\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \newcommand{\textding}[1]{\text{\ding{#1}}} \usepackage{lscape} \usepackage{tabularx,booktabs} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : \usepackage{graphicx,pstricks,pst-plot,pst-grad,pst-node,pst-text,pst-slpe,pstricks-add} \usepackage{pst-eucl} \usepackage{diagbox}% à mettre après pst-eucl %\usepackage{pgf,tikz,pgfplots} %\usetikzlibrary{patterns,calc,decorations.pathmorphing} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2.2cm, bottom=2cm]{geometry} \setlength\headheight{13.7pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \usepackage{colortbl} %\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} %\hypersetup{% %pdfauthor = {APMEP}, %pdfsubject = {Brevet professionnel}, %pdftitle = {Année 2011}, %allbordercolors = white, %pdfstartview=FitH} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \lhead{\small Brevet - Série technologique et professionnelle} \rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \rfoot{\small Métropole gr. Nord} \lfoot{\small juin 2004} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet - Métropole gr. Nord~\decofourright\\[7pt] Série technologique et professionnelle - juin 2004}} \end{center} \vspace{0.5cm} Cette épreuve comporte trois parties : Partie 1: OBLIGATOIRE 12 points Partie 2 : AU CHOIX (A ou B) 12 points Partie 3 : OBLIGATOIRE 12 points Présentation et rédaction 4 points \medskip \textbf{\Large PARTIE 1 : (OBLIGATOIRE) \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer : $A = 2 \times 4 - 6$. 3(1 1) \item Calculer : $B = 4 - \dfrac34\left(\dfrac13 - \dfrac16\right)$. \item Calculer l'expression suivante : $C = \sqrt{25} + \sqrt{16} - 3\sqrt9$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip Pour faire un costume, on achète : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item 3 m de drap; \item 2,5 m de doublure; \item des fournitures. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Quel est le prix du drap utilisé sachant que le mètre de drap coûte 20~\euro{} ? \item Quel est le prix du mètre de doublure sachant qu'il vaut 10\,\% du prix du mètre de drap ? \item Quel est le prix de la doublure achetée \item Quel est le prix des fournitures sachant qu'il représente 1 du prix du -drap utilisé ? \item La main d'œuvre coûte 54~\euro. Quel est le prix de revient du costume? \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 3} \medskip \textbf{Fabrication d'un réservoir} Le schéma ci-dessous représente le développement des côtés d'un réservoir à base carrée. On veut calculer la longueur d'un côté (les longueurs des côtés sont données en cm). On appelle $x$ la longueur d'un côté. \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(9,4) %\psgrid \pspolygon(0,2.7)(0,0.7)(0.9,0.5)(0.9,2.5)%avant gauche \psline(0.9,2.5)(1.7,2.9)(1.7,0.9)(0.9,0.5)%côté droit \psline(0,2.7)(0.9,3.1)(1.7,2.9)%(%dessus \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.9,0.5)(1.1,2.5) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.1,0.5)(2.9,3.1) \psframe(2.9,0.5)(8.2,3.1)\psline(4.2,0.5)(4.2,3.1)\psline(5.5,0.5)(5.5,3.1)\psline(6.8,0.5)(6.8,3.1) \psline(8.1,0.5)(8.1,3.1) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8.1,0.5)(8.5,3.1) \psline[linewidth=0.6pt]{|<->|}(2.1,0.3)(8.6,0.3)\uput[d](5.35,0.3){214} \psline[linewidth=0.6pt]{|<->|}(2.1,3.3)(2.9,3.3)\uput[u](2.5,3.3){11} \psline[linewidth=0.6pt]{|<->|}(2.9,3.3)(4.2,3.3)\uput[u](3.55,3.3){$x$} \psline[linewidth=0.6pt]{|<->|}(8.1,3.3)(8.5,3.3)\uput[u](8.3,3.3){$7$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Compléter : $214 = 11 + \ldots$. \item Résoudre l'équation ainsi obtenue. \item Donner en cm la mesure d'un côté. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 4} \medskip Calculer l'aire $\mathcal{A}$ en cm$^2$ d'un disque de rayon $R = 12$ cm. Arrondir le résultat à 0,1 près. \bigskip \textbf{\Large PARTIE 2 : (AU CHOIX) Dominante géométrique \hfill 12 points} \medskip \begin{minipage}{0.65\linewidth} Une véliplanchiste très expérimentée fait une sortie en mer en jour de tempête où le vent atteint la vitesse de 100 km/h. À cette vitesse, la pression P du vent est estimée à $500$ Pa. \textbf{Le but de l'exercice est de calculer la valeur de la force exercée par le vent sur la voile dont le schéma est donné ci- contre.} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.3\linewidth} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(4,4.4) \pspolygon(0.2,4.4)(2.6,3.5)(3.6,1.3)(0.2,0.3)%ABCD \psline(2.6,3.5)(0.2,3.5)%BE \psline(3.6,1.3)(0.2,1.3)%CO \uput[l](0.2,4.4){A} \uput[ur](2.6,3.5){B} \uput[r](3.6,1.3){C} \uput[l](0.2,0.3){D} \uput[l](0.2,3.5){E} \uput[l](0.2,1.3){O} \psframe(0.2,3.5)(0.4,3.7)\psframe(0.2,1.3)(0.4,1.5) \end{pspicture} \end{minipage} \medskip \textbf{Partie A : terminer quelques mesures} \medskip Le plan est rapporté à un repère orthonormé donné ci-après. \medskip \begin{enumerate} \item Compléter les coordonnées des points O, C, B et E : 0(0~;~0) ; C(160~;~\ldots) ; B(70~;~\ldots) ; E(\ldots~;~240). \item Placer les points A et D puis compléter leurs coordonnée A(0~;~\ldots) et D(0~;~\ldots). \item Construire le point G, projeté orthogonal de B sur la droite (OC). \item En déduire les coordonnées de G : G(\ldots~;~0). \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=0.02cm} \begin{pspicture}(-20,-140)(180,320) \multido{\n=0+20}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-140)(\n,320)} \multido{\n=-140+20}{24}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(180,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(70,70) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=200,Dy=400,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-140)(180,320) \pspolygon(0,310)(70,240)(160,0)(0,-120) \psline(70,240)(0,240) \uput[l](0,240){E} \uput[ur](70,240){B} \uput[ur](160,0){C} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \medskip \textbf{Partie B :calculer l'aire réelle de la voile} \medskip n donne: AB = 99 cm, DC = 200 cm, AE =70 cm, EO = 240 cm et OD = 120 cm. \medskip \begin{enumerate} \item Donner la nature des triangles ABE, CDO et BCG. Justifier les réponses. \item \begin{enumerate} \item Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer en cm les longueur de EB, OC. Arrondir les résultats à l'unité. \item Calculer en cm la longueur GC. Arrondir le résultat à l'unité. \end{enumerate} \item Calculer en cm$^2$ l'aire des trois triangles ABE, CDO et BCG. On rappelle que l'aire du triangle est donnée par la formule: \begin{center}Aire $= \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$\end{center} \item Calculer en cm$^2$ l'aire du rectangle EBGO. \item Calculer en cm$^2$ l'aire de la voile. \item Exprimer l'aire de la voile en cm$^2$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : calculer la force exercée par le vent} \medskip La force exercée par le vent est donnée par la relation: \[ F = p \times S,\] où $F$ est la valeur de la force en newton (N), $S$ est la surface de la voile en mètre carré (m$^2$) et $P$ la pression en pascal (Pa). Calculer la valeur de la force $F$, agissant sur la voile lorsque le vent atteint la vitesse de $100$km/h (on rappelle que $P = 500$ Pa). Arrondir le résultat à l'unité. \bigskip \textbf{\Large PARTIE 2 : (AU CHOIX) Dominante statistique \hfill 12 points} \medskip \textbf{Exercice 1} \medskip \textbf{Industrie papetière} \medskip Les résultats d'une enquête sur les quantités de matières premières consommées en 2002 par l'industrie papetière française figurent dans le tableau ci-après. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Matières premières &Quantités (en kilo-tonnes)&Fréquences (en \%)&Angles (en $\degres$)\\ \hline Papiers et cartons récupérés en France&\np{4400}&40&144\\ \hline Papiers et cartons récupérés importés&\np{1100}&\ldots&\ldots\\ \hline Pâte à papier française &\np{2200}&20&72\\ \hline Pâte à papier importée &\np{1920}&\ldots&\ldots\\ \hline Matières annexes (talc, kaolin, autres charges et adjuvants)&\np{1320}&\ldots&\ldots\\ \hline \multicolumn{1}{c|}{~}&$N = .\ldots$& total : 100&total : \ldots\\ \cline{2-4} \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer l'effectif total \item Calculer les fréquences, arrondir à l'unité et compléter la 3\up{e} colonne. \item Pour représenter la série statistique par un diagramme circulaire, calculer la valeur de l'angle correspondant à chaque fréquence, arrondir le résultat à l'unité et compléter la colonne 4. \item Compléter le diagramme circulaire ci-dessous \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1.8,-1.8)(5.2,3.5) \pscircle(0,0){1.8} \psline(1.8;0)(0,0)(1.8;144.8) \rput(3.4;40){{\footnotesize \begin{tabular}{|m{3cm}|}\hline Papiers et cartons\\récupérés en France\\ 40\,\%\\ \hline \end{tabular}}} \psline{->}(2.46;40)(0.9;40) \end{pspicture} \end{center} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip Dans un collège, on étudie la taille des élèves. \medskip \begin{enumerate} \item Compléter les deux colonnes du tableau ci-après. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Tailles des enfants en cm&Effectifs $n_i$&Centres des classes $x_i$&Produits $n_ix_i$\\ \hline [140; 150[ &25 &145 &3625\\ \hline [150; 160[ &100 &\ldots &\ldots\\ \hline [160; 170[ &250 &\ldots &\np{41250}\\ \hline [170; 180[ &50 &\ldots &\ldots\\ \hline [180; 190[ &25 &185 &\ldots\\ \hline \multicolumn{1}{c|}{~}&$N = 450$&\multicolumn{1}{c|}{~}&Total : \ldots \\ \cline{2-2}\cline{4-4} \end{tabularx} \end{center} \item Calculer la taille moyenne des élèves $\overline{x}$. Arrondir le résultat à l'unité. Rappel de la formule de la moyenne: $\overline{x} = \dfrac{n_1x_1+ n_2x_2 + n_3x_3 + n_4x_4 + n_5x_5}{N}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\Large PARTIE 3 : PROBLÈME \hfill 12 points} \medskip \textbf{Seuil de rentabilité du GPL} \medskip Un constructeur de voiture propose un modèle en deux versions : essence et GPL. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &Version essence &Version GPL\\ \hline Prix d'achat &\np{17000}~\euro&\np{19000}~\euro\\ \hline Consommation&9 L/100 km&11,9 L/100 km\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \smallskip n se propose de déterminer le nombre de kilomètres à partir duquel la version GPL devient plus intéressante que la version essence. L'essence coûte 1\euro/L et le GPL coûte 0,42\euro/L. \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip \begin{enumerate} \item Noter la consommation en litre pour une distance de 100 km : version essence puis version GPL. \item Calculer le coût de la consommation pour une distance parcourue de 100 km. Arrondir le résultat à 0,01 : version essence puis version GPL. \item Donner le coût de la consommation pour une distance parcourue de $x$ centaines de kilomètres. Version essence : $C_1 = \ldots$ ; Version GPL : $C_2 = 5 \times x$. \item Calculer le prix de revient total (prix d'achat + coût pour $x$ centaines de kilomètres parcourues) correspondant à chacune des deux versions: version essence puis version GPL. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B} \medskip \begin{enumerate} \item Pour la version essence, le prix de revient total en fonction du nombre de centaines de kilomètres parcourues $x$ est donné par la fonction $P_1$ dont l'expression est : \[P_1(x) = \np{17000} + 9x.\] Pour cette fonction, on a le tableau de valeurs suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ : nombre de centaines de kilomètres parcourues&0 &500 &1000\\ \hline $P_1(x)$ : prix de revient total&\np{17000}& \np{21500}& \np{26000}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Dans le repère donné ci-après, placer les points de coordonnées $\left(x~;~P_1(x)\right)$. \item Tracer la droite $D_1$ passant par les points obtenus. \item La fonction représentée est-elle linéaire ? Justifier la réponse. \item Déterminer graphiquement le prix de revient (version essence) pour une distance parcourue de $250$ centaines de kilomètres. \item Déterminer graphiquement le nombre de centaines de kilomètres (version essence) parcourues pour un prix de revient de \np{23750}~\euro. \end{enumerate} \item Pour la version GPL, le prix de revient total en fonction du nombre de centaines de kilomètres parcourues $x$ est représenté par la droite $D_2$ sur le graphique ci-après. \begin{enumerate} \item Les deux droites $D_1$ et $D_2$ se coupent en un point I, compléter les coordonnées de ce point. I(500~;~ \ldots). \item Donner le nombre de centaines de kilomètres à partir duquel la version GPL devient plus intéressante que la version essence. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \psset{xunit=0.0075cm,yunit=0.001cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-200,-1000)(1500,9500) \multido{\n=0+100}{16}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,9500)} \multido{\n=0+500}{20}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(1500,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Oy=17000,Dy=500,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(1500,9500) \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,2000)(1500,9497) \uput[u](1150,0){Distance en centaines de km} \uput[r](0,9450){Prix de revient en \euro} \end{pspicture} \end{center} \end{document}