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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{juin 2001}}
\rfoot{\small{Groupement 1}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Groupement 1\footnote{Amiens, Lille, Paris, Créteil, Versailles, Rouen}
  juin 2001 \decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\[\text{A} = \frac{12}5 - \frac35\times\frac79\kern1cm \text{B} = \left(\frac23-3\right)\div\frac19\]

\begin{enumerate}
\item Calculer A et écrire la réponse sous forme de fraction
irréductible.
\item Calculer B et écrire la réponse sous forme d'un entier
relatif.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\[\text{C} = \sqrt{18}\times\sqrt9\kern1cm \text{D} = 5\sqrt{12}+6\sqrt3-\sqrt{300}\]

Écrire C et D sous forme $a\sqrt3$, où $a$ est un entier.

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\[E = 4x^2 - 9 + (2x + 3)(x - 1).\]

\begin{enumerate}
\item Factoriser $4x^2 - 9$. Utiliser alors ce résultat pour factoriser $E$.
\item Développer et réduire $E$.
\item Résoudre l'équation $(2x + 3)(3x - 4) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Un premier bouquet de fleurs est composé de 3 iris et 4 roses jaunes :
il coûte 9~\euro.

Un second bouquet est composé de 5 iris et de 6 roses jaunes : il
coûte 14~\euro. On appelle $x$ le prix en euros d'un iris
et $y$ le prix en euros d'une rose jaune.

Écrire un système d'équations traduisant les données de ce
problème et calculer le prix d'un iris et celui d'une rose jaune.

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5)
\psline(0,0.6)(5.8,0.6)(1.7,5)
\psline(0,0)(5.7,5)
\psline(0,4)(7,4)
\uput[dr](0.63,0.6){C} \uput[dr](5.8,0.6){B} \uput[l](3.5,3.08){A} 
\uput[ur](2.6,4){M} \uput[ul](4.55,4){N}
\psline(3.32,2.9)(3.48,2.73)(3.66,2.9) 
\end{pspicture}
\end{center}

ABC est un triangle rectangle en $A$ tel que AB = 5~cm et
BC = 7,5~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ au degré près.
\item Le point M est sur la droite (AB), à l'extérieur du segment
[AB] tel que AM=2~cm.

\par La parallèle à la droite (BC) passant par M coupe la droite
(AC) en N.
\par Calculer la longueur MN.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\par Les constructions des questions 1 et 2 sont à faire sur la figure
ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5)
\psline(1,0.5)(4.8,0.5)
\uput[l](1,0.5){A} \uput[r](4.8,0.5){B}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Sur la figure, on a tracé le segment [AB] tel que
AB = 7~cm. Placer un point C tel que $\widehat{\text{BAC}} = 70$~\degres{} et
$\widehat{\text{ABC}} = 60$~\degres.
\item Construire le cercle circonscrit au triangle ABC, et appeler
  O son centre. On laissera les traits de construction.
\item Donner la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOC}}$ en justifiant la
  réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill }

\bigskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Ci-après, on a tracé le segment [BC] tel que BC = 15~cm.

Placer un point A tel que AB = 9~cm et AC = 12~cm.
		\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer le milieu $M$ du segment [BC]. Tracer le cercle de
  diamètre [AB]. Ce cercle recoupe le segment [BC] en D et le
  segment [AM] en E.
		\item Démontrer que les triangles ABE et ABD sont rectangles.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point F, symétrique du point E par rapport au
  point M.
		\item Démontrer que le quadrilatère BECF est un parallélogramme.
		\item En déduire que les droites (BE) et (CF) sont parallèles, et
  que les droites (AF) et (CF) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\item Soit H le point d'intersection des droites (AD) et
  (BE). Soit K le point d'intersection des droites (AD) et
  (CF).
	\begin{enumerate}
		\item Que représentent les droites (AD) et (BE) pour le triangle ABM ?
  
En déduire que les droites (HM) et (AB) sont  perpendiculaires.
  
Démontrer de même que les droites (KM) et (AC) sont perpendiculaires.
		\item On appelle I le point d'intersection des droites (AB) et
  (MH). On appelle J le point d'intersection des droites (AC) et
  (KM).
  
Démontrer que le quadrilatère AIMJ est un  rectangle.
  
En déduire que le triangle HMK est rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5)
\psline(1,0.5)(5,0.5)
\uput[l](1,0.5){B}\uput[r](5,0.5){C}
\end{pspicture}
\end{center}
\par{\em Les dimensions ne sont pas respectées}
\end{document}