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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small L'année 2025}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Métropole  Antilles-Guyane }
\lfoot{\small 26 juin 2025}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Métropole Guadeloupe--Guyane 26 juin 2025\decofourright\\[7pt]
Série professionnelle}}\end{center}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|} \hline
	\hfill~\textbf{Indications portant sur l'ensemble du sujet.}\hfill~\\
	\textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche; elle sera prise en compte dans la notation.}\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 1 -- QCM\hfill 20 points}}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM), il est à compléter directement sur l'\textbf{ANNEXE 1 à rendre avec la copie à la fin du sujet}.

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 2 -- Trajets en train \hfill 22 points}}

\medskip

Dans le cadre de son travail, Elsa doit se déplacer régulièrement à Paris. Elle voyage en train.

Le billet coûte $80$~\euro.

Elsa peut acheter une carte à l'année qui coûte $49$~\euro{} et qui lui permet d'obtenir toute l'année
une réduction de 30\,\% sur les billets.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude des tarifs :
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le prix qu'Elsa paiera pour 3 billets sans carte de réduction.
		\item Justifier que le prix d'un billet de train après une remise de 30\,\% est $56$~\euro.
		\item Calculer le prix total payé par Elsa pour trois billets avec la carte, achat de la carte compris.
	\end{enumerate}
\item Comparaison des tarifs :

Elsa achète $x$ billets.

On nomme :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $f$ la fonction qui associe à $x$ le montant total que paie Elsa dans le cas où elle n'achète pas la carte de réduction.
\item $g$ la fonction qui associe à $x$ le montant total que paie Elsa dans le cas où elle achète la carte de réduction et en tenant compte de l'achat de la carte.
\end{itemize}

Dans le repère ci-dessous sont représentées les fonctions $f$ et $g$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-50)(13,1000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(13,1000)
\uput[u](10.5,0){Nombre de billets achetés}\uput[r](0,950){Prix à payer (en \euro)}
\uput[u](12.9,0){$x$}\uput[r](0,990){$y$}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{11}{80 x mul}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{11}{56 x mul 49 add}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Noter pour chacune des deux droites le nom de la fonction représentée par cette droite sur l'ANNEXE 2.
		\item Choisir et recopier sur la copie l'expression algébrique de la fonction $g$ :
		
Choix 1 : $g(x) =56x+49$ 

Choix 2: $g(x) =56x$ 

Choix 3: $g(x) = 80x$ 

Choix 4 : $g(x) = 49x +56$
		\item Calculer $g(8)$.
		\item Indiquer le prix à payer pour $8$ billets avec la carte de réduction.
		\item Sachant qu'Elsa achètera plus de $8$ billets dans l'année, déterminer le tarif le plus
avantageux pour elle.

Justifier la réponse en expliquant la méthode utilisée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

{\large \textbf{Exercice 3 Destinations\hfill 18 points}}

\medskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Lors d'une promotion, une agence de voyage propose un tirage au sort permettant de gagner une journée de vacances. 

Chaque client fait tourner la roue ci-contre, partagée en 8 secteurs de même mesure.

Dans cet exemple le client gagne une journée de vacances à la campagne.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2.7,-2.7)(2.7,2.7)
\pscircle*(0,0){2.5}
\pscircle[linewidth=2.5pt,linecolor=white](0,0){0.4}
\pspolygon[linecolor=white](0.2;0)(0.2;120)(0.2;240)
\multido{\n=20+45}{8}{\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](0.4;\n)(2.5;\n)}
\rput{-2.5}(1.7;-2.5){\white Mer}\rput{-177.5}(1.7;-177.5){\white Mer}\rput{-92.5}(1.7;-92.5){\white Mer}
\rput{42.5}(1.6;42.5){\white Montagne}\rput{222.5}(1.6;222.5){\white Montagne}
\rput{87.5}(1.7;87.5){\white Ville}\rput{-47.5}(1.7;-47.5){\white Ville}
\rput{132.5}(1.6;132.5){\white Campagne}\psline[linewidth=2.5pt]{->}(3.3;132.5)(2.5;132.5)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

L'agence présente les résultats des tirages au sort, effectués sur une semaine, dans le diagramme ci-dessous.

\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-10)(12,82)
\multido{\n=0+2}{41}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(12,\n)}
\multido{\n=0+10,\na=0+10}{9}{\psline[linewidth=0.9pt](0,\n)(12,\n)\uput[l](0,\n){\na}}
\psframe*(1.5,0)(2.5,42)\psframe*(4.5,0)(5.5,55)\psframe*(7.5,0)(8.5,68)\psframe*(10.5,0)(11.5,35)
\uput[d](2,0){Ville}\uput[d](5,0){Montagne}\uput[d](8,0){Mer}\uput[d](11,0){Campagne}
\uput[u](5,55){55}\uput[u](11,35){35}\rput{90}(-0.8,40){Effectif}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Indiquer le nombre de fois où la roue s'est arrêtée sur un secteur \og Ville \fg.
\item Montrer que le nombre total de tirages au sort effectués cette semaine-là est 200.
\item Calculer la fréquence d'apparition du secteur \og Montagne \fg.
\end{enumerate}

On fait tourner la roue.

\begin{enumerate}[resume]
\item À l'aide des informations sur la roue, calculer la probabilité de s'arrêter sur \og Montagne \fg.
\item Elsa participe au tirage au sort. En examinant la roue elle pense qu'elle a plus de chance de gagner une journée à la montagne qu'à la ville. Indiquer si elle a raison ou tort. Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 4 \hfill 18 points}}

\medskip

Paul prévoit de faire de la randonnée pendant les vacances. Il utilise habituellement un bâton
de marche de longueur réglable.

La longueur minimale du bâton est 48 cm.

Il doit le placer dans la valise représentée ci-dessous.

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3.6)
%\psgrid
\psframe(1.6,0.2)(3.4,3)
\psline[linewidth=1.25pt](2.2,3)(2.2,3.8)\psline[linewidth=1.25pt](2.8,3.)(2.8,3.8)
\psline[linewidth=3pt](2,3.8)(3,3.8)
\psline[linewidth=0.8pt]{<->}(1.4,0.2)(1.4,3)\rput{90}(1.2,1.6){45 cm}
\rput(4.8,1.6){Valise de Paul}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Indiquer s'il est possible de mettre le bâton à la verticale dans la valise.

Justifier la réponse.

\medskip

On schématise le fond de la valise par le rectangle ABCD ci-dessous (le dessin n'est pas à l'échelle).

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture}(1,0)(12,3.8)

\psframe(5.7,0.8)(12.8,3.6)
\psline(5.7,0.8)(12.8,3.6)
\psframe(5.7,3.6)(5.9,3.4)\psframe(5.7,0.8)(5.9,1)
\psframe(12.8,3.6)(12.6,3.4)\psframe(12.8,0.8)(12.6,1)
\uput[r](1,2.5){Longueur $L$ : 45 cm}\uput[r](1,1.4){Largeur $l$ : 32 cm}
\psline{<->}(5.7,0.6)(12.8,0.6)\uput[d](9.25,0.6){$L$}
\psline{<->}(5.5,0.8)(5.5,3.6)\uput[l](5.5,2.2){$l$}
\uput[dl](5.7,0.8){A} \uput[dr](12.8,0.8){B} \uput[ur](12.8,3.6){C} \uput[ul](5.7,3.6){D} 
\end{pspicture}
\end{center}

\item  Parmi les propositions suivantes, recopier sur la copie celle qui est exacte.
Le triangle ABC est:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\bullet~$ isocèle &$\bullet~$ rectangle &$\bullet~$ isocèle rectangle& $\bullet~$ équilatéral\\
\end{tabularx}

\item Calculer, à l'aide du théorème de Pythagore, la longueur AC en centimètre.

Arrondir le résultat à l'unité.
\item Justifier que Paul peut placer son bâton dans le fond de la valise.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large \textbf{Exercice 5  (algorithme)\hfill 22 points}}

\medskip

Dans un avion, les valises sont placées en cabine ou en soute. Les compagnies aériennes appliquent un surcoût aux valises en cabine qui pèsent plus de 15 kilogrammes.
Le programme scratch ci-dessous permet de calculer la masse en trop et le montant du surcoût en euros demandé aux clients pour conserver leur valise de plus de 15 kilogrammes en cabine.

\medskip

\begin{scratch}[num blocks,scale=0.8]
\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
\blockvariable{mettre \selectmenu{masse} à \ovalnum{réponse}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{$x$} à \ovaloperator{\ovalvariable{masse} -\ovalnum{15}}}
\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{x} *\ovalnum{12,30}}}
\blocklook{Dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{La masse de votre valise dépasse de} et \ovaloperator{regrouper{x} et \ovalnum{kg}pendant \ovalnum{30 secondes}}}}
\blocklook{Dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{Le montant à payer pour la masse supplémentaire est} et \ovaloperator{résultat} pendant \ovalnum{30 secondes}}}
\end{scratch}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la ligne 5, donner le prix en euros (\euro) du kilogramme supplémentaire.
\item Indiquer ce que permet de calculer la ligne 4.
\item Calculer la valeur du montant affiché par le programme pour une valise de $17,50$~kg.
\end{enumerate}

En soute, un surcoût est appliqué aux valises qui pèsent plus de $23$~kg.

Chaque kilogramme supplémentaire coûte $10,70$~\euro.

\begin{enumerate}[resume]
\item Indiquer, sur la copie, le numéro des deux lignes à modifier pour adapter le programme à une valise en soute.
\item Écrire, sur la copie, les deux lignes avec les valeurs modifiées pour obtenir le prix à payer pour une valise en soute pesant $23$ kg.

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{\Large ANNEXE 1 - À rendre avec la copie}
\end{center}

\textbf{Exercice 1 : QCM}

\medskip

Pour chaque question, quatre réponses sont proposées mais \textbf{une seule est exacte}. Cocher la bonne réponse \textbf{sans justification}.

Une réponse correcte apporte 4 points, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte aucun point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $25\,\%$ de $340$ s'obtient en effectuant le calcul suivant :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{{$\square$~~}}X}}
$340 \times \dfrac{25}{100}$&$340 + \dfrac{25}{100}$&$340 \times \dfrac{100}{25}$&$340 + \dfrac{100}{25}$\\
\end{tabularx}
\item $3^5$ est égal à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{{$\square$}~~}X}}
$3+3+3+3+3$	&$3\times 5$ & $3 - 5$ & $3 \times 3\times 3\times 3\times 3$\\
\end{tabularx}

\item Le tableau suivant correspond à une situation de proportionnalité : \begin{tabular}{c |c}
19&2\\ \hline
$N$&6\\
\end{tabular}

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{{$\square$~~}}X}}
$N = 12,5$& $N = 23$& $N = 3,5$&$N = 57$
\end{tabularx}

\item Le volume du cube de côté 3 cm est égal à :

\hspace{8cm} \psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(2.3,2.5)
\psframe(0,0.4)(1.6,2)
\psline(1.6,0.4)(2.1,0.9)(2.1,2.5)(1.6,2)
\psline(2.1,2.5)(0.5,2.5)(0,2)
\psline[linestyle=dashed](0,0.4)(0.5,0.9)(2.1,0.9)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.9)(0.5,2.5)
\uput[d](0.8,0.4){3 cm}
\end{pspicture}

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{{$\square$~~}}X}}
9~cm$^3$& 18~cm$^3$ & 27~cm$^3$&81~cm$^3$
\end{tabularx}

\item La solution de l'équation $25x + 4 = 108 - x$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{{$\square$~~}}X}}
$x = 3$ &$x = 4$&$x = 5$&$x = 6$
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{\Large ANNEXE 2 - À rendre avec la copie}
\end{center}

\textbf{Exercice 2 : question 2. a.}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-50)(13,1000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(13,1000)
\multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,1000)}
\multido{\n=0+100}{11}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(13,\n)}
\uput[u](10.8,0){Nombre de billets achetés}\uput[r](0,950){Prix à payer (en \euro)}
\uput[r](13,0){$x$}\uput[u](0,1000){$y$}
\psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{12}{80 x mul}\rput{38}(10,833){\red Fonction : \ldots}
\psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{56 x mul 49 add}\rput{30}(10,635){\blue Fonction : \ldots}
\end{pspicture}
\end{center}


\end{document}