'unité de longueur est le centimètre.}

On considère la figure ci-dessous. Ses dimensions ne sont pas respectées et on ne demande pas de la représenter.

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Les points O, B, D sont alignés, ainsi que les points O, A, C.

On donne les mesures suivantes : OA = 8 ; OB = 6 ; OC = 10.

\medskip

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,3)
\psline(0,0)(8,0) \psline(0,0)(6,2.5)
\psline(1.4,1.7)(6,-0.6) \psline(3.2,2.2)(8,-0.2)
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](2.6,1.1){B} \uput[u](4.2,1.7){D}
\uput[dl](4.8,0){A} \uput[dl](7.5,0){C}
\end{pspicture}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur BD.

La démarche suivie sera expliquée sur la copie.
\item Dans les questions qui suivent, on suppose que $\widehat{\text{OBA}}$ est droit.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\cos \widehat{\text{AOB}}$ puis en déduire une valeur approchée arrondie au degré près de la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$.
		\item Justifier que le triangle ODC est rectangle.
		\item En utilisant le théorème de Pythagore, donner une valeur approchée, en cm, arrondie au dixième de la longueur CD (On pourra admettre que OD = 7,5).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère un repère orthonormal (O, I, J) (unité : le centimètre).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(-2~ ;~ 3)$ et C(3 ; 2) dans le repère précédent.
\item Calculer les distances OA, OC et AC. On donnera les valeurs exactes de ces distances.
\item Montrer que le triangle OAC est un triangle rectangle isocèle en O.
\item Construire le point B tel que $\vect{\text{OB}} = \vect{\text{OA}} + \vect{\text{OC}}$.
\item En déduire la nature du quadrilatère OABC.
\item Déterminer les coordonnées du point $M$, centre de symétrie du quadrilatère OABC.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 12 points}

\bigskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans une bibliothèque ouverte du mardi au samedi inclus, on a comptabilisé, jour par jour, le nombre de livres prêtés au cours d'une semaine et on a obtenu les résultats consignés dans le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-6}
\multicolumn{1}{c|}{}	&mardi	&mercre.	&jeudi	&vendre.	&same.\\\hline
nombre de livres prêtés	&61		&121		&42		&59			&82\\\hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le nombre total de livres prêtés sur la semaine entière.
		\item Calculer le nombre moyen de livres prêtés, par jour, durant cette semaine de cinq jours.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le pourcentage de livres prêtés le mercredi par rapport à la semaine entière.
		
Arrondir le résultat à l'unité.
		\item Le bibliothécaire dit : \og le mercredi, nous prêtons le quart des livres de la semaine \fg.
		
A-t-il raison ? Expliquer.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Sur une année, on propose au public deux types de tarifs pour l'emprunt de livres dans une bibliothèque :

le tarif plein : 0,90~euro par livre emprunté.

le tarif \og abonné \fg : cotisation annuelle de 10 euros à laquelle s'ajoute 0,50~euro par livre emprunté.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
nombre de livres empruntés pendant l'année&10&20&50&100\\\hline
prix payé au plein tarif (en~euro) & &18 & & \\\hline
prix payé au tarif \og~abonné~\fg (en euro)&15& & & \\\hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Quel est le prix payé, en euros, pour l'emprunt de 35 livres :
	\begin{enumerate}
		\item Avec le tarif plein ? Justifier.
		\item Avec le tarif \og abonné \fg ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item On note :

$x$ le nombre de livres empruntés sur l'année ;

$P(x)$ le prix payé pour l'emprunt de $x$ livres au tarif plein ;

$A(x)$ le prix payé pour l'emprunt de $x$ livres au tarif « abonné ».

Exprimer $P(x)$ et $A(x)$ en fonction de $x$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation : $0,9x = 0,5x + 10$.
		\item Que représente la solution trouvée pour une personne empruntant des livres à la bibliothèque ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 