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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Brevet - Série technologique et professionnelle}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Métropole}
\lfoot{\small septembre 2012}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet - Métropole septembre 2012~\decofourright\\[7pt]
Séries technologique et professionnelle}}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\Large Partie 1 : CALCUL NUMÉRIQUE (OBLIGATOIRE)\hfill 
12 points }

\medskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Pour fêter les 50 ans de son club de rugby et attirer de nouveaux joueurs, la commune de LAMELLÉE décide de renouveler une partie de son équipement.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le budget annuel du club est de \np{8500}~\euro{}

\begin{itemize}
\item réparti de la manière suivante: - les sponsors financent les deux cinquièmes,
\item les subventions représentent 15\,\%,
\item la billetterie rapporte \np{1700}~\euro,
\item le reste est assuré par les ventes diverses (boissons, sandwichs, produits dérivés, etc.) et par les manifestations annexes (loto, grillades, tombola, etc.).
\end{itemize}

Calculer, en euros, la somme apportée par les sponsors dans le budget annuel du club.
\item Le trésorier du club voudrait faire une commande. Il consulte une ancienne facture pour avoir un ordre de prix.

Malheureusement, certaines valeurs ont été effacées.

Compléter la facture en annexe 1.
\item Pour être homologué, un ballon de rugby doit répondre à certaines normes :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item sa longueur doit être comprise entre 28 cm et 30 cm.
\item sa masse doit être comprise entre 0,400 kg et 0,440 kg.
\end{itemize}

Si l'une des deux conditions n'est pas satisfaite, le ballon n'est pas homologué.

Parmi les quatre ballons décrits ci-dessous, indiquer celui (ou ceux) qui peut (peuvent) être homologuées).Justifier votre réponse.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Ballon A&Ballon B&Ballon C	&Ballon D\\ \hline
Longueur (cm)		  &27,50   &28,06	&28,95		&29,01\\ \hline
Masse (g) 			  &430	   & 438	&453		& 460\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Toute trace écrite (calcul, schéma, explication ...) sera prise en compte dans l'évaluation.}

\item Au rugby, les points peuvent être marqués par:

\begin{itemize}
\item un essai, qui vaut 5 points,
\item une transformation, qui vaut 2 points,
\item une pénalité, qui vaut 3 points.
\end{itemize}

Lors du dernier match de championnat, l'équipe locale a marqué trois essais, deux transformations et deux pénalités.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le nombre total de points marqués par l'équipe locale.
		\item L'équipe adverse a marqué 29 points. On peut retrouver le nombre d'essais marqués $x$ en
résolvant l'équation suivante : 
\[5x + 2 + 12 = 29.\]
Résoudre cette équation.
		\item Combien d'essais au total ont été marqués durant le match. Rédiger la réponse.
	\end{enumerate}
\item Afin d'attirer de jeunes joueurs et de jeunes joueuses, le club a organisé une journée \og découverte du rugby \fg{} auprès du collège de la commune.

Les $156$ élèves dont $96$ filles ont participé à un mini tournoi.

La composition de toutes les équipes est identique :

\begin{itemize}
\item toutes les équipes comptent le même nombre de joueurs,
\item toutes les équipes comptent le même nombre de filles.
\end{itemize}

Combien d'équipes ont participé au tournoi et quelle était leur composition ?

\textbf{Toute trace écrite (calcul, schéma, explication, ...) sera prise en compte dans l'évaluation.}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Partie 2—A : DOMINANTE STATISTIQUE (AU CHOIX)\hfill 
12 points }

\medskip

On a relevé la taille (en cm) et la masse (en kg) des joueurs susceptibles de compléter l'équipe sénior du club de LAMELLÉE.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Joueur 		&Antoine	& Bakari	&Brice	&Dany	&Didier& Fabien		& Flavio\\ \hline
Taille (cm)	&175		&187		& 172	&169 	&185	&174 		&190\\ \hline
Masse (kg)	&72			&75			&85		&65		& 80	& 69		&87\\ \hline
Joueur 		&Henri 		&Ianis		&Icham	&Jan	&Jérémy	&Karim 		&Louan\\ \hline
Taille (cm)	&184		&179		&182	&201	&172 	&195 		&169 \\ \hline
Masse (kg)	&110		& 74		&78		& 92	& 74	& 88		&68\\ \hline
Joueur 		&Majid		&Maurice	&Moussa	&Noé	&Paco	&Pierre 	&Samy\\ \hline 
Taille (cm)	&182		&171		&182	&193	&175 	&178		&178\\ \hline
Masse (kg)	&77			&84			&78		&85		&105	&90			&78\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Donner le prénom du joueur le plus grand.
\item Donner le prénom du joueur le plus lourd.
\item Afin de faciliter l'étude statistique, on regroupe les données précédentes concernant les tailles dans le tableau de l'annexe 2.
	\begin{enumerate}
		\item Compléter ce tableau en annexe 2.
		\item En déduire la taille moyenne de l'ensemble des joueurs (arrondir à l'unité). Rédiger la réponse.
		\item Parmi les trois histogrammes représentés en annexe 2, lequel (ou lesquels) corresponde(nt) à la répartition, par taille, des joueurs présentés dans le tableau de l'annexe 2 ? Justifier.
		
Toute trace écrite (calcul, schéma, explication ...) sera prise en compte dans l'évaluation.
	\end{enumerate}
\item On a rangé par ordre croissant les masses de l'ensemble des joueurs : 

65~;~68~;~69~;~72~;~74~;~74~;~75~;~77~;~78~;~78~;~78~;~80~;~84~;~85~;~85~;~87~;~88~;~90~;~92~;~105~;~110
	\begin{enumerate}
		\item Donner la masse médiane.
		\item Quelle est la signification de cette valeur ?
	\end{enumerate}
\item Le tournoi annuel organisé par le club réunit des équipes (dont l'équipe locale) réparties dans 4 poules comportant le même nombre d'équipes (poule A ; Poule B ; Poule C; Poule D).

Quelle est la probabilité pour que l'équipe locale se retrouve dans la poule A ? (donner le résultat sous la forme d'une fraction).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Partie 2—B : DOMINANTE GÉOMÉTRIQUE (AU CHOIX)\hfill 
12 points }

\medskip

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
On rappelle :

Aire d'un disque : $A = \pi R^2$
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,1.8)
%\psgrid
\uput[l](0.2,0){B}\uput[r](3.6,0){C}\uput[u](2.8,1.42){A}
\pspolygon(0.2,0)(3.6,0)(2.8,1.42)
\rput{32}(2.8,1.42){\psframe(-0.2,-0.2)}
\rput(5.2,0.9){$\tan \widehat{\text{B}}= \dfrac{\text{AC}}{\text{AB}}$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Afin d'améliorer le confort et l'aménagement du terrain, les dirigeants souhaitent acheter un abri de touche représenté en annexe 3. Pour limiter les frais, un artisan, bénévole du club, propose de poser des protections latérales en plexiglas sur chaque côté de l'abri.

Un côté de l'abri est assimilable à un carré et un quart de disque accolé.
	\begin{enumerate}
		\item Représenter sur l'annexe 3, à partir du point A, une des protections latérales à l'échelle 1/20.
		\item Calculer l'aire en cm (arrondir à l'unité) d'une protection latérale.
		\item En déduire l'aire totale des protections latérales en plexiglas qu'il faudra poser. Donner le résultat en m$^2$ arrondi à 0,01 près.
	\end{enumerate}
\item Au rugby, on peut marquer des points en faisant passer le ballon entre les barres des poteaux adverses à l'aide d'un coup de pied.

Le ballon est situé à $30$ mètres des poteaux et la barre horizontale à $3$ mètres du sol.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(6.4,3.4)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=3pt](0.5,0.7)(6,3.1)
\psline(0.5,0.7)(6,0.7)(6,3.1)
\psline[linewidth=3pt](6,0.7)(6,3.1)
\psline[linewidth=0.6pt]{|<->|}(0.5,0.5)(6,0.5)\uput[d](3.25,0.5){30 m}
\psline[linewidth=0.6pt]{|<->|}(6.2,0.7)(6.2,3.1)\uput[r](6.2,1.9){3 m}
\psarc(0.5,0.7){0.9}{0}{27}\rput(1.6,0.925){$\alpha$}
\uput[dl](0.5,0.7){P} \uput[dr](6,0.7){Q} \uput[ur](6,3.1){R}
\rput{115}(0.5,0.85){\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(0.16,0.1)}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Attention}, le schéma n'est pas à l'échelle
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur de la tangente de l'angle $\alpha$ (donner le détail des calculs).
		\item En déduire la valeur (arrondie à l'unité) en degré de l'angle $\alpha$.
	\end{enumerate}
\item Le terrain de rugby est assimilé à un rectangle de $130$ m de long sur $70$ m de large.

Suite à un orage violent, il faut refaire la pelouse. Le président du club décide de faire poser des bandes de terre gazonnée. Elles sont livrées en rouleaux de $20$~m de long sur $2$m de large qui peuvent être découpés.

Combien de rouleaux seront nécessaires pour couvrir la totalité du terrain ?

\textbf{Toute trace écrite (calcul, schéma, explication, ...) sera prise en compte dans l'évaluation.}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Partie 3 : PROBLÈME (OBLIGATOIRE) \hfill 
12 points }

\medskip

Pour assister aux matchs de rugby au stade de LAMELLÉE, le club propose 3 tarifs :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Tarif 1 : pas d'abonnement mais le billet d'entrée à 8 euros\\ 
Tarif 2 : un abonnement \footnote{l'abonnement est nominatif (valable pour une personne)} annuel de 20 euros puis le billet à 4 euros\\
Tarif 3 : un abonnement \footnote{l'abonnement est nominatif (valable pour une personne)} annuel de 60 euros puis l'entrée gratuite.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Un supporter décide cette année d'assister à 4 matchs.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer ce qui lui en coûtera s'il choisit : 
\begin{itemize}
\item le tarif 1 ?
\item le tarif 2 ?
\item le tarif 3 ?
 \end{itemize}
		\item Quel tarif a-t-il intérêt à choisir ?
	\end{enumerate}
\item Compléter le tableau de l'annexe 4.
\item On a représenté dans le repère de l'annexe 4 les prix payés en fonction du nombre de matchs vus.

Indiquer, le numéro du tarif correspondant à chaque segment sur l'annexe 4.
\item On désire savoir pour combien de matchs les tarifs 1 et 2 sont équivalents.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier l'équation qui traduit cette équivalence puis la résoudre.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
$4x = 20 + 8x$& $8x = 20 + 4x$& $8 = 4 + 20x$
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Retrouver graphiquement le nombre de maths pour lequel les tarifs 1 et 2 sont équivalents.
		
Laisser apparents les traits nécessaires à la lecture graphique.
	\end{enumerate}
\item Pierrot souhaite aller au stade avec ces deux fils (Adam et Léo) ; il sait déjà que durant l'année il assistera à 12 matchs, Adam à 4 matchs et Léo à 7 matchs.

Quel sera le coût total annuel payé par Pierrot pour toute la famille s'il tient compte des différents tarifs ?

\textbf{Toute trace écrite (calcul, schéma, explication, ... ) sera prise en compte dans l'évaluation.}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE 1}

\bigskip

\textbf{Partie 1 : question 2}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
désignation&prix unitaire (\euro)&quantité&prix (\euro)\\ \hline
maillots&35&15&\ldots\\ \hline
shorts&12&\ldots&180\\ \hline
ballons&\ldots&5&\ldots\\ \hline
\multicolumn{2}{c|}{~}&Sous-total&820\\ \cline{3-4}
\multicolumn{2}{c|}{~}&TVA 19,6\,\%&\ldots\\ \cline{3-4}
\multicolumn{2}{c|}{~}&TOTAL À PAYER&\ldots\\ \cline{3-4}
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE 2}

\bigskip

\textbf{Partie 2- A : question 3. a.}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Joueur 		&Antoine	& Bakari	&Brice	&Dany	&Didier& Fabien		& Flavio\\ \hline
Taille (cm)	&175		&187		& 172	&169 	&185	&174 		&190\\ \hline
Masse (kg)	&72			&75			&85		&65		& 80	& 69		&87\\ \hline
Joueur 		&Henri 		&Ianis		&Icham	&Jan	&Jérémy	&Karim 		&Louan\\ \hline
Taille (cm)	&184		&179		&182	&201	&172 	&195 		&169 \\ \hline
Masse (kg)	&110		& 74		&78		& 92	& 74	& 88		&68\\ \hline
Joueur 		&Majid		&Maurice	&Moussa	&Noé	&Paco	&Pierre 	&Samy\\ \hline 
Taille (cm)	&182		&171		&182	&193	&175 	&178		&178\\ \hline
Masse (kg)	&77			&84			&78		&85		&105	&90			&78\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
tailles (cm)&effectifs $n_i$&centres de classe $x_i$&Produits $n_i \times x_i$\\ \hline
[165~;~175[&\ldots&\ldots&\ldots\\ \hline
[175~;~185[&9&180&\ldots\\ \hline
[185~;~195[&\ldots&\ldots&\ldots\\ \hline
[195~;~205[&2&200&400\\ \hline
\multicolumn{1}{c|}{TOTAL}&\ldots&\multicolumn{1}{c|}{~}&\np{3800}\\ \cline{2-2} \cline{4-4}
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Partie 2- A : question 3. c.}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\No 1&\No 2&\No 3\\
\psset{xunit=1cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(4.5,10)
\psaxes[Ox=165,Dx=10,Dy=20,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(4.5,10)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1,6)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,0)(2,9)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,0)(3,4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,0)(4,2)
\psframe(3,8)(4,9)\rput(3.5,8.5){2}
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(4.5,\n)}
\multido{\n=165+10,\na=0+1}{5}{\uput[d](\na,0){\small \n}}
\end{pspicture}&
\psset{xunit=1cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(4.5,10)
\psaxes[Ox=165,Dx=10,Dy=20,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(4.5,10)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1,6)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,0)(2,9)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,0)(3,4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,0)(4,2)
\psframe(3,8)(4,10)\rput(3.5,9){1}
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(4.5,\n)}
\multido{\n=165+10,\na=0+1}{5}{\uput[d](\na,0){\small \n}}
\end{pspicture}
&
\psset{xunit=1cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(4.5,10)
\psaxes[Ox=165,Dx=10,Dy=20,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(4.5,10)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(1,6)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,0)(2,9)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,0)(3,4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,0)(4,2)
\psframe(3,8)(4,10)\rput(3.5,9){2}
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(4.5,\n)}
\multido{\n=165+10,\na=0+1}{5}{\uput[d](\na,0){\small \n}}
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE 3}

\bigskip

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(10,6)
\psline(2.6,3.8)(2.6,2)(3.6,1.6)(3.6,4.6)
\psline(3.6,4.6)(8.4,5.2)
\psarc(3.6,3.6){1}{90}{170}
\psarc(5.2,3.8){1}{90}{170}
\psarc(6.8,4){1}{90}{170}
\psarc(8.4,4.2){1}{90}{170}
%\psline[linestyle=dashed](3.1,1.8)(7.4,2.2)
\psline(4.2,4)(4.2,2.2)(4.7,2)(4.7,3)
\psline(3.1,1.8)(3.1,2.8)
\psline(5.8,4)(5.8,2.4)(6.3,2.2)(6.3,3.2)
\psline(7.4,4.2)(7.4,2.6)(7.9,2.4)(7.9,3.4)
\psline(8.4,5.2)(8.4,2.2)(7.9,2.4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.6,3.8)(2.6,3.6)(7.4,4.2)(7.4,4.4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.6,3)(3.1,2.8)(7.9,3.4)(7.4,3.6)
\psline[linewidth=0.6pt]{|<->|}(8.6,2.2)(8.6,5.2)\uput[r](8.6,3.7){160}
\psline[linewidth=0.6pt]{|<->|}(2.6,1.8)(3.6,1.4)\uput[dl](3.1,1.6){80}
\psline[linewidth=0.6pt]{|<->|}(3.8,1.4)(8.6,2)\uput[dr](6.2,1.7){300}
\rput(3,1){échelle 1 / 20}\rput(7,1){Cotes données en cm}
\rput(2,5){protection latérale}\psline{->}(2,4.8)(3.8,3.4)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE 4}

\bigskip

\textbf{\large Partie 3 : question 2.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
nombre de matchs vus&4&\ldots&\ldots&11\\ \hline
tarif 1 (\euro)&\ldots&48&\ldots&\\ \hline
tarif 2 (\euro)&\ldots&\ldots&52&\ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\bigskip


\textbf{\large Partie 3 : question 3.}

\medskip

\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-10)(13,100)
\multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,100)}
\multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(13,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(13,100)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=green](0,60)(12,60)\rput(11.5,57){\green Tarif \no \ldots}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(12,96)\rput{39}(11.5,90){\blue Tarif \no \ldots}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,20)(12,68)\rput{22}(11.5,68){\red Tarif \no \ldots}
\uput[u](11.5,0){Nombre de matchs}\uput[r](0,97){Prix à payer (\euro)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}