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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{16 septembre 2010}}
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\cfoot{\thepage}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie Polynésie~\decofourright\\16 septembre 2010}}

\vspace{0,25cm}
 
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de l'offre nationale en coches de plaisance (petits bateaux de plaisance habitables) entre 2003 et 2007.
 
$x$ désigne le rang de l'année et $y$ le nombre de coches de plaisance.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année 				&2003		&2004		&2005		&2006		&2007\\ \hline% 
Rang de l'année $x$	&1			&2			&3			&4			&5\\ \hline%  
Nombre de coches de 
plaisance $y$		&\np{1222}	&\np{1245}	&\np{1178}	&\np{1165}	&\np{1088}\\ \hline%
\multicolumn{6}{l}{\emph{\scriptsize Source: Réseau National d'Observation du Tourisme Fluvial, Voies Navigables de France, ODIT.}}
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter sur une feuille de papier millimétré le nuage de points correspondant à cette série statistique dans un repère orthogonal.
 
Pour unités graphiques, on prendra :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses : 2 cm pour 1 an ; 
\item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 20 coches de plaisance. Sur cet axe, la graduation commencera à \np{1000}.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item  Calculer les coordonnées du point moyen $G$ associé à cette série statistique. 
\item On donne le point $A$ de coordonnées (5~;~\np{1110}). Placer les points $A$ et $G$ sur le graphique et tracer la droite $(AG)$. 
\item  Montrer qu'une équation de la droite $(AG)$ est : $y = -34,8x + \np{1284}$. 
\item On suppose que la droite $(AG)$ réalise un bon ajustement du nuage jusqu'en 2012. À l'aide d'une lecture graphique, en laissant apparents les traits de construction, donner une estimation :
	\begin{enumerate}
		\item du nombre de coches de plaisance en 2008 ; 
		\item de l'année à partir de laquelle le nombre de coches de plaisance sera strictement inférieur à \np{1000}.
	\end{enumerate} 
\item Vérifier le résultat du 5. b. par un calcul.  
\end{enumerate}

\vspace{0,75cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip
 
Dans le cadre d'un programme de rénovation, un groupe hôtelier achète de la peinture à un industriel. On se propose d'étudier la rentabilité du marché pour l'industriel.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\textbf{Étude d'une fonction}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~2] par

\[f(x) = \ln (2x +1) + 1 - 0,1x^2.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ puis montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~2] :
 
\[f'(x) = \dfrac{-0,4x^2 - 0,2x + 2}{2x+1}.\]
  
 \item Montrer que $f'(x) = \dfrac{(- 0,4x - 1)(x - 2)}{2x + 1}$. 
 
\item Étudier sur [0~;~2] le signe de $f'(x)$. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. 
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en donnant les résultats arrondis à $10^{-2}$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		& 0	&0,2&0,4	&0,6 	&0,8&1	&1,2&1,4	&1,6&1,8&2\\ \hline% 
$f(x)$	&1	&	&1,57	&		&	&	&	& 2,14	&	&	&\\ \hline% 
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Représenter, sur une feuille de papier millimétré, la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2] dans un repère orthonormal en prenant pour unité graphique 5~cm.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\textbf{Application économique}

\medskip
 
Pour l'industriel, le coût de production en milliers d'euros pour $x$ kilolitres de peinture est égal à $f(x)$, où $x$ appartient à l'intervalle [0~;~2].
 
Le prix de vente au groupe hôtelier d'un kilolitre de peinture est de \np{1800}~\euro.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quel est, en fonction du nombre $x$ de kilolitres de peinture vendue, le montant de la recette totale exprimée en milliers d'euros ? 
\item Représenter la fonction $R$ définie sur [0~;~2] par $R(x) = 1,8x$ dans le repère défini à la partie A, question 5. 
\item Le groupe hôtelier passe une commande de 1 kilolitre de peinture. Est-ce rentable pour l'industriel ?
 
Justifier votre réponse par le calcul puis graphiquement. \emph{Les traits de construction utiles seront laissés apparents.} 
\item Déterminer graphiquement la quantité minimale de peinture que l'industriel doit vendre pour être bénéficiaire. \emph{Les traits de construction utiles seront laissés apparents.} 
\end{enumerate}
\end{document}