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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat Hôtellerie -- Métropole--juin 2011~\decofourright}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

Cet exercice a pour but d'étudier l'évolution du nombre de bactéries au cours du temps dans une situation de nature expérimentale.

\medskip
 
On dépose un morceau de viande sur un comptoir l'été à 14~h~00, la température avoisine les 35\degres~C. Ce morceau de viande contient 100 bactéries, et dans ces conditions, le nombre de bactéries double toutes les 15 minutes.
 
On note $u_{0}$ le nombre de bactéries à 14~h~00, $u_{1}$ le nombre de bactéries à 14~h~15, $u_{2}$ le nombre de bactéries à 14~h~30, et $u_{n}$ le nombre de bactéries $n$ quarts d'heure après 14~h~00, $n$ étant un entier naturel.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant (on suppose que les conditions ne changent pas durant tout le temps de l'expérience) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.6cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Heure 		&14 h 00&14 h 15&14 h 30&14 h 45&15 h 00\\ \hline 
Rang : $n$	& 0 	&1 		&2 		&3 		&4\\ \hline 
Nombre de bactéries $u_{n}$& 100&	&	&	&\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 

\item Si $u_{n}$ est le nombre de bactéries à un moment déterminé, $u_{n+1}$ correspond au nombre de bactéries 15~minutes plus tard.
 
Quelle est la relation entre $u_{n}$ et $u_{n+1}$ ? 
\item Préciser la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie précédemment et sa raison. 
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Calculer le nombre de bactéries à 17 h 00. 
\item On estime qu'à partir de \np{150000}~bactéries présentes dans un aliment, celui-ci a atteint un niveau impropre à la consommation pour l'être humain.
 
Jusqu'à quelle heure, arrondie au quart d'heure, l'être humain peut-il consommer sans risque le morceau de viande ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

\medskip

Un restaurateur voudrait maintenant faire une étude sur le coût unitaire de fabrication d'un menu proposé dans sa carte.

\medskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~30] par : 

\[f(x) = x + 50 -18\ln x.\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et montrer que la dérivée est $f'(x) = \dfrac{x -18}{x}$. 
\item  Etudier le signe de la dérivée sur l'intervalle [1~;~30]. 
\item  En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~30]. 
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant : (on arrondira les résultats à $10^{-2}$ près).
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$&1 &5 &10 &15 &18 &20 &25 &30\\ \hline
$f(x)$&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthonormal : 

Unités graphiques : 1~cm pour 2~unités sur les deux axes.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip

Le coût total de fabrication de $x$ menus \textbf{en euros}, est donné par la fonction :
 
\[g(x) = x^2 + 50x - 18x \ln x\quad  \text{où}\,\,  x\:\: \text{est le nombre de menus fabriqués.}\]
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le coût unitaire d'un menu est égal à $f(x)$. 
\item Déterminer alors le nombre de menus qu'il faut servir pour que le coût unitaire soit minimal. Quel est ce coût ? 
\item Un menu est vendu 30~\euro. Combien faut-il vendre de menus pour ne pas être en déficit ?

 Faire apparaître les traits de construction sur le graphique et répondre à la question. 

\end{enumerate}
\end{document}