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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{juin 2001}}
\rfoot{\small{Groupement 3}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - Groupement 3\footnote{Aix--Marseille, Montpellier, Nice--Corde, Toulouse}
  juin 2001 \decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner l'égalité traduisant la division euclidienne de \np{1512} par 21.
\item Rendre irréductible la fraction $\dfrac{720}{\np{1512}}$.\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression $A$ suivante :

\[A = (x - 2)^2 + (x - 2)(3 x + 1).\]

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $A$.
\item Factoriser $A$.
\item Résoudre l'équation : $(x - 2) (4 x - 1) = 0$.
\item Calculer $A$ pour $x = - \dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système de deux équations à deux inconnues suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + y 	&=& 15\\
2 x + y &=& 21
\end{array}\right.\]

\item Pour financer une partie de leur voyage de fin d'année, des élèves de troisième vendent des gâteaux qu'ils ont confectionnés eux-même.

Un même jour ils ont vendu 15 tartes, les unes aux myrtilles et les autres aux pommes.

Une tarte aux myrtilles est vendue 4~euros et une tarte aux pommes 2~euros.

La somme encaissée ce jour là est 42 euros.

AprÈs avoir mis le problème en équation, déterminer combien ils ont vendu de tartes de chaque sorte.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sur la figure ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(12,10)
\psline(0,3.7)(3.6,0)
\psline(3.4,10)(10.1,3.2)
\psline(5,10)(11.4,3.3)
\psline(0,2.3)(11.8,5.7)
\psline(1.4,0)(7.2,10)
\uput[u](1.04,2.6){E} \uput[d](2.2,1.4){B} \uput[ul](3.3,3.22){L} 
\uput[l](5.8,7.58){A} \uput[d](8.57,4.8){R} \uput[r](6.38,8.6){C} 
\uput[ur](9.7,5.1){T} 
\end{pspicture}
\end{center}
Les droites (AR) et (CT) sont parallèles.

Les points E, L, R, T sont alignés.

Les points C, A, L, B sont alignés.

On donne :

LC = 6 cm, LT = 9 cm, LA = 4, 8 cm, LB = 2 cm, LE = 3 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer LR.
\item Les droites (EB) et (CT) sont-elles parallèles ?

\emph{La figure ci-dessus n'est pas conforme aux dimensions données}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{
ABCDEFGH est un pavé droit à base carrée.
On donne AD = 3 cm, CG = 4 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le volume en cm$^3$ de la pyramide de sommet G et de base ABCD.
\item Calculer DG.
\item On admet que le triangle ADG est rectangle en D.

Calculer la mesure, arrondie au degré, de l'angle AGD.

Calculer la valeur exacte de la longueur AG, puis en donner la valeur arrondie au millimètre.
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.5,6)
\psframe(0.4,0.3)(3.9,3.8)%ADHE
\psline(3.9,0.3)(4.4,2)(4.4,5.5)(3.9,3.8)%DCGH
\psline(4.4,5.5)(0.9,5.5)(0.4,3.8)%GFE
\psline[linestyle=dotted](4.4,2)(0.9,2)(0.9,5.5)%CBF
\pspolygon[linestyle=dotted](0.4,0.3)(0.9,2)(4.4,5.5)%ABGA
\uput[dl](0.4,0.3){A} \uput[l](0.9,2){B} \uput[r](4.4,2){C} \uput[dr](3.9,0.3){D} 
\uput[l](0.4,3.8){E} \uput[ul](0.9,5.5){F} \uput[ur](4.4,5.5){G} \uput[dr](3.9,3.8){H} 
\end{pspicture}
}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie I}}
\end{center}

\parbox{0.6\linewidth}{Soit LAC un triangle rectangle en $A$;

On donne : LA = 9~cm et AC = 12~cm.

[AH] est la hauteur du triangle LAC.

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du triangle LAC.
\item Montrer que : LC = 15~cm.
\item En exprimant différemment le calcul de l'aire du triangle LAC, montrer que AH = 7,2~cm.
\end{enumerate}
} \hfill
\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,3)
\pspolygon(0.3,0.3)(3.8,0.3)(0.3,3)%ACL
\psline(0.3,0.3)(1.55,2)
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[dr](3.8,0.3){C} \uput[ul](0.3,3){L}
\uput[](1.55,2.15){H} 
\end{pspicture}}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie II}}
\end{center}

On place un point $M$ sur le côté [LC] du triangle LAC et on note $x$ la distance L$M$, exprimée en cm ($0 < x < 15$).

\parbox{0.6\linewidth}{\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ la longueur $M$C.
\item Le segment [AH] peut être considéré comme hauteur à la fois du triangle $M$AC et du triangle LA$M$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'aire du triangle LA$M$, exprimée en cm$^2$, est $3,6x$.
\item Montrer que l'aire du triangle $M$AC, exprimée en cm$^2$, est $54 - 3,6x$.
\item Pour quelle valeur de $x$ les deux triangles LA$M$ et $M$AC ont-ils la même aire ? Quelle est alors cette aire ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}\hfill \parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,3)
\pspolygon(0.3,0.3)(3.8,0.3)(0.3,3)%ACL
\psline(0.3,0.3)(1.55,2)
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(3.1,0.85)
\uput[ur](3.1,0.85){$M$}
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[dr](3.8,0.3){C} \uput[ul](0.3,3){L}
\uput[ur](1.55,2){H} 
\end{pspicture}}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie III}}
\end{center}

Le plan est muni d'un repère orthogonal. On choisira l'axe des abscisses parallèle au grand côté de la feuille de papier millimétré. Sur l'axe des abscisses, l'unité est le centimètre, sur l'axe des ordonnées, 1~cm représente 10 unités.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer la représentation graphique des fonctions $f$ et $g$ définies par :

\[f(x) = 3,6x \quad  \text{et} \quad  g(x) = 54 - 3,6x.\]

\item Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle l'aire du triangle $M$AC est égale à 36~cm$^2$ en faisant apparaître sur le graphique les constructions utiles.
\item Soit $K$ le point d'intersection des deux droites obtenues.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement les coordonnées du point $K$.
		\item En utilisant les résultats obtenus à la question II 2. c. :
	\begin{itemize}
		\item Que représente l'abscisse du point $K$ ?
		\item Que représente l'ordonnée du point $K$ ?
	\end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}