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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{16 septembre 2010}}
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\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat de technicien hôtellerie Métropole~\decofourright\\16 septembre 2010}}

\vspace{0,25cm}
 
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

 Monsieur RENAN, traiteur, souhaite lancer un nouveau produit. Une société a effectué une enquête auprès de clients potentiels pour fixer le prix de vente de ce produit.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Prix $x_{i}$ en euros				&20	& 22&24&26&28&30\\ \hline% 
Nombre $n_{i}$ de clients intéressés&180&135&74&45&25&18\\ \hline%
\end{tabularx}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter sur la feuille annexe le tableau reproduit ci-dessous (les résultats seront arrondis à 0,1 près).
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Prix $x_{i}$ en euros				&20	&22	&24	&26	&28&30\\ \hline% 
Nombre $n_{i}$ de clients intéressés&180&135&74	&45	&25&18\\ \hline% 
$y_{i} = \ln n_{i}$					&5,2&	&	&	&	&\\ \hline%
\end{tabularx}

\medskip
 
		\item  Représenter sur une feuille de papier millimétré le nuage de points correspondant aux points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] sur l'axe des abscisses 1~cm représente 1~\euro, on commencera la graduation à $20$, 
\item[ ] sur l'axe des ordonnées 5~cm représentent la valeur 1, on commencera la graduation à 2.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

	\end{enumerate} 
\item On note $G_{1}$ le point moyen correspondant aux trois premiers points du nuage de la question 1. b. et $G_{2}$ celui correspondant aux trois derniers points de ce même nuage. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des points $G_{1}$ et $G_{2}$. 
		\item  Placer les points $G_{1}$ et $G_{2}$ sur le graphique et tracer la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item Montrer qu'une équation de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ est : $y = -0,25x + 10,3$. 
\item Au vu de cette étude, monsieur RENAN pense dans un premier temps proposer son produit à 23~\euro. Si l'on admet que la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ constitue un bon ajustement de $y$ en fonction de $x$, déterminer le nombre d'acheteurs potentiels qu'il peut espérer. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

Monsieur RENAN s'intéresse maintenant au coût unitaire de production, en euros, de plateaux de canapés salés ainsi qu'au bénéfice réalisé pendant une semaine.

\medskip
 
\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
La courbe donnée sur la feuille annexe représente le coût unitaire de production $f(x)$, en euros, en fonction du nombre $x$ de plateaux réalisés, $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~100].
 
On fera apparaître sur le graphique de la feuille annexe les traits de construction nécessaires aux lectures des questions suivantes.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement le coût unitaire de production en euros lorsque monsieur RENAN réalise 80~plateaux.
 
\item Déterminer graphiquement la quantité de plateaux nécessaire pour que le coût unitaire soit minimal.
 
Quel est alors en euros le coût total de cette production ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On admet que $f$ est définie pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~100] par 

\[f(x) = 0,01x^2 - x + 45.\]
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le coût de production de $x$ plateaux, $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~100] est :
 
\[C(x) = 0,01x^3 - x^2 + 45x.\]
 
\item Chaque plateau étant vendu 45~\euro, justifier que le bénéfice réalisé lorsque monsieur RENAN vend $x$ plateaux, $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~100] est donné en euros par:
 
\[B(x) = -0,01x^3 + x^2.\]
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $B'$ désignant la fonction dérivée de la fonction $B$, montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~100] : $B'(x) = x(2 - 0,03x)$. 
		\item  Étudier le signe de $B'(x)$ pour tout $x$ élément de [0~;~100]. 
		\item  Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur [0~;~100].
	\end{enumerate} 
\item Déduire de la question précédente le nombre de plateaux que monsieur RENAN doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximal. Quelle est la valeur de ce bénéfice à un euro près ? 

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie de mathématiques}\end{center}

\bigskip
 
\textbf{EXERCICE \No 1 question 1. a.}
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Prix $x_{i}$ en euros				&20	&22	&24	&26	&28&30\\ \hline% 
Nombre $n_{i}$ de clients intéressés&180&135&74	&45	&25&18\\ \hline% 
$y_{i} = \ln n_{i}$					&5,2&	&	&	&	&\\ \hline%
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE \No 2 partie A, questions 1. et 2.}

\bigskip

\psset{unit=0.12cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-5)(105,60)
\multido{\n=0+5}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,60)}
\multido{\n=0+5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(100,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(105,60)
\uput[d](105,0){$x$}\uput[l](0,60){$y$}
\uput[r](0,62){Coût unitaire de production}\uput[dr](90,36){\blue $y = f(x)$}
\uput[u](91,0){Nombre de plateaux}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{100}{0.01 x  dup mul mul x sub 45  add}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}