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%Tapuscrit : Denis Vergés
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\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien hôtellerie}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{9 septembre 2015}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie ~\decofourright\\Métropole--La Réunion 9 septembre 2015}}

\vspace{0,25cm}
 
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Des élèves d'une classe de terminale ont fait une étude statistique sur \np{1600} habitants d'une ville et leur ont posé la question suivante: \og Dans quel type de restaurant préférez-vous déjeuner? \fg

Trois réponses leur étaient proposées : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item \og dans un restaurant gastronomique \fg
\item \og dans la restauration rapide \fg
\item \og dans une brasserie \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On a relevé les données suivantes :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item \np{1200} habitants interrogés sont âgés de 30 ans ou plus.
\item 45\,\% des habitants interrogés ont répondu \og dans la restauration rapide \fg.
\item 120 habitants interrogés préfèrent déjeuner \og dans un restaurant gastronomique \fg.
\item 25\,\% des habitants interrogés de moins de 30 ans préfèrent déjeuner \og dans une brasserie \fg.
\item 80 habitants interrogés ayant 30 ans ou plus préfèrent déjeuner \og dans un restaurant
gastronomique \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide des informations ci-dessus, compléter le tableau fourni en \textbf{annexe (à rendre avec la copie)}.
\item Les élèves de cette classe de terminale ont créé une fiche pour chacun des \np{1600} habitants interrogés, comportant son âge et sa préférence.

On sélectionne une fiche au hasard, chaque fiche ayant la même probabilité d'être choisie.

Déterminer les probabilités des évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item $G$ : \og La fiche est celle d'un habitant interrogé préférant déjeuner dans un restaurant
gastronomique \fg{} ;
\item $M$ : \og La fiche est celle d'un habitant interrogé ayant moins de 30 ans \fg{} ;
\item $A$ : \og La fiche est celle d'un habitant interrogé ayant moins de 30 ans et préférant déjeuner dans un établissement de la restauration gastronomique \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\item Définir par une phrase les évènements $\overline{M}$ et $G \cup M$ puis calculer leur probabilité.
\item \textbf{On choisit une fiche correspondant à un habitant interrogé ayant 30 ans ou plus}.

On admet que chacune de ces fiches a la même probabilité d'être prélevée.

Calculer la probabilité $p$ de l'évènement suivant:
\og La fiche est celle d'un client préférant déjeuner dans un restaurant gastronomique \fg.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

Un restaurateur effectue une étude de marché dans une ville dans l'intention d'installer un
établissement proposant le soir un \og grand buffet à volonté \fg. Selon la nature des mets proposés dans ce buffet il envisage de fixer des tarifs allant de 15 à 35 euros. Son objectif est de fixer un tarif qui lui permettra de réaliser un bénéfice maximal lors de ce service.

À l'issue de cette étude, il dispose du tableau ci-dessous qui lui donne le nombre de couverts
potentiels pour le service du soir en fonction du tarif qu'il aura proposé.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Tarif (en \euro) : $x_i$	& 15 &17 &20 &22,5	& 25 &30 &35\\ \hline
Nombre de couverts : $y_i$	& 500&350&270&190	&140 &75 &50\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement dans le repère fourni en annexe (à rendre avec la copie) le nuage de points associé à cette série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$.
\item Compte tenu de l'allure de ce nuage, on choisit de réaliser un ajustement de cette série par la courbe $C$ représentée dans le même repère, où $C$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [15~;~35] par : 

\[f(x) = \np{2639}\text{e}^{- 0,116x}.\]

On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle [15~;~35] et on note $f'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [15~;~35].
		\item On remarque sur le graphique que la fonction est décroissante sur l'intervalle [15~;~ 35].
		
Le prouver par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que la fonction $f$ permet de modéliser le nombre de couverts pour le service du soir en
fonction du tarif, noté $x$, fixé par le restaurateur ($x$ appartenant à l'intervalle [15~;~35]).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le restaurateur estime que, si moins de 100 couverts sont servis, son restaurant ne sera pas
rentable.

Par lecture graphique, indiquer le prix maximum que le restaurateur doit fixer pour son buffet pour assurer la rentabilité de son restaurant.

\emph{On laissera apparents les traits de construction}.
\item  Pour ce grand buffet, le \textbf{prix de revient} de chaque couvert est de 12~\euro.

\textbf{On rappelle qu'une estimation du nombre de couverts pour un service du soir est donnée
par l'expression : \boldmath $\np{2639}\text{e}^{- 0,116x}$ \unboldmath, lorsque le tarif est fixé à \boldmath $x$ \unboldmath\euro} .
	\begin{enumerate}


		\item Dans cette question, le tarif est fixé à 24~\euro.
		
En indiquant les calculs, expliquer pourquoi:
		
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item le nombre de couverts est estimé à $163$ ;
\item le prix de revient d'un service du soir est d'environ \np{1956}~\euro ;
\item le chiffre d'affaires réalisé au cours du service du soir est d'environ \np{3912}~\euro.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
		\item Le tarif étant maintenant fixé à $x$~\euro, exprimer en fonction de $x$ :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item le prix de revient $R(x)$ d'un service du soir ;
\item le chiffre d'affaires $C(x)$ réalisé au cours du service du soir ;
\item le bénéfice réalisé au cours du service du soir.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 	\end{enumerate}
\item  \emph{Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation}
	
\medskip

On admet que le bénéfice d'un service du soir est donné par la fonction $B$ définie pour tout $x$ de l'intervalle [15~;~35] par : 

\[B(x) = \np{2639}(x - 12)\text{e}^{- 0,116x}.\]

On admet également que la fonction $B$ est dérivable sur l'intervalle [15~;~35] et que sa fonction dérivée $B'$ est définie par : 

$B'(x) = \np{2639}(2,392 - 0,116x)\text{e}^{- 0,116x}$.

Quel tarif le restaurateur doit-il fixer pour réaliser un bénéfice maximum lors du service du soir ? Présenter une réponse argumentée.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

{\large \textbf{Annexe à rendre avec la copie}}

\vspace{2cm}

\textbf{EXERCICE 1 :} tableau à compléter

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
Habitants interrogés	&Restaurant gastronomique	&Restauration rapide&Brasserie	& Total
\\ \hline
Moins de 30 ans			&							&					&			&\\ \hline
30 ans ou plus			&							&					&			&\\ \hline
Total					&							&					&			& \np{1600}
\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{EXERCICE 2 :} nuage de points et courbe de la fonction $f$

\vspace{1cm}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.02cm}
\begin{pspicture}(-1,-25)(22,525)
\multido{\n=0+1}{23}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,525)}
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\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=14,Dy=25]{->}(0,0)(0,0)(22,525)
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\end{pspicture}
\end{center}
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