\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\newcommand{\textding}[1]{\text{\ding{#1}}}
\usepackage{lscape}
\usepackage{tabularx,booktabs}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 

\usepackage{graphicx,pstricks,pst-plot,pst-grad,pst-node,pst-text,pst-slpe,pstricks-add}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{diagbox}% à  mettre après pst-eucl
%\usepackage{pgf,tikz,pgfplots}
%\usetikzlibrary{patterns,calc,decorations.pathmorphing}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2.2cm, bottom=2cm]{geometry}
\setlength\headheight{13.7pt}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[french]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{colortbl}
%\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet professionnel},
%pdftitle = {Année 2011},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{5pt}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Brevet -  Série technologique et professionnelle}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Métropole gr. Nord}
\lfoot{\small juin 2004}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet - Métropole gr. Nord~\decofourright\\[7pt]
Série technologique et professionnelle - juin 2004}}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

Cette épreuve comporte trois parties :

Partie 1: OBLIGATOIRE 12 points 

Partie 2 : AU CHOIX (A ou B) 12 points 

Partie 3 : OBLIGATOIRE 12 points 

Présentation et rédaction 4 points 

\medskip

\textbf{\Large PARTIE 1 :  (OBLIGATOIRE) \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer : $A = 2 \times 4 - 6$.
3(1 1)

\item Calculer : $B = 4 - \dfrac34\left(\dfrac13 - \dfrac16\right)$.
\item Calculer l'expression suivante : $C = \sqrt{25} + \sqrt{16} - 3\sqrt9$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Pour faire un costume, on achète : 

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item 3 m de drap;
\item 2,5 m de doublure;
\item des fournitures.
\end{itemize}


\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le prix du drap utilisé sachant que le mètre de drap coûte 20~\euro{} ?
\item Quel est le prix du mètre de doublure sachant qu'il vaut 10\,\% du prix du mètre de drap ?
\item Quel est le prix de la doublure achetée
\item Quel est le prix des fournitures sachant qu'il représente 1 du prix du
-drap utilisé ?
\item La main d'œuvre coûte 54~\euro.

Quel est le prix de revient du costume?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\textbf{Fabrication d'un réservoir}

Le schéma ci-dessous représente le développement des côtés d'un réservoir
à base carrée.

On veut calculer la longueur d'un côté (les longueurs des côtés sont données en cm). On appelle $x$ la longueur d'un côté.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(9,4)
%\psgrid
\pspolygon(0,2.7)(0,0.7)(0.9,0.5)(0.9,2.5)%avant gauche
\psline(0.9,2.5)(1.7,2.9)(1.7,0.9)(0.9,0.5)%côté droit
\psline(0,2.7)(0.9,3.1)(1.7,2.9)%(%dessus
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.9,0.5)(1.1,2.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.1,0.5)(2.9,3.1)
\psframe(2.9,0.5)(8.2,3.1)\psline(4.2,0.5)(4.2,3.1)\psline(5.5,0.5)(5.5,3.1)\psline(6.8,0.5)(6.8,3.1)
\psline(8.1,0.5)(8.1,3.1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8.1,0.5)(8.5,3.1)
\psline[linewidth=0.6pt]{|<->|}(2.1,0.3)(8.6,0.3)\uput[d](5.35,0.3){214}
\psline[linewidth=0.6pt]{|<->|}(2.1,3.3)(2.9,3.3)\uput[u](2.5,3.3){11}
\psline[linewidth=0.6pt]{|<->|}(2.9,3.3)(4.2,3.3)\uput[u](3.55,3.3){$x$}
\psline[linewidth=0.6pt]{|<->|}(8.1,3.3)(8.5,3.3)\uput[u](8.3,3.3){$7$}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Compléter : $214 = 11 + \ldots$.
\item Résoudre l'équation ainsi obtenue.
\item Donner en cm la mesure d'un côté.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Calculer l'aire $\mathcal{A}$ en cm$^2$ d'un disque de rayon $R = 12$ cm.

Arrondir le résultat à 0,1 près.

\bigskip

\textbf{\Large PARTIE 2 :  (AU CHOIX) Dominante géométrique \hfill 12 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
Une véliplanchiste très expérimentée fait
une sortie en mer en jour de tempête où le vent atteint la vitesse de 100 km/h.

À cette vitesse, la pression P du vent est estimée à $500$ Pa.

\textbf{Le but de l'exercice est de calculer la valeur de la force exercée par le vent sur la voile dont le schéma est donné ci- contre.}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,4.4)
\pspolygon(0.2,4.4)(2.6,3.5)(3.6,1.3)(0.2,0.3)%ABCD
\psline(2.6,3.5)(0.2,3.5)%BE
\psline(3.6,1.3)(0.2,1.3)%CO
\uput[l](0.2,4.4){A} \uput[ur](2.6,3.5){B} \uput[r](3.6,1.3){C}
\uput[l](0.2,0.3){D} \uput[l](0.2,3.5){E} \uput[l](0.2,1.3){O}
\psframe(0.2,3.5)(0.4,3.7)\psframe(0.2,1.3)(0.4,1.5)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Partie A : terminer quelques mesures}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé donné ci-après.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter les coordonnées des points O, C, B et E : 

0(0~;~0) ; C(160~;~\ldots) ; B(70~;~\ldots) ; E(\ldots~;~240).

\item Placer les points A et D puis compléter leurs coordonnée 

A(0~;~\ldots) et D(0~;~\ldots).
\item Construire le point G, projeté orthogonal de B sur la droite (OC).
\item En déduire les coordonnées de G : G(\ldots~;~0).
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.02cm}
\begin{pspicture}(-20,-140)(180,320)
\multido{\n=0+20}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-140)(\n,320)}
\multido{\n=-140+20}{24}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(180,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(70,70)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=200,Dy=400,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-140)(180,320)
\pspolygon(0,310)(70,240)(160,0)(0,-120)
\psline(70,240)(0,240)
\uput[l](0,240){E} \uput[ur](70,240){B} \uput[ur](160,0){C} \uput[dl](0,0){O} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie B :calculer l'aire réelle de la voile}

\medskip

n donne: AB = 99 cm, DC = 200 cm, AE =70 cm, EO = 240 cm et OD = 120 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la nature des triangles ABE, CDO et BCG.
Justifier les réponses.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer en cm les longueur de EB, OC.
Arrondir les résultats à l'unité.
		\item Calculer en cm la longueur GC. Arrondir le résultat à l'unité.
	\end{enumerate}	
\item Calculer en cm$^2$ l'aire des trois triangles ABE, CDO et BCG. On rappelle que l'aire du triangle est donnée par la formule:

\begin{center}Aire $= \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$\end{center}

\item Calculer en cm$^2$ l'aire du rectangle EBGO.
\item Calculer en cm$^2$ l'aire de la voile.
\item Exprimer l'aire de la voile en cm$^2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : calculer la force exercée par le vent}

\medskip

La force exercée par le vent est donnée par la relation:
\[ F = p \times S,\]

où $F$ est la valeur de la force en newton (N), $S$ est la surface de la voile en mètre carré (m$^2$) et $P$ la pression en pascal (Pa).

Calculer la valeur de la force $F$, agissant sur la voile lorsque le vent atteint la vitesse de $100$km/h (on rappelle que $P = 500$ Pa).

Arrondir le résultat à l'unité.

\bigskip

\textbf{\Large PARTIE 2 :  (AU CHOIX) Dominante statistique \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\textbf{Industrie papetière}

\medskip

Les résultats d'une enquête sur les quantités de matières premières consommées en 2002 par l'industrie papetière française figurent dans le tableau ci-après.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Matières premières			&Quantités (en kilo-tonnes)&Fréquences (en \%)&Angles (en $\degres$)\\ \hline
Papiers et cartons récupérés en France&\np{4400}&40&144\\ \hline
Papiers et cartons récupérés importés&\np{1100}&\ldots&\ldots\\ \hline
Pâte à papier française &\np{2200}&20&72\\ \hline
Pâte à papier importée &\np{1920}&\ldots&\ldots\\ \hline
Matières annexes (talc, kaolin, autres charges et adjuvants)&\np{1320}&\ldots&\ldots\\ \hline
\multicolumn{1}{c|}{~}&$N = .\ldots$& total : 100&total : \ldots\\ \cline{2-4}
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'effectif total
\item Calculer les fréquences, arrondir à l'unité et compléter la 3\up{e} colonne.
\item Pour représenter la série statistique par un diagramme circulaire, calculer la valeur de l'angle correspondant à chaque fréquence, arrondir le résultat à l'unité et compléter la colonne 4.
\item Compléter le diagramme circulaire ci-dessous
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1.8,-1.8)(5.2,3.5)
\pscircle(0,0){1.8}
\psline(1.8;0)(0,0)(1.8;144.8)
\rput(3.4;40){{\footnotesize \begin{tabular}{|m{3cm}|}\hline
Papiers et cartons\\récupérés en France\\
 40\,\%\\ \hline
\end{tabular}}}
\psline{->}(2.46;40)(0.9;40)
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans un collège, on étudie la taille des élèves.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter les deux colonnes du tableau ci-après.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Tailles des enfants en cm&Effectifs $n_i$&Centres des classes $x_i$&Produits $n_ix_i$\\ \hline
[140; 150[ &25	&145	&3625\\ \hline
[150; 160[ &100	&\ldots	&\ldots\\ \hline
[160; 170[ &250	&\ldots	&\np{41250}\\ \hline
[170; 180[ &50	&\ldots	&\ldots\\ \hline
[180; 190[ &25	&185	&\ldots\\ \hline
\multicolumn{1}{c|}{~}&$N = 450$&\multicolumn{1}{c|}{~}&Total : \ldots \\ \cline{2-2}\cline{4-4}
\end{tabularx}
\end{center}

\item Calculer la taille moyenne des élèves $\overline{x}$.

Arrondir le résultat à l'unité.

Rappel de la formule de la moyenne:

$\overline{x} = \dfrac{n_1x_1+ n_2x_2 + n_3x_3 + n_4x_4 + n_5x_5}{N}$.
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{\Large PARTIE 3 :  PROBLÈME \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Seuil de rentabilité du GPL}

\medskip

Un constructeur de voiture propose un modèle en deux versions : essence
et GPL.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Version essence &Version GPL\\ \hline
Prix d'achat &\np{17000}~\euro&\np{19000}~\euro\\ \hline
Consommation&9 L/100 km&11,9 L/100 km\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

n se propose de déterminer le nombre de kilomètres à partir duquel la version GPL devient plus intéressante que la version essence. L'essence coûte 1\euro/L et le GPL coûte 0,42\euro/L.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Noter la consommation en litre pour une distance de 100 km : version essence puis version GPL.
\item Calculer le coût de la consommation pour une distance parcourue de 100 km.
Arrondir le résultat à 0,01 : version essence puis version GPL. 
\item Donner le coût de la consommation pour une distance parcourue de $x$ centaines de kilomètres.

Version essence : $C_1 = \ldots$ ;

Version GPL : $C_2 = 5 \times x$.
\item Calculer le prix de revient total (prix d'achat + coût pour $x$ centaines de kilomètres parcourues) correspondant à chacune des deux versions: version essence puis version GPL.
\end{enumerate}




\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour la version essence, le prix de revient total en fonction du nombre de centaines de kilomètres parcourues $x$ est donné par la fonction $P_1$ dont l'expression est : 
\[P_1(x) = \np{17000} + 9x.\]

Pour cette fonction, on a le tableau de valeurs suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ : nombre de centaines de kilomètres parcourues&0 &500 &1000\\ \hline
$P_1(x)$ : prix de revient total&\np{17000}& \np{21500}& \np{26000}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Dans le repère donné ci-après, placer les points de coordonnées
$\left(x~;~P_1(x)\right)$.
		\item Tracer la droite $D_1$ passant par les points obtenus.
		\item La fonction représentée est-elle linéaire ?
Justifier la réponse.
		\item Déterminer graphiquement le prix de revient (version essence) pour une distance parcourue de $250$ centaines de kilomètres.
		\item Déterminer graphiquement le nombre de centaines de kilomètres (version essence) parcourues pour un prix de revient de \np{23750}~\euro.
	\end{enumerate}
\item Pour la version GPL, le prix de revient total en fonction du nombre de centaines de kilomètres parcourues $x$ est représenté par la droite $D_2$ sur le graphique ci-après.
	\begin{enumerate}
		\item Les deux droites $D_1$ et $D_2$ se coupent en un point I, compléter les coordonnées de ce point. I(500~;~ \ldots).
		\item Donner le nombre de centaines de kilomètres à partir duquel la version
GPL devient plus intéressante que la version essence.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.0075cm,yunit=0.001cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-200,-1000)(1500,9500)
\multido{\n=0+100}{16}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,9500)}
\multido{\n=0+500}{20}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(1500,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Oy=17000,Dy=500,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(1500,9500)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,2000)(1500,9497)
\uput[u](1150,0){Distance en centaines de km}
\uput[r](0,9450){Prix de revient en \euro}
\end{pspicture}
\end{center}













\end{document}