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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{juin 2001}}
\rfoot{\small{Groupement 2}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Groupement 2\footnote{Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Orléans--Tours, Poitiers,Rennes}
  juin 2001 \decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire sous la forme la plus simple possible :

\[\text{A} = \dfrac{7}{3} - \dfrac{4}{3} \times \dfrac{2}{5}.\]
\item Donner l'écriture décimale de :

\[\text{B} = - 4^2 + 10^3 \times 10^{- 1} + (- 3 )^2.\]

\item Écrire sous la forme $a\sqrt{3}$ o\`u $a$ est un nombre entier :

\[\text{C} = 2\sqrt{27} - 4\sqrt{3} + \sqrt{12}.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $A = (7x - 3)^2 - 9$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $A$.
\item Factoriser $A$.
\item Résoudre l'équation $7x(7x - 6) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le PGCD des nombres 108 et 135.
\item Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires.
\par Il veut faire des paquets de sorte que :
	\begin{itemize}
		\item tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges,
		\item tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires,
		\item toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient
  utilisées.
	\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		\item Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser ?
		\item Combien y aura-t-il alors de billes rouges et de billes noires
  dans chaque paquet ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

\par Le granit est une roche cristalline formée d'un mélange hétérogène de quatre éléments : quartz, feldspath, biotite et minéraux secondaires.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un bloc de granit est composé de :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item 28\,\% de quartz,
\item 53\,\% de feldspath,
\item 11\,\% de biotite,
\item 19,2~dm$^3$ de minéraux secondaires.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Calculer le volume de ce bloc.
\item Un mètre cube de ce granit a une masse de 2,6~tonnes. 

Calculer  la masse du bloc de granit considéré dans la question 1.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O~;~I~;~J). L'unité de
longueur est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A(2~;~1), B(5~;~5) et C(6~;~2).
\item Donner les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
\item Calculer la distance AB.
\item Placer le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
\item Donner sans justifier les coordonnées du point D.
\item Calculer les coordonnées du centre de symétrie W du
  parallélogramme ABCD.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sur le dessin ci-dessous, la sphère a pour centre O.

Un plan coupe cette sphère selon un cercle $\mathcal{C}$ de centre H et de
rayon 4,5~cm 

(HA = 4,5~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que HO = 2,2~cm, dessiner le triangle OHA en vraie
  grandeur.
\item Calculer la longueur OA à 1~mm près.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.75,-2.75)(2.75,2.75)
\pscircle(0,0){2.6}
\scalebox{1}[0.3]{\psarc[](0,5.1){2.05}{180}{0}}%
\scalebox{1}[0.3]{\psarc[linestyle=dashed](0,5.1){2.05}{0}{180}}%
\pspolygon[linestyle=dotted](0,0)(0,1.6)(1.75,1.2)
\uput[d](-0.5,1.1){$\mathcal{C}$}
\uput[d](0,0){O} \uput[u](0,1.6){H} \uput[dr](1.75,1.2){A} 
\end{pspicture}
\end{center}
{\em Sur ce dessin, les dimensions ne sont pas respectées.}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère un triangle $ABC$ tel que AB = 6~cm, AC = 9~cm et
BC $=\sqrt{117}$~cm.

\emph{Sur ce dessin, les dimensions ne sont pas respectées}.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,6.4)
\pspolygon(0.7,2.6)(4.55,2.6)(0.7,5.2)
\psline(3.5,0)(3.5,6.4)
\psline(4.1,0)(0.15,6.05)
\psdots(0.7,2.6)(4.55,2.6)(0.7,5.2)(2.4,2.6)(3.5,2.6)(3.5,3.3)(3.5,0.92)
\uput[dl](0.7,2.6){A} \uput[dl](2.4,2.6){E} \uput[dr](3.5,2.6){H} \uput[dr](4.55,2.6){C} 
\uput[ur](3.5,0.92){M} \uput[ur](3.5,3.3){J} \uput[dl](0.7,5.2){B} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
\item Le point $E$ est le point du segment [AC] tel que
  AE = 4~cm. La médiatrice du segment [EC] coupe le segment [EC]
  en H, le segment [BC] en J et la droite (BE) en M.
  
Prouver que :

\begin{itemize}
\item Les droites (JH) et (AB) sont parallèles;
\item le segment [HC] mesure 2,5~cm.
\end{itemize}

\item Calculer la valeur exacte de longueur JH.
\item Calculer la longueur HM.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

EFG est un triangle isocèle en E tel que FG = 5~cm et
EG = 6~cm. Le cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de diamètre [EG]
coupe le segment [FG] en K.

\emph{La figure ci-dessous n'est pas
  dessinée en vraie grandeur}.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(7.5,7)
\pspolygon(0.5,0.5)(5.15,0.5)(2.825,6)%FGE
\pscircle(3.9875,3.25){3}
\uput[l](0.5,0.5){F} \uput[dr](5.15,0.5){G} \uput[u](2.825,6){E} 
\uput[dl](2.825,0.5){K} \uput[ur](3.9875,3.25){O}
\psdots(0.5,0.5)(5.15,0.5)(2.825,6)(2.825,0.5)(3.9875,3.25)
\uput[ur](6.5,4.8){$\mathcal{C}$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Réaliser la figure en vraie grandeur (utiliser une feuille à
  part).
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que EKG est un triangle rectangle.
		\item Démontrer que K est le milieu du segment [FG].
		\item Calculer la valeur exacte de EK. Donner une valeur approchée à  1~mm près.
	\end{enumerate}
\item Soit S l'image du point E par la translation de vecteur
  $\vect{\text{KG}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point S sur la figure.
		\item Démontrer que ESGK est un rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Compléter la figure en plaçant un point P sur un segment [EG]
(ne pas placer P en O).\par Tracer la parallèle à la droite (FG)
passant par P. Elle coupe la droite (EF) en R.\par On nomme $x$
la longueur du segment [EP] exprimée en cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser sans justifier la nature du triangle EPR.
\item Démontrer que PR $= \dfrac56x$.
\item Exprimer en fonction de $x$ le périmètre du triangle EPR.
\item Démontrer que le périmètre du trapèze RPGF est égal à
  $\dfrac{-7x}6 + 17$.
\item Peut-on trouver une position du point P sur le segment [EG]
  pour laquelle le triangle et le trapèze aient le même périmètre ?
  \textbf{Justifier la réponse}.
\end{enumerate}
\end{document}