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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges }
\lfoot{\small{septembre 2005}}
\rfoot{\small{Groupement Ouest }}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Groupement Ouest\footnote{Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers et Rennes}~\decofourright\\[5pt]septembre 2005}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les nombres suivants : 

\begin{center}
\begin{tabular}{l p{1,5cm} l}
A $= - \dfrac{13}{7} + \dfrac{3}{7}\div \dfrac{5}{3}$&&B $= \sqrt{8} \times 5\sqrt{18}$\\ 
C $= \sqrt{8} + 5\sqrt{18}$ &&D $= \dfrac{45 \times  10^{-6} \times  10^8 \times 4}{3 \times  10^{-3} }$\\
\end{tabular}
\end{center}
 
En faisant apparaître toutes les étapes de calculs sur la copie : 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire A sous la forme d'une fraction irréductible . 
\item Écrire B sous la forme d'un nombre entier. 
\item Écrire C sous la forme $a\sqrt{2}$, où $a$ est un nombre entier.
\item Écrire D en écriture scientifique.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 2} 

\medskip

On considère l'expression $F = (5x + 4)^2 - 49$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer, puis réduire $F$. 
\item Factoriser $F$. 
\item Résoudre l'équation $(5x -3)(5x + 11) = 0$. 
\item Calculer $F$ pour $x = -2$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre le système :
\[\left\{\begin{array}{l c l} 
6x+ 5y 	&=	& 25\\
2x+3y		&=	& 11\\
\end{array}\right.\] 

\item  Pierre et Jules achètent des poissons rouges et des poissons jaunes dans le même magasin spécialisé. 

Pour l'achat de 6 poissons rouges et de 5 poissons jaunes, Pierre dépense 25 euros. 

Pour l'achat de 2 poissons rouges et de 3 poissons jaunes, Jules dépense 11 euros. 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le prix d'un poisson rouge ?
		\item Quel est prix d'un poisson jaune ? 
		
\emph{La démarche suivie sera expliquée sur la copie.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 }

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O ; I, J) d'unité 1~cm sur chaque axe. 

On considère les points A(1~;~ 2), B$(- 2~;~ 1)$ et C$(- 3~;~ - 2)$. 

\begin{enumerate}
\item  Placer les points A, B et C dans le repère (O ; I, J). 
\item  Calculer les distances AB et BC. 
\item  Construire le point D image du point A par la translation de vecteur $\vect{\text{BC}}$. 
\item  Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier . 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
IJK est un triangle tel que :
\begin{center} 
IJ = 9,6~ cm,~JK = 10,4~cm et IK = 4~cm. 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Tracer le triangle IJK en vraie grandeur.
\item  Démontrer que le triangle IJK est reccangle en I.
\item  Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{IJK}}$ ; en déduire la valeur arrondie au degré près de la mesure de l'angle $\widehat{\text{IKJ}}$.
\item  M est le point du segment  tel que :
 
\begin{center}IM = 7,2~cm ; \end{center}

 N est le point du segment [IK] tel que : 
\begin{center}IN = 3 cm. \end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les droites (MN) et (JK) sont parallèles.
		\item Calculer la distance MN. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill 12 points}

\bigskip

Un parc d'attractions pratique les tarifs suivants :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Tarif 1 : par jour de présence dans le parc, le prix à payer est de 12~euros pour un enfant et de 18~euros pour un adulte . 
\item[$\bullet~$] Tarif 2 : quel que soit le nombre de jours de présence dans le parc et le nombre de membres de la famille, le prix pour la famille est constitué d'un forfait de 100~euros auquel s'ajoute une participation de 10~euros par jour.
\end{itemize}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter le tableau ci-dessous pour une famille constituée d'un adulte et d'un enfant. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Nombre de jours passés dans le parc}& 1 &4 &14 \\ \hline
\textbf{Prix payé avec le tarif 1}&30&&  \\ \hline 
\textbf{Prix payé avec le tarif 2} &&140&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

Dans toute la suite du problème, on considère une famille constituée d'un adulte et d'un enfant. 

\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer, en fonction du nombre $x$ de jours de présence dans le parc, le prix payé par la famille avec le tarif 1. On note $p_{1}(x)$ ce prix.
		\item Exprimer, en fonction du nombre $x$ de jours de présence dans le parc le prix payé par la famille avec le tarif 2. On note $p_{2}(x)$ ce prix . 
 	\end{enumerate}
\item Tracer sur votre copie les représentations graphiques des fonctions $p_{1}$ et $p_{2}$ définies par : 

\[p_{1}~~: x~~ \longmapsto  30x \quad \text{et} \quad p_{2}~~:~~ x \longmapsto  10x+ 100.\]
 
Sur l'axe des abscisses, 1 cm représente un jour. 

Sur l'axe des ordonnées, 1 cm représente 20 euros.

\emph{Placer l'origine des axes en bas et à gauche de votre feuille.}

 \item  Répondre aux questions en utilisant le travail graphique ci-dessus : 
	\begin{enumerate}
		\item  Si la famille souhaite rester 8 jours dans le parc, quel est le tarif le plus avantageux ? Justifier. 
		\item  Si la famille dispose d'un budget de 120~euros pour l'entrée au parc,  quel tarif lui permet d'y passer le plus grand nombre de jours ? Justifier. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}