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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien hôtellerie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
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\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie Métropole~\decofourright\\septembre 2011}}

\vspace{0,25cm}
 
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Le restaurant \og La fourchette dorée \fg{} propose la formule suivante : 

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|}\hline
Menu à 21~\euro{} (Entrée / Plat / Dessert) \\
*** \\
Assiette de charcuterie \\
ou \\
Soupe chaude du jour\\ 
*** \\
Poulet basquaise \\
ou\\ 
B{\oe}uf aux petits légumes\\ 
ou\\ 
Poisson à la bordelaise\\ 
***\\ 
Marquise au chocolat\\
ou\\
Moelleux aux fruits \\
\hline
\end{tabular}

\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide d'un arbre, le nombre de menus différents que l'on peut obtenir. 
\item On suppose que chacun des menus a la même probabilité d'être choisi par un client. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité $p_{1}$ qu'un client choisisse un menu avec de la viande en plat principal? 
		\item Quelle est la probabilité $p_{2}$ que le menu servi soit composé de charcuterie et d'un moelleux aux fruits?
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, le client choisit la soupe du jour en entrée. 

Quel est, dans ce cas, le nombre de menus possibles ?
 
Quelle est, alors, la probabilité $p_{3}$ qu'il choisisse du poisson comme plat principal ? 

(On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible). 
\item Le chef décide de retirer la soupe et de rajouter un dessert. Y aura-t-il plus de choix de menus pour le client ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes.} \end{center} 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip


Un traiteur vient de s'installer dans un petit village. Les six premiers mois, il note le nombre de clients servis, en moyenne, par jour.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3,5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
Mois 							&Janvier 	&Février&Mars 	&Avril 	&Mai&Juin\\ \hline 
Rang $x_{i}$					&1 			&2 		&3 		&4 		&5 	&6\\ \hline 
Nombre de clients servis $y_{i}$&4 			&5 		&9 		&16		&27 &35\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique, dans un repère orthogonal d'unités graphiques:
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses : 2~cm pour 1~mois ; 
\item sur l'axe des ordonnées : 1~cm pour 4~clients servis.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item On considère un ajustement affine. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point moyen $G_{1}$ des trois premiers points du nuage (janvier à mars) et celles du point moyen $G_{2}$ des trois derniers points du nuage (avril à juin). 
		\item Placer $G_{1}$ et $G_{2}$ dans le repère. 
		\item Vérifier que : $y = \dfrac{20}{3}x - \dfrac{22}{3}$ est une équation de la droite $\left(G_{1} G_{2}\right)$. 
		\item Tracer cette droite dans le repère précédent. 
		\item En déduire graphiquement le nombre prévisible de clients servis en moyenne par jour, au mois d'août. (Indiquer votre lecture graphique à l'aide de pointillés)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~8] par : 

\[f(x) = x^2 + 3 - 2 \ln x.\]
 
On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère de la partie A. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et montrer que pour tout $x$ de [1~;~8] : 

\[f'(x) = \dfrac{2(x + 1)(x - 1)}{x}.\]
  
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur [1~;~8], puis dresser le tableau de variation de $f$.
	\end{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant. (On donnera des valeurs arrondies à $10^{-1}$ près). 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&1 	&2 	&3	&4		&5 	&6 	&7 	&8\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&16,2	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Tracer $\mathcal{C}$ dans le même repère que le nuage de points. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
On admet que la courbe $\mathcal{C}$ constitue un meilleur ajustement du nuage de points. Donner une nouvelle estimation du nombre moyen de clients servi par jour par le traiteur pendant le mois d'août. Justifier la réponse. 
\end{document}