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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet  des collèges}
\lfoot{\small{Centres étrangers Lyon}} 
\rfoot{\small{juin 2007}} 
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Diplôme national du brevet juin 2007 \decofourright\\ 
Centres étrangers Lyon }} \end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Activités numériques }\hfill 12 points} 

\bigskip 

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Donner l'écriture scientifique du nombre A  : 

	\[\text{A} = \dfrac{500 \times  \left(10^{-3}\right)^2  \times 2,4 \times 10^7}{8 \times 10^{-4}}.\]
	
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le PGCD de 854 et de \np{1610}.
		\item  Donner la fraction irréductible égale à $\dfrac{854}{\np{1610}.}$.
	\end{enumerate}
\item  Calculer le nombre B et donner le résultat sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est
un nombre entier relatif : 

\[\text{B} = -3\sqrt{27}  + \sqrt{75} - 2\sqrt{108}.\]
	
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\emph{Pour chaque question, écrire la lettre correspondant à la bonne, réponse.}

\emph{Aucune justification n'est demandée.}
 
\emph{Le candidat obtiendra $1$ point par réponse juste, perdra $0,5$ point par réponse fausse, n'obtiendra pas de point en l'absence de réponse.}
  
\emph{Le score du candidat ne peut pas être négatif}
   
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\Numero&	\multicolumn{1}{c|}{Question}&	A&	B&	C&	D\\   \hline
1&	Pour $x = 2\sqrt{5}$, l'expression $x^2~+~2x~+~1$ vaut	&\rule[1mm]{0mm}{5mm}$25\sqrt{5}$&	$24\sqrt{5} + 1$& $21 + 4 \sqrt{5}$&$13\sqrt{5}$\\   \hline
2&	L'équation $2x-7 = 5x + 8$ a pour		solution& $-\dfrac{1}{3}$&	$5$&	$\dfrac{1}{3}$&$-5$\\   \hline
3&	$\sqrt{18}$ a pour valeur exacte&	\rule[-1mm]{0mm}{5mm} $9$&	$4,24$&	$9\sqrt{2}$&	$3\sqrt{2}$\\   \hline
4&	La fonction linéaire $f$ telle  que $f(5) = 3$	a pour coefficient&\rule[1mm]{0mm}{5mm} $\dfrac{5}{3}$&$\dfrac{3}{5}$&	$8$&	$2$\\   \hline 
\end{tabularx}

\bigskip 

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre le système  :	$\left\{\begin{array}{l c l}
 2x + 3y &=&27\\ 
4x +  y &=& 24\\
 \end{array} \right.$
\item  On considère un parallélépipède rectangle. Si on prend le double
de sa largeur et que l'on ajoute le triple de sa longueur, on trouve $27$~cm.

Si on prend le quadruple de sa largeur et que l'on ajoute sa longueur, on trouve $24$~cm. 

Déterminer la largeur et la longueur de ce parallélépipède rectangle.  
\item  Sachant que le volume du parallélépipède rectangle est $54$~cm$^3$, déterminer sa hauteur.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Activités géométriques }\hfill 12 points}

\bigskip 

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
On considère un repère orthonormé (O ;  I,  J). L'unité de longueur est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Placer les points
\[\text{A}(3~;~ 7),~ \text{B}(- 1~;~2)~ \text{et}~ \text{C}(7~;~2)\]
\item  Démontrer que le triangle ABC est isocèle de sommet principal A.
\item  Suit A$'$ le milieu du segment [BC]. Calculer les coordonnées de A$'$.
\item  Placer le point D tel que $\vect{\text{CD}} = \vect{\text{AB}}$. 

Que peut-on dire dire du quadrilatère ABDC ? Justifier la réponse.
\item  Montrer que A$'$ est le milieu du segment [AD].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item  Tracer un cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [BC] tel que BC = 10~cm. Placer un
point A appartenant au cercle $\mathcal{C}$ tel que AB =  8~cm.
\item  Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier la réponse.
\item  Calculer la longueur AC.
\item  Déterminer une valeur approchée, au degré près de l'angle	$\widehat{\text{ABC}}$.
\item  Placer  le point O du segment [BC] tel que BO =  $2$~cm.

Tracer la parallèle à la droite (AC) passant par B qui coupe la droite (AO) en D.

Calculer la longueur BD.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\bigskip

La  chaîne de télévision France Direct 1 décide d'organiser un concours de la meilleure femme Disque Jockey (DJ). Puisque les téléspectateurs vont pouvoir voter pour la meilleure candidate grâce à l'envoi de mini-
messages (SMS) pour cette grande soirée retransmise en direct, la chaîne a décidé de s'associer à trois sociétés de  téléphone. Ces dernières proposent un tarif spécial pour ce soir-là :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Société Pamplemousse : un forfait de 9~\euro{} et 0,15~\euro{} par SMS ;
\item[$\bullet~$] Société Triangle vert :  0,30~\euro{} par SMS ;
\item[$\bullet~$] Société Brique Mobile :  21~\euro{} pour un nombre de SMS illimité.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le temps de vote est fixé à $30$~minutes. Sachant qu'il faut 15 secondes
pour écrire un SMS et l'envoyer, combien de messages au maximum
pourra envoyer un téléspectateur pendant le temps de vote ?
\item  On suppose qu'un téléspectateur envoie 50 SMS pendant le temps de vote. Compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Société						&Pamplemousse	& Triangle Vert	&Brique Mobile  \\ \hline
Coût, en euros, pour 50 SMS	&				&				&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Ou appelle $x$ le sombre de SMS envoyés par un téléspectateur.

On note $P(x)$ le coût pour $x$ SMS s'il choisit la société Pamplemousse, $T(x)$ le coût pour $x$ SMS s'il choisit la société Triangle vert et $B(x)$ le coût pour $x$ SMS s'il choisit la société Brique Mobile.

Exprimer $P(x), ~T(x)$ et $B(x)$ en fonction de $x$.
\item  Dans un repère orthogonal, on prend les unités suivantes :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses, $1$~cm représente 10~SMS ;
\item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées $1$~cm  représente $3$~\euro.
\end{itemize}
 On placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille.
 
Tracer les représentations graphiques des fonctions $f,~ g$ et  $h$ définies, pour tout nombre $x$, par :

\[	f(x) = 0,15x + 9~~;~~ g(x) =  0,30x~~ \text{et}~~ h(x) = 21. \]

\item  \emph{Dans cette partie, on répondra aux différentes questions en utilisant le graphique et en faisant apparaître les tracés nécessaires.}
	\begin{enumerate}
		\item  À partir de combien de SMS, la proposition de la société Brique Mobile
devient-elle intéressante ?
		\item Les parents d'Arthur lui donnent 15~\euro{} pour la soirée.  Étant un fan de
DJ Carmen, Arthur  veut envoyer pour elle un maximum de SMS pendant la soirée.

Indiquer quelle société il devra choisir et combien de SMS il pourra
envoyer.
	\end{enumerate}
\item  Le vote est terminé, Les trois concurrentes DJ Carmen, DJ Desdémone et DJ Elvira attendent les résultats. \np{724560} SMS ont été reçus. DJ Carmen l'emporte avec 60\:\% des voix.

Donner une valeur arrondie à l'unité du nombre de SMS envoyés par seconde pour DJ Carmen.
\end{enumerate}
\end{document} 