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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%Tapuscrit Denis Vergès
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%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet technologique et professionnel},
%pdftitle = {Métropole gr. interacadémique II juin 2005},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet technologique}
\lfoot{\small{Métropole Groupement gr. interacadémique II}}
\rfoot{\small{juin 2005}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet technologique
 gr. interacadémique II~\decofourright\\[7pt]juin 2005}}

\textbf{Dans la deuxième partie, les candidats traitent l'un des deux
exercices A ou B.}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{\large Première partie \hfill 12 points}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer les calculs suivants en donnant les détails:

42 x 46
\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $A = \dfrac{1^2 \times 4^6}{4^5}$ ;
\item $B = \dfrac56 - \dfrac28$ (présenter le résultat sous forme de fraction irréductible) ;
\item $C = 6,4 \times 10^3 \times 1,2 \times 10^{-2}$ ;
\item $D = \dfrac{7 + (- 3)}{2} + \dfrac{6 - 8}{(-2)}$.
\end{itemize}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Une force a pour valeur $F = \np{101300} \times \pi \times 0,015^2$ newtons.
		
Calculer cette valeur arrondie au dixième.
		\item La pression atmosphérique $p$ vaut \np{101300} pascals.
		
Donner l'écriture scientifique de ce nombre.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Développer et réduire l'expression : $E = (3x - 2)(x + 4)$
		\item Développer et réduire l'expression : $G = (4x + 3)^2$
		\end{enumerate}	
\item \og Neuf milliards d'habitants en 2050 : le baby-boom planétaire se ralentit \fg{} et \og Une croissance
qui se stabilise \fg{} sont les phrases clés du journal \og La Nouvelle République \fg
de septembre 2004.

\psset{xunit=0.09cm,yunit=0.9cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-10,-0.2)(100,10)
\multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,9.5)}
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(100,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=1950,Dx=10](0,0)(0,0)(100,10)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=cyan](0,2.47)(10,2.99)(20,3.66)(30,4.4)(40,5.28)(50,6.13)(60,6.97)(70,7.85)(80,8.55)(90,9.18)(100,9.71)
\uput[r](0,9.9){en milliards}
\rput(53,9.9){\textbf{Une croissance qui se stabilise}}
\end{pspicture}
\end{center}

En utilisant le schéma ci-dessus, répondre aux questions suivantes :

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est, en milliard, la population en 1950 ?
		\item Quelle est, en milliard, la population en 2010 ?
		\item Calculer, en milliard, l'augmentation de la population entre 1950 et 2010.
		\item Calculer le pourcentage de cette augmentation par rapport à 1950.
		\item Si la population augmentait de 156\,\% entre 2004 et 2050, quelle serait la population en 2050 ?
		\item Le calcul confirme-t-il le titre de l'article ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\large Deuxième partie (au choix) Géométrie\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Les constructions demandées seront toutes réalisées sur l'annexe 1}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item Placer sur la demi-droite [A$x$) le point O tel que OA =  5 cm.
\item Tracer $\mathcal{C}$ le cercle de centre O et de rayon OA.
\item Placer le point B symétrique de A par rapport au point O.
\item Placer un point C sur le cercle $\mathcal{C}$ tel que $\widehat{\text{AOC}} = 70\degres$.
\item Quelle est la nature du triangle AOC ? Justifier.
\item Tracer la médiatrice de [AC]. Cette droite coupe [AC] en H.

Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{HOC}}$.
\item À l'aide de la formule du cosinus de l'angle $\widehat{\text{HOC}}$, calculer OH. Arrondir à 0,1.
\item En supposant que OH $= 4,1$ cm :
	\begin{enumerate}
		\item Calculer HC (arrondir au dixième) ;
		\item En déduire AC.
	\end{enumerate}
\item Tracer le triangle ABC. Quelle est sa nature ? Justifier.
\item Placer D symétrique de C par rapport à O. Tracer le quadrilatère ACBD. Quelle est sa nature ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\large Deuxième partie (au choix) Statistiques \hfill 12 points}
\end{center}

\textbf{Exercice 1}  L'âge des adhérents d'une association.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau de l'annexe 2 (à remettre avec la copie).
\item Construire l'histogramme des effectifs sur l'annexe 2.

Échelle : en abscisse : 1cm représente 10 ans

\phantom{Échelle : }en ordonnée : 1 cm représente 10 adhérents

\item Combien d'adhérents ont moins de 40 ans ?
\item Combien d'adhérents ont un âge égal ou supérieur à 60 ans ?
\item Quel est le pourcentage d'adhérents qui ont entre 20 et 60 ans ?
\item Calculer l'âge moyen des adhérents de l'association. Arrondir à l'unité.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2} Les dépenses de l'état

\medskip

Le projet de loi de finances pour 2004 prévoyait un total des dépenses de $280$
~milliards d'euros. Les dépenses des principaux postes budgétaires sont regroupées dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Poste budgétaire& éducation& défense& dettes& pensions& travail& autres& total\\ \hline
Montant (en milliard d'euros)& 66&& 40& 40 &32& 58& 280\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau de l'annexe 3 (à remettre avec la copie).
\item Représenter, sur l'annexe 3, un diagramme circulaire indiquant la répartition des postes budgétaires
du projet de loi de finances pour 2004 (ne pas oublier la légende).
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\large Troisième partie (obligatoire) Problème\hfill 12 points}
\end{center}

Un tailleur de pierre doit réaliser la sculpture monumentale représentée ci-dessous.

Elle est constituée d'une pyramide à base carrée posée sur un parallélépipède rectangle.

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-1)(7,5.2)
%\psgrid
\psframe(0.4,0.4)(2.2,2.2)
\psline(2.2,0.4)(3,1.1)(3,2.9)(2.2,2.2)
\psline[linestyle=dashed](3,2.9)(1.2,2.9)(0.4,2.2)
\psline[linestyle=dashed](3,1.1)(1.2,1.1)(0.4,0.4)
\psline(3,2.9)(1.7,5.1)(2.2,2.2)%pyramide
\psline(1.7,5.1)(0.4,2.2)
\psline[linestyle=dashed](1.7,5.1)(1.2,2.9)(1.2,1.1)
\rput(5.3,3.8){pyramide}
\rput(5.3,1.8){parallélépipède rectangle}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.4,0.2)(2.2,0.2)\uput[d](1.3,0.2){1,5 m}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.2,0.4)(0.2,5.1)\uput[l](0.2,2.75){3 m}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(2.4,0.4)(3.2,1.1)\uput[dr](2.8,0.75){1,5 m}
\rput(3.5,-0.6){Le dessin n'est pas à l'échelle}
\end{pspicture}
\end{center}

La hauteur totale de la sculpture est de 3 mètres et sa base est un carré de côté 1,5 m.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour une hauteur de la pyramide de 2 mètres, compléter, en détaillant les calculs, le tableau 1 de l'annexe 4 (à remettre avec la copie).

On rappelle : volume d'une pyramide : $V = \dfrac 13 \times$  aire de la base $\times$ hauteur.

Volume d'un parallélépipède rectangle : $V =$ aire de la base $\times$ hauteur.

\item On désigne par $x$ la hauteur de la pyramide.

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le volume $V_1$ de la pyramide, en fonction de $x$, s'exprime sous la forme $V_1 = 0,75x$.
		\item La hauteur totale de la sculpture étant de 3 mètres, exprimer, en fonction de $x$, la hauteur du parallélépipède.
		\item Montrer que le volume $V_2$ du parallélépipède, en fonction de $x$, s'exprime sous la forme 

$6,75 - 2,25x$.
	\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.26\linewidth}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(7,5.2)
%\psgrid
\psframe(0.4,0.4)(2.2,2.2)
\psline(2.2,0.4)(3,1.1)(3,2.9)(2.2,2.2)
\psline[linestyle=dashed](3,2.9)(1.2,2.9)(0.4,2.2)
\psline[linestyle=dashed](3,1.1)(1.2,1.1)(0.4,0.4)
\psline(3,2.9)(1.7,5.1)(2.2,2.2)%pyramide
\psline(1.7,5.1)(0.4,2.2)
\psline[linestyle=dashed](1.7,5.1)(1.2,2.9)(1.2,1.1)
%\rput(5,3.8){pyramide}
%\rput(5,1.8){parallélépipède rectangle}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.4,0.2)(2.2,0.2)\uput[d](1.3,0.2){1,5 m}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.2,0.4)(0.2,5.1)\uput[l](0.2,2.75){3 m}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(2.4,0.4)(3.2,1.1)\uput[dr](2.8,0.75){1,5 m}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(3.2,2.9)(3.2,5.1)\uput[dr](3.2,4){$x$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\item On considère les fonction $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0~;~3] par :

\[f(x) = 0,75x \qquad  \text{et} \qquad  g(x) =- 2,25x + 6,75\]

	\begin{enumerate}
		\item Les fonctions $f$ et $g$ sont-elles affines ou linéaires ? Justifier la réponse pour chacune d'elles.
		\item Compléter le tableau 2 de l'annexe 4.
		
Échelle : en abscisse : 2 cm pour une unité

\phantom{Échelle :} En ordonnée : 4 cm pour une unité
	\end{enumerate}
\item Déterminer graphiquement la valeur de x pour laquelle on af(x) =g(x). Laisser les tracés apparents.
\item Le sculpteur souhaite, pour des raisons d'esthétique, que les volumes de la pyramide et du parallélépipède soient égaux.
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation 0,75x = - 2,25x + 6,75.
		\item Comparer la solution de l'équation avec la valeur obtenue graphiquement.
		\item En déduire la hauteur de la pyramide pour laquelle les deux volumes sont égaux.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{Annexe 1}\end{center}

\bigskip

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture}(15,12)
\psline{|}(0.2,3)(14,0)
\uput[l](0.2,3){A}\uput[u](13.9,0){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage

\begin{center}\textbf{Annexe 2 STATISTIQUES} À rendre avec la copie\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 : Les âges des adhérents de l'association}

\textbf{a.} Tableau :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Âges&Effectifs $n_i$&Fréquence (\%)& Centre de classe  $x_i$& Produit $n_i \times x_i$\\ \hline
[0 ; 20[ 	&17	&	&&\\ \hline
[20; 40[	&	&	&&\\ \hline
[40; 60[	&105&	&&\\ \hline
[60; 80[	&45	&	&&\\ \hline
[80 ; 100[ 	&	8	&&&\\ \hline
Total &250	&	&\multicolumn{1}{|c|}{~}&\\ \cline{1-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{b.} Histogramme des effectifs

\psset{unit=0.6cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture}(18,14)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.025pt,gridcolor=cyan]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(18,14)
\uput[u](17,0){Âge}\uput[r](0,13.5){Effectifs}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}\textbf{Annexe 3 STATISTIQUES} À rendre avec la copie\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 : Les dépenses de l'état}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Poste budgétaire&\small éducation& défense& dettes& pensions& travail& autres& total\\ \hline
Montant (en milliard d'euros)& 66&& 40& 40 &32& 58& 280\\ \hline
Fréquence en \% (arrondie à 0,1)&&&&&&& 100\,\%\\ \hline
Mesure d'angle (arrondie au degré)&&&&&&&$360\degres$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


\bigskip

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
\pscircle(0,0){2.5}
\psline(2.5;90)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}\textbf{Annexe 4  À rendre avec la copie}\end{center}

\bigskip

Tableau 1 :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Hauteur de la sculpture (m)&Hauteur du parallélépipède (m)&Volume du paralléléripède (m)&Hauteur de la pyramide (m)&
Aire de la base carrée (m$^2$)&Volume de la pyramide (m$^3$)\\ \hline
3,00& 2,00&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

Tableau 2 :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{||l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$						&0 		&1 &2 		&2,5	& 3 \\ \hline
$f(x) =0,75 x$			&		&	&		&1,875	&\\ \hline
$g(x) = - 2,25x + 6,75$	&6,75	&	&2,25	&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


\medskip

\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{center}
\begin{pspicture}(14,15)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridcolor=cyan]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(14,15)
\uput[d](4,0){1}\uput[l](0,2){1}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}