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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Aix--Marseille}}
\rfoot{\small juin 2005}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet groupement Sud\footnote{Aix--Marseille, Corse, Montpellier,Nice, Toulouse} 28 juin 2005 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Dans cet exercice, tous les calculs devront être détaillés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'expression : A $= \dfrac{13}{3} - \dfrac{4}{3}\times \dfrac{5}{2}$ (donner le résultat sous sa forme la plus simple).
\item Donner l'écriture scientifique du nombre B tel que : 

B $= \dfrac{7 \times 10^{15} \times 8  \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-4}}$.
\item Écrire sous la forme $a\sqrt{7}$ (où $a$ est un entier) le nombre C tel que : 

C $= 4\sqrt{7} - 8\sqrt{28}+ \sqrt{700}$.
\item Développer et simplifier : $\left(4\sqrt{5} + 2\right)^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 (3 points)}

\medskip

Voici l'histogramme des notes d'un contrôle noté sur 5 pour une classe de 25 élèves.

\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(7,12.5)
\psaxes[linewidth=1.75pt,Dx=15,Dy=2]{->}(0,0)(7,12)
\multido{\n=0+2}{6}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(7,\n)}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(0,1)(1,1)(1,2)(2,2)(2,4)(3,4)(3,3)(4,3)(4,7)(5,7)(5,8)(6,8)(6,0)(0,0)
\psline(1,0)(1,1) \psline(2,0)(2,2) \psline(3,0)(3,3) \psline(4,0)(4,3) \psline(5,0)(5,7) 
\uput[r](7,0.1){Note} \uput[u](0,12){Effectif}
\uput[d](0.5,0){0/5}  \uput[d](1.5,0){1/5}  \uput[d](2.5,0){2/5}  
\uput[d](3.5,0){3/5}  \uput[d](4.5,0){4/5}  \uput[d](5.5,0){5/5} 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire et remplir le tableau des notes suivant.
\item Calculer la moyenne des notes de la classe.
\item Quelle est la médiane des notes de la classe ?
\item Calculer la fréquence des notes inférieures ou égales à 3 points sur 5.
\end{enumerate}

\medskip

Tableau à reproduire et compléter :

\vspace{0,3cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Note					&0	&1	&2	&3	&4	&5\\\hline
Effectif					& 	& 	& 	& 	& 	&\\\hline 
Effectif cumulé croissant	& 	& 	& 	& 	& 	& \\\hline
\end{tabularx}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3 (2 points)}

\medskip

Répondre aux questions suivantes. (Les calculs pourront être totalement faits à la calculatrice : on ne demande pas d'étapes intermédiaires ni de justification).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner un arrondi au centième du nombre A tel que : A $= \dfrac{831 - 532}{84}$.
\item Convertir $3,7$ heures en heures et minutes.
\item Donner un arrondi au millième du nombre B tel que : B $= \dfrac{\dfrac{53}{51} - \dfrac{32}{85}}{\dfrac{63}{34}}$.
\item Calculer à 0,01 près C $= \sqrt{\dfrac{83 + 167}{158}}$.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Exercice 4 (3 points)}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver le PGDC de \np{6209} et \np{4435} en détaillant la méthode.
\item En utilisant le résultat de la question précédente, expliquer pourquoi la fraction $\dfrac{\np{4435}}{\np{6209}}$ n'est pas irréductible.
\item Donner la fraction irréductible égale à $\dfrac{\np{4435}}{\np{6209}}$.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,4)
\psframe(0,0)(5.6,2.7)%DABC
\psline(0,2.7)(1.9,3.7)(7.5,3.7)(5.6,2.7)%AEFB
\psline(7.5,3.7)(7.5,0.9)(5.6,0)%FGC
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.9,0.9)(1.9,3.7)%DHE
\psline[linestyle=dashed](1.9,0.9)(7.5,0.9)
\uput[ul](0,2.7){A} \uput[ul](5.6,2.7){B} \uput[dr](5.6,0){C} \uput[dl](0,0){D} 
\uput[ul](1.9,3.7){E} \uput[ur](7.5,3.7){F} \uput[dr](7.5,0.9){G} \uput[ul](1.9,0.9){H} 
\end{pspicture} \end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Que peut-on dire des droites (AE) et (AB) ? Le justifier.
		\item Les droites (EH) et (AB) sont-elles sécantes ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer EG. On donnera la valeur exacte.
		\item En considérant le triangle EGC rectangle en G, calculer la valeur exacte de la longueur de la diagonale [EC] de ce parallélépipède rectangle.
	\end{enumerate}
\item Montrer que le volume de ABCDEFGH est égal à 72~m$^3$.
\item Montrer que l'aire totale de ABCDEFGH est égale à 108~m$^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 3 points}

\medskip

\parbox[l]{0.65\textwidth}{Sur le dessin ci-contre, les droites (AB) et (CD) sont parallèles, les points A, C, O, E sont alignés ainsi que les points B, D, O et F. (On ne demande pas de faire le dessin).

De plus, on donne les longueurs suivantes :

CO = 3 cm, AO = 3,5 cm, OB = 4,9 cm, CD = 1,8 cm,

 OF = 2,8 cm et OE = 2 cm.
 
\begin{enumerate}\item Calculer (en justifiant) OD et AB.

\item Prouver que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.

\end{enumerate}}\hfill
\parbox[l]{0.3\textwidth}{\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(3.6,8)
\psline(1.2,6)(2.4,7.5)(2.4,0.6)(3,1.5)(1.2,6)(1.35,5.6)(2.4,6.9)%ABFEACD
\uput[l](1.2,6){A} \uput[r](2.4,7.5){B} \uput[l](1.35,5.6){C} \uput[r](2.4,6.9){D} 
\uput[r](3,1.5){E} \uput[l](2.4,0.6){F} \uput[dl](2.4,3.1){O} 
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip

Soit ABC un triangle tel que AB = 4,2 cm, BC = 5,6 cm, AC = 7 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure en vraie grandeur.
\item Prouver que ABC est rectangle en B.
\item Calculer le périmètre et l'aire de ABC.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points}

\bigskip

On dispose d'un séjour rectangulaire dans lequel on veut réaliser un petit cagibi triangulaire. Pour cela, on veut installer une cloison.

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(12,4)
\psframe(0,0)(12,4)
\psline[linestyle=dashed](12,4)(8,0)
\uput[ul](0,4){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](12,0){C} \uput[ur](12,4){D} \uput[d](8,0){H}
\psarc(12,4){12pt}{225}{270} \psarc(8,0){12pt}{45}{180}  \psarc(8,0){10pt}{45}{180} 
\rput(4,2){\ding{202}}  \rput(10.8,2){\ding{203}}
\psline[arrowsize=3pt 5]{<->}(0,4.2)(12,4.2)
\rput(6,4.4){12 m}  
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

Voici ci-dessus, une représentation de la pièce.

La partie \ding{203} est le cagibi et la partie \ding{202} représente le séjour après la création du cagibi. La cloison a été dessinée en pointillés.

Dans l'exercice, on considérera que la cloison a une épaisseur nulle.

Les trois parties sont indépendantes.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie 1 \hfill 3 points}

\medskip

On considère que $x = 3$ m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la longueur de la cloison (en pointillé) ?
\item Calculer la valeur (à $1~\degres$ près) de l'angle $\widehat{\text{HDC}}$ ? 
\item Calculer la valeur (à $1~\degres$ près) de l'angle $\widehat{\text{DHB}}$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2 (6 points)}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer la surface au sol du cagibi \ding{203} en fonction de $x$, sous la forme $f(x) = \ldots$
		\item Exprimer la surface au sol du séjour \ding{202} en fonction de $x$, sous la forme $g(x) = \ldots$
	\end{enumerate}

\item On admet que $f(x) = 2x$  et que $g(x) = 48 - 2x.$
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la fonction $f$ ? Quelle est la nature de la fonction $g$ ?
		\item Tracer dans un repère (abscisse : 1 cm pour 0,5 unités et en ordonnées, 1 cm pour 5 unités) les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ pour $x$ compris entre 0 et 10.
	\end{enumerate}

\item On veut que le séjour \ding{202} ait une surface minimale de 35 m$^2$.
	\begin{enumerate}
		\item Lire sur le graphique la valeur maximale de $x$ pour que cette condition soit respectée.
		\item Écrire une inéquation qui traduise que la surface du séjour doit être supérieure ou égale à 35 m$^2$.
		\item Résoudre cette inéquation.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 3 \hfill 3 Points}

\medskip

On réalise une maquette de cette pièce, avant la création du cagibi, à l'échelle 1/200.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Rappeler ce que signifie \og échelle 1/200 \fg{} ?
\item Quelle sera, sur la maquette, la longueur du mur de 12 m ?
\item La surface réelle du séjour est de $48$ m$^2$. Quelle est la surface du sol du séjour dans la maquette (en cm$^2$) ?
\item Le volume du séjour de la maquette est de $13,125$ cm$^3$. Quel est le volume réel du séjour (en cm$^3$ puis en m$^3$) ?
\end{enumerate}
\end{document} 