\documentclass[10pt]{article} 
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{amsmath,amssymb} 
\usepackage[normalem]{ulem} 
\usepackage{fancybox}  
\usepackage{pifont}
\usepackage{tabularx} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}} 
\usepackage{ulem} 
\usepackage{pstricks,pst-plot} 
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 
\setlength\paperheight{297mm} 
\setlength\paperwidth{210mm} 
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Centres étrangers Nice  juin 2009},
allbordercolors = white}   
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet  des collèges}
\lfoot{\small{Centres étrangers Nice}} 
\rfoot{\small{juin 2007}} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2007 \decofourright\\ 
Centres étrangers Nice}} \end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On considère les nombres :

\[\text{A} = \dfrac{11}{8} + \dfrac{7}{8} \times \dfrac{2}{7}\quad ; \quad\text{B} = \dfrac{3 \times 10^2 \times 5 \times 10^4}{12 \times \left(10^3\right)^3}\quad ; \quad
\text{C} = \left(\sqrt{5} + \sqrt{10}\right)^2.\]

En précisant les différentes étapes du calcul :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  écrire A sous la forme d'une fraction irréductible.
\item  donner l'écriture scientifique de B.
\item  écrire C sous la forme $a + b\sqrt{2},~ a$ et $b$ étant des nombres entiers.
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne :

\[D = 9x^2 - 4 + (3x - 2) (x - 3).\]

\begin{enumerate}
\item  Développer et réduire $D$.
\item  Factoriser $9x^2 - 4$ et en déduire la factorisation de $D$.
\item  Résoudre l'équation $(3x - 2) (4x - 1) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer par la méthode de votre choix et en détaillant les différentes étapes le PGCD de $144$ et $252$.
\item  Une association organise une compétition sportive ; $144$ filles et $252$ garçons se sont inscrits.

L'association désire répartir les inscrits en équipes mixtes. Le nombre de filles doit être le même dans chaque équipe, le nombre de garçons doit être le même dans chaque équipe. Tous les inscrits doivent être dans une des équipes.
	\begin{enumerate}
		\item  Quel est le nombre maximum d'équipes que cette association peut former ?
		\item  Quelle est alors la composition de chaque équipe ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Activités géométriques }\hfill 12 points}

\bigskip 

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.4\textwidth}{\emph{La figure ci-contre n'est pas
	réalisée en vraie grandeur}

Les points A, E et C sont alignés, ainsi que les points B, E et D.} \hfill 
\parbox{0.5\textwidth}{\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture}(7,3)
\uput[ul](0.8,2.8){A} \uput[dl](0.7,0.3){B} \uput[dr](6.5,0){C} \uput[ur](6.6,2.5){D} \uput[u](3.65,1.4){E}
\pspolygon(0.8,2.8)(0.7,0.3)(6.6,2.5)(6.5,0) 
\end{pspicture}}

\medskip

AE = 7,2 cm ; EC = 5,4 cm ; ED 7,5 =  cm et BE =  10 cm.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que les droites 
(AB) et (CD) sont parallèles.	
\item  Sachant que CD =  6,3~cm, calculer AB.	
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\emph{La figure ci-dessous n'est pas réalisée en vraie grandeur.}

Les points R, P et E sont alignés ainsi que les points A, P et M.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\uput[dl](0.6,1){A} \uput[ul](0.6,2.4){R} \uput[ur](4.3,1){P} 
\uput[ur](7.3,1){M} \uput[r](7.3,0){E}
\pspolygon(0.6,1)(0.6,2.4)(7.3,0)(7.3,1)
\end{pspicture} \end{center}

\begin{enumerate}
\item  PAR est un triangle  rectangle en A ; on  donne AR = 2~cm et RP = 4~cm.

Calculer AP et l'exprimer sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont  des entiers.
\item Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{RPA}}$.
\item  Expliquer pourquoi les angles $\widehat{\text{RPA}}$ et $\widehat{\text{MPE}}$ ont la même mesure.
\item  PME est un triangle rectangle en M. On donne ME =  3~cm. Calculer PM à $1$ près.
\end{enumerate}	

\bigskip 

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; I,  J), unité $1$ cm.

ABCD est un carré de centre M (figure ci-dessous).

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-7,-4)(3,8)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-7,-4)(3,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-7,-4)(3,8)
\pspolygon(2,4)(-4,6)(-6,0)(0,-2)
\uput[ur](2,4){A} \uput[ul](-4,6){B} \uput[dl](-6,0){C} 
\uput[dr](0,-2){D} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){I} 
\uput[l](0,1){J} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Placer le point M.
\item  Lire et donner les coordonnées des points B et C.
\item  Construire le point P tel que $\vect{\text{MC}} + \vect{\text{MC}} =  \vect{\text{MP}}$.
\item  Répondre aux questions suivantes sans justifier.
\begin{enumerate}
\item  Quel est le symétrique du triangle ABM par rapport à la droite (AC) ?
\item  Quelle est l'image du triangle ABM par la translation de vecteur $\vect{\text{AD}}$ ?
\item  Quelle est l'image du triangle ABM par la rotation de centre M d'angle
$90\degres$, qui transforme D en C  ?
\item  Donner une transformation dans laquelle le triangle ABM a pour
	image le triangle CDM.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip
 
Au cours d'une embauche pour la cueillette des pêches, un ouvrier agricole a le choix entre trois formules de salaire :

\textbf{Formule A :} un salaire mensuel de $930$~\euro,

\textbf{Formule B :} une somme mensuelle de $310$~\euro{} à laquelle s'ajoutent $40$~\euro{} par tonne de pêches cueillies,

\textbf{Formule C :} un salaire basé uniquement sur la cueillette, $80$~\euro{} par tonne	de pêches cueillies.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*3{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de tonnes de pêches cueillies 	dans un mois&$5$&	$11$&$15$\\ \hline
Salaire mensuel en euros avec la formule A&&&\\ \hline
Salaire mensuel en euros avec la formule B&&& \\ \hline
Salaire mensuel en euros avec la formule C&&& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Si l'en appelle $x$ la quantité de pêches récoltées en tonnes, exprimer le salaire correspondant à chaque formule. 
\item  Représenter graphiquement dans un repère orthogonal (on utilisera du papier millimétré) les fonctions définies par 

\[f(x) =  930~~;~~ g(x) =  310 + 40x~~;~~h(x) =  80x.\]

On choisira comme unités :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  1~cm pour une tonne sur l'axe des abscisses ;
\item[$\bullet~$] 1~cm pour $100$~\euro{} sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Sachant que pour un mois donné, cet ouvrier agricole gagnerait le même salaire avec les formules B et C, lire sur le graphique la quantité de pêches récoltées en tonnes (on laissera apparents les pointillés aidant à la lecture).

Donner une valeur approchée du résultat. 
		\item  Répondre par le calcul à la question précédente et donner le résultat exact.
	\end{enumerate}
\item  Par lecture graphique, préciser la formule la plus avantageuse pour l'ouvrier s'il espère cueillir $13$ tonnes dans le mois (on laissera apparents les pointillés aidant à la lecture).

Quel serait alors son salaire ?
\end{enumerate}
\end{document} 