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%Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet technologique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet technologique
Polynésie~\decofourright}}\\[7pt]
{\Large \textbf{septembre  2003}}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{Dans la deuxième partie, les candidats traitent l'un des deux
exercices.\\
(Géométrie ou statistiques).}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Première partie ACTIVITÉS NUMÉRIQUES  \hfill 12 points}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer en détaillant les étapes et écrire le résultat sous forme de fraction irréductible:

\[A = \dfrac35 - \dfrac1 {10}\qquad  B = \dfrac43 \times \dfrac89 \qquad C = \dfrac34 - \dfrac56 \times \dfrac32\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Écrire le nombre suivants sous la forme $a\sqrt 3$ , $a$ étant un entier.

\[D = 5\sqrt{27} - 2\sqrt{75} + 3\sqrt 3.\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $F = (3x - 5) (2x + 1)$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $F$
\item Calculer $F$ pour $x = 1$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Un écran plasma coûtait \np{180000} FCP. Une réduction de 15\,\% est annoncée sur ce produit, Jean décide alors d'acheter cet écran.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien va t-il payer son écran plasma ?

Un peu plus tard dans la journée, il rencontre son ami Rainui qui lui aussi a acheté un écran plasma. Il a payé \np{180 000} FCP au lieu de \np{210000} FCP.
\item Calculer le pourcentage de la réduction, en arrondissant au dixième.
\item Qui de Jean et de Rainui a obtenu le meilleur pourcentage de réduction ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{\large Deuxième partie (au choix) STATISTIQUES  \hfill 12 points}
\end{center}

\medskip

On a regardé les hauteurs de houle du 4 mars au 17 mars pour les plages de Papara et de la Papeeno.

Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1cm}|m{2cm}|*{14}{>{\centering \arraybackslash }X|}}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{jour du mois de mars}&4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11& 12 &13 &14 &15 &16 &17 \\ \hline
\multirow{2}{1.5cm}{\small hauteur de hou\-le (en m)}&plage de Pappeno &1,5& 1& 1& 1& 1,5& 1,5& 2& 1,5& 1& 0,5& 0,5 &1 &1& 1\\ \cline{2-16}
&plage de Papara &1,5 &2 &2 &1,5 &1 &1 &1,5 &2 &2,5 &2,5 &2,5 &2 &1,5 &1,5\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item À partir des données ci dessus, recopier puis compléter le tableau ci-dessous, pour la plage de Papeeno . On arrondira la fréquence à l'unité.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash }X|}}\hline
Hauteur de houle& 0,5 m& 1 m& 1,5 m& 2 m& 2,5 m\\ \hline
Nombre de jours à Papeeno&&&&&\\ \hline
Fréquence en \,\% à Papeeno&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item À partir des données ci dessus, recopier puis compléter le tableau ci-dessous, pour la plage de Papara .On arrondira la fréquence à l'unité.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash }X|}}\hline
Hauteur de houle& 0,5 m& 1 m& 1,5 m& 2 m& 2,5 m\\ \hline
Nombre de jours à Papara&&&&&\\ \hline
Fréquence en \,\% à Papara&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Construire un diagramme en bâtons représentant le nombre de jours de houle en fonction de la hauteur.

En abscisse on prendra : 2 cm pour 0,5 m de houle.

En ordonnée on prendra : 1 cm par jour.

Dans le même repère, vous dessinerez en vert les bâtons correspondants à la plage de la Papeeno, et en rouge les bâtons correspondants à la plage de Papara.
\item Pour chaque plage, donner le pourcentage de houle supérieur ou égale à 1,5 m.

Vaiarii est un bon surfeur, sur quelle plage doit-il aller, à cette période, pour avoir le plus de 
 chance de trouver des vagues d'au moins 1,5 m ?
\item Pour chaque plage, donner le pourcentage de houle inférieur ou égale à 1 m. 

Jean veut emmener son fils qui débute le surf. Sur quelle plage doit-il aller, à cette période,
pour avoir le plus de chance de trouver de petites vagues ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{\large Deuxième partie (au choix) GÉOMÉTRIE  \hfill 12 points}
\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sur le quadrillage ci-dessous, on a représenté une (cocotte) en noir.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire en bleu C1, le symétrique de C par rapport à la droite $(d)$.
\item Construire en vert C2, le symétrique de C par rapport au point L.
\item Construire en noir C3, le translaté de C par la translation qui envoie le point H en M.
\item Construire en rouge C4, l'image de C par la rotation de centre O, d'angle $90\degres$ et de sens celui des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(26,20)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.8](5,10)(10,7)(14,5)
\uput[ul](5,10){O}\uput[dl](10,7){L}\uput[dl](14,5){M}\uput[l](17,19){$(d)$}
\uput[ul](12,14){H}\uput[u](13.5,14){(C)}
\pspolygon*(10,10)(12,10)(13,11)(14,10)(14,12)(13,13)(14,14)(12,14)(12,12)
\psline[linewidth=1.3pt](17,0)(17,20)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

L'unité de longueur est le centimètre ; l'unité d'aire est le centimètre carré. On considère la figure ci-dessous.

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Le triangle ABC est rectangle en A, AB $= 3,6$ et BC $= 6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\sin \widehat{\text{ACB}}$.

En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ ( on donnera l'arrondi au degré)
\item En utilisant le théorème de Pythagore, calculer la longueur AC.
\item  Calculer l'aire du triangle ABC.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.37\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(6,4.2)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,4)(6,1.4)(1.4,0)%BCA
\uput[u](0.2,4){B}\uput[r](6,1.4){C}\uput[d](1.4,0){A}
%\pscircle(3.1,2.7){3.178}
\rput{18}(1.4,0){\psframe(0.3,0.3)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\newpage

\begin{center} \textbf{\large Troisième partie PROBLÈME  \hfill 12 points}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que 

AB $= 8$ cm ; BC $= 6$ cm et la hauteur AE $= 12$ cm.

Le point M est situé sur l'arête [CG] et on a : CM $= 7$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du triangle rectangle DAC

On rappelle la formule de l'aire d'un triangle rectangle
A $= \dfrac{\text{Longueur} \times \text{largeur}}{ 2}$
\item Calculer le volume $V_1$ de la pyramide MADC.

On rappelle la formule du volume d'une pyramide $V = \dfrac{\text{Aire de la base} \times  \text{Hauteur}}
{3}$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.37\linewidth}
\psset{unit=0.95cm}
\begin{pspicture}(5.6,7.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.2,0.7)(1.5,0.4)(5,0.6)(3.7,3.9)%HEFM
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.2,6.5)(1.5,6.2)(3.7,3.9)%DAM
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.2,6.5)(1.5,6.2)(3.7,6.7)%DAC
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.5,6.2)(3.7,3.9)(3.7,6.7)%AMC
\pspolygon(0.2,6.5)(1.5,6.2)(5,6.4)(3.7,6.7)%DABC
\psline(0.2,6.5)(0.2,0.7)(1.5,0.4)(1.5,6.2)%DHEA
\psline(1.5,0.4)(5,0.6)(5,6.4)%EFB
\uput[dl](1.5,6.2){A} \uput[ur](5,6.4){B} \uput[u](3.7,6.7){C} \uput[ul](0.2,6.5){D}
\uput[d](1.5,0.4){E} \uput[dr](5,0.6){F} \uput[ur](3.7,0.9){G} \uput[dl](0.2,0.7){H}
\uput[r](3.7,3.9){M}
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.7)(3.7,0.9)(5,0.6)%HGF
\psline[linestyle=dashed](3.7,6.7)(3.7,0.9)%CG

\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[start=3]
\item Calculer la longueur GM, puis calculer le volume $V_2$ de la pyramide MEFGH.
\item On remplit complètement la partie haute MADC du sablier avec du sable.

Lorsque le sable aura finit de s'écouler, la partie basse MEFGH sera t-elle pleine ?

Et si non quel volume restera t-il ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

On suppose maintenant que le point est situé n'importe où sur le segment [CG]. On pose donc la hauteur CM $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le volume $V_1= 8x$.
\item Exprimer la longueur GM en fonction de $x$ . Utiliser ce résultat pour montrer que le volume $V_2 = 192 - 16x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

Sur du papier millimétré, on prendra un repère orthogonal (0, 1 , J) avec comme unités :

\begin{itemize}
\item en abscisse : 1 cm pour 1 unité
\item 		en ordonnée : 1 cm pour 10 unités
\end{itemize}

Soit deux fonctions : $V_1(x) = 8 x$ et $V_2(x) = 192 - 16x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comment s'appelle chacune de ces fonctions ?
\item Pour des valeurs de $x$ comprises entre 0 et 12, représenter graphiquement les fonctions $V_1(x)$ et $V_2(x)$.
\item En regardant sur le graphique, pour quelle valeur de x a-t-on VI (x) = V2 (x) ? Tracer les pointillés qui justifient votre réponse
\item Résoudre l'équation $192 - 16x = 8x$. Quel résultat doit on retrouver ?
\item Par rapport au problème du sablier, en déduire pour quelle position du point M on a le volume $V_1$ de la partie haute égale au volume $V_2$ de la partie basse. Quel est alors ce volume ?
\end{enumerate}
\end{document}