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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet technologique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 1997}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet technologique
Métropole juin 1997~\decofourright}}

\medskip

\textbf{Dans la deuxième partie, les candidats traitent l'un des deux
exercices A ou B.}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\textbf{\large Première partie \hfill 12 points}
\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer les calculs suivants en faisant apparaître les étapes intermédiaires :

$A = 51 - 3 \times 15 + 4 \times (12 - 5)$,

$B = 2^2 + 3 \times \sqrt{36} - 0,4 \times 10^2$

$C = 7,5 \times 10^3 + 35 \times 10^{-2}$.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Résoudre l'équation suivante:

\[8x- (2x - 3) = 4x + 9.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

L'aire d'une sphère se calcule avec la relation : $S =4 \pi R^2$ où $R$ représente le
rayon.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire d'une sphère de 12 cm de rayon.
\item Calculer le rayon d'une sphère dont l'aire est égale à 764,15 cm$^2$ (arrondir à 0,1 cm).

Dans cet exercice prendre $\pi \approx 3,14$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Un cyclotouriste fait une sortie un dimanche matin. Il part à 7 heures 45 minutes et son compteur marque \np{12353}~km. Il revient à 11 heures 15 minutes et son compteur marque \np{12430}~km.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle distance a-t-il parcourue ?
\item Quel temps a-t-il mis ?
\item Quelle a été sa vitesse moyenne en km/h ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

Recopier et compléter la facture ci-dessous :

Le montant de la TVA sera arrondi au centime.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|m{2.25cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Temps 	&Quantité	& Désignation							&Prix unitaire hors taxe&Montant hors taxe\\ \hline
0,8 h	&			&\footnotesize Main-d'œuvre : dépose et pose démarreur&160 F		&\ldots\\ \hline
		&		1	&Démarreur								&840 F						&\ldots\\ \hline
&		&Petites fournitures&20 F	&\ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|l|X|}\hline
Total HT&\\ \hline
TVA 20,6\,\%&\\ \hline
Net à payer&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\textbf{\large Deuxième partie (au choix) A Géométrie\hfill 12 points}
\end{center}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
La figure ci-contre représente le logo d'une entreprise.

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.6,4.4)
\psframe(0.2,0.2)(6.4,4.2)
\psline(0.2,2.2)(6.4,2.2)
\pscircle(3.3,2.2){1.7}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=cyan](0.2,4.2)(3.3,2.2)(6.4,4.2)(5,2.2)(6.4,0.2)(3.3,2.2)(0.2,0.2)(1.6,2.2)
\pspolygon[fillstyle=hlines,hatchangle=0](0.22,4.2)(3.3,2.2)(6.4,4.2)(5,2.2)(6.4,0.2)(3.3,2.2)(0.2,0.2)(1.6,2.2)
\uput[ul](0.2,4.2){A} \uput[ur](6.4,4.2){B} \uput[dr](6.4,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D}
\uput[ul](1.5,2.2){I} \uput[ur](5.2,2.2){J} \uput[d](3.3,2.2){O}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Représenter ce logo à l'échelle $\dfrac{1}{10}$ en sachant que les dimensions
réelles sont : 

AB = 80~cm ; BC = 60~cm. Le rayon du cercle est OI = 20~cm.

On obtient la figure F{}.
\item Cette figure comporte des éléments de symétrie. Lesquels ?
\item Calculer la longueur réelle du segment [AC] puis celle du segment [AO].
\item Calculer l'aire réelle du triangle AOD et l'aire réelle du triangle AID.

En déduire l'aire réelle de la partie hachurée.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un triangle ABC tel que
AC = 6 cm ; $\widehat{\text{A}} = 55\degres$ ; $\widehat{\text{C}} = 70 \degres$.
\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{B}}$. En déduire la nature du triangle
ABC.
\item Construire la bissectrice de l'angle
$\widehat{\text{C}}$ ;  elle coupe le segment [AB] en
un point I.

Que représente le pointI pour le segment AB ? Justifier.
\item Donner la nature du triangle ACI. Justifier.
\item Dans le triangle ACI :
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $\cos \widehat{\text{A}}$.
		\item Calculer la longueur du segment [AI]. Arrondir au centième de cm.
		\item En déduire la longueur du segment [AB].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{\large Deuxième partie (au choix) B Statistiques \hfill 12 points}
\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Au mois de mai 1995 à Tours, on a relevé chaque jour la température maximale. Ce relevé est le suivant, les températures étant exprimées en degré Celsius.

$22\degres\,\,;\, 22\degres\,\,;\, 25\degres\,\,;\, 25\degres\,\,;\, 26,5\degres\,\,;\,27\degres\,\,;\,26,5\degres\,\,;\, 25\degres\,\,;\, 19\degres\,\,;\, 20\degres\,\,;\, 16,5\degres\,\,;\,
13\degres\,\,;\, 11 \degres\,\,;\, 15,5\degres\,\,;\,17\degres\,\,;\,14,5\degres\,\,;\, 17,5\degres\,\,;\, 14,5\degres\,\,;\, 16\degres\,\,;\,17,5\degres\,\,;\,19\degres\,\,;\, 22\degres\,\,;\,25\degres\,\,;\, 18\degres\,\,;\, 15\degres\,\,;\, 20\degres\,\,;\, 25,5\degres\,\,;\, 27,5\degres\,\,;\, 22,5\degres\,\,;\, 20\degres\,\,;\, 20\degres$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter après l'avoir recopié sur votre copie le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Température en $\degres C$&Nombre de jours\\ \hline
[11~;~14[&\\ \hline
[14~;~17[&\\ \hline
[17~;~20[&\\ \hline
[20~;~23[&\\ \hline
[23~;~26[&\\ \hline
[26~;~29[&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Combien y a-t-il de jours où la température est inférieure à $20\degres$C ?
\item Quelle est en pourcentage (arrondi à l'unité), la fréquence du nombre de jours où la température est supérieure ou égale à $23\degres$ C ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip 

Monsieur Bosquet a étudié la durée d'utilisation de $100$ machines. Il a relevé ses résultats dans le tableau donné ci-après.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire l'histogramme de cette série:

\begin{itemize}
\item en abscisse : 1 cm correspond à 1 année ;
\item en ordonnée : 1 cm correspond à 3 machines.
\end{itemize}

la durée effectifs sont
\item Compléter le tableau ci-dessous, calculer en années et mois la durée moyenne d'utilisation de ses machines (on admet que les effectifs sont affectés au centre des classes).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\small Durée d'utilisation (en années)&\small Nombre de machines $(n_i)$&\small Centre de classe ($x_i$)&\small Produit $x_in_i$\\ \hline
[0~;~2[&9&&\\ \hline
[2~;~4[&27&&\\ \hline
[4~;~6[&42&&\\ \hline
[6~;~8[&15&&\\ \hline
[8~;~10[&7&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{\large Troisième partie \quad Problème \hfill 12 points}
\end{center}

Dans un immeuble A, on répartit les charges de chauffage, suivant le barème ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Superficie des appartements (m$^2$)&70 & 85 & 110 & 120\\ \hline
Somme à payer (F)&\np{1750} &\np{2125} &\np{2750} & \np{3000}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la somme payée est proportionnelle à la superficie de chaque appartement.
\item On appelle $s$ la superficie d'un appartement, $p$ la somme à payer. Exprimer $p$ en fonction de $s$.
\item Dans un immeuble B, l'expression de la somme à payer $p$ en fonction de la superficie $s$ est : $p = 7,5 s + \np{1400}$.

Présenter sous forme d'un tableau les sommes à payer pour des appartements dont la superficie est : 70 m$^2$ ; 85 m$^2$  ; 110 m$^2$ ; 120 m$^2$. 
\item $x$ est un nombre réel compris entre 40 et 150 ; $f$ et $g$ deux fonctions de la variable $x$ telles que : $f(x) = 25x$ \quad ;\quad $g(x) = 7,5x + \np{1400}$.
Représenter sur le même graphique les Fonctions $f$ et $g$. 

Échelle : axe des abscisses : 1 cm pour 10 ;

\phantom{Échelle :} axe des ordonnées : 1 cm pour 200.
\item Utiliser votre graphique pour déterminer l'immeuble pour lequel le charges sont le moins élevées dans le cas d'un appartement de $75$ m$^2$ de superficie.
\item Résoudre l'équation: 
\[25x = 7,5x + \np{1400}. \]

Interpréter le résultat.
\end{enumerate}
\end{document}